人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件教学设计

1.4　充分条件与必要条件

1.4.1　充分条件与必要条件

1.4.2　充要条件

1．充分条件与必要条件

思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？

(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？

提示：(1)相同，都是p⇒q.(2)等价．

2．充要条件

(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．

(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．

(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.

(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

1．下列语句是命题的是(　　 )

A．梯形是四边形　　 B．作直线AB

C．x是整数   D．今天会下雪吗

A　[D不是陈述句，B、C不能判断真假．]

2．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　 )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．既是充分条件，也是必要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

3．使x>3成立的一个充分条件是(　　 )

A．x>4   B．x>0

C．x>2   D．x<2

A　[只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.]

4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

A　[因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]

充分条件、必要条件的判断

【例1】　指出下列各题中p是q的什么条件．

(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.

(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．

(3)p：a＞b，q：ac＞bc.

[解]　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．

(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．

(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，

故p是q的既不充分也不必要条件．

定义法判断充分条件、必要条件

1确定谁是条件，谁是结论

2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件

3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.

1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．

(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．

(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.

[解]　(1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，

所以p是q的既不充分也不必要条件．

(2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件．

充分条件、必要条件、充要条件的应用

[探究问题]

1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？

提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA.

2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？

提示：若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．

【例2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．

[思路点拨]　→→

{m|m≥9}　[因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.

即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以或解得m≥9.

所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]

利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围

1化简p，q两命题；

2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；

3利用集合间的关系建立不等式；

4求解参数范围.

充要条件的探求与证明

【例3】　试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

[思路点拨]　从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．

[证明]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.

②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

充要条件的证明策略

1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.

2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.

提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.

2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

[证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，

q：a＋b＋c＝0.

①证明p⇒q，即证明必要性．

∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，

∴a·12＋b·1＋c＝0，

即a＋b＋c＝0.

②证明q⇒p，即证明充分性．

由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.

∵ax2＋bx＋c＝0，

∴ax2＋bx－a－b＝0，

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.

故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

∴x＝1是方程的一个根．

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

充分条件、必要条件的判断方法

(1)定义法：直接利用定义进行判断．

(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．

(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．

1．思考辨析

(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)

(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　)

(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

2．“x>0”是“x≠0”的(　　 )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．]

3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．

m＝－2　[函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]

4．已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

[解]　由p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．

q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为p⇒q，所以A⊆B，

所以即－≤a<0，

所以a的取值范围是.