2021-2022学年浙江省杭州市下城区春蕾中学八年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年浙江省杭州市下城区春蕾中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形是中心对称图形的是(    )

A. 有害垃圾 B. 可回收物
C. 厨余垃圾 D. 其它垃圾

2. 下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 将方程配方后，原方程变形为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，四边形的对角线，交于点，则不能判断四边形是平行四边形的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

5. 某校八年级学生的平均年龄为岁，年龄的方差为，若学生人数没有变动，则两年后的同一批学生，对其年龄的说法正确的是(    )

A. 平均年龄为岁，方差改变 B. 平均年龄为岁，方差不变
C. 平均年龄为岁，方差改变 D. 平均年龄为岁，方差不变

6. 假设命题“”不成立，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列说法：伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性；夹在两条平行线间的垂线段相等；用反证法证明命题“已知中，，求证：”时，应先假设；在直角坐标系中，点与点关于原点对称，则其中正确的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，据统计，该店年第四季度的“冰墩墩”总销售额为万件，其中月的销量为万件，设，月份的平均增长率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程得一个实数根为，令，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 将一副三角尺如图拼接：含角的三角尺的长直角边与含角的三角尺的斜边恰好重合．已知，、分别是、上的动点，当四边形为平行四边形时，平行四边形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 二次根式，则的取值范围为______．
12. 已知关于的方程的一个根是，则______．
13. 若实数、满足等式，且，恰好是等腰三角形的边长，则这个等腰三角形的周长是______．
14. 如图，已知平行四边形对角线、相交于点，点、分别是线段、的中点．若，的周长是，则______．

15. 对于实数，，先定义一种运算“”如下：，若，则实数的值为______．
16. 如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点，若时，______；若恰好为的中点，则平行四边形的面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算
    ；
    ．
18. 本小题分
    用合适的方法解下列方程
    ；
    ．
19. 本小题分
    如图所示，在平行四边形中，点，点分别是，的中点，连接比，．
    求证：四边形是平行四边形．
    若平分，，求平行四边形的周长．

20. 本小题分
    弘扬中华传统文化，感受中华诗词的独特魅力，校团委会举办首届“校园诗词大会”，初赛共道题，每题分，王敏从初赛名单中随机抽取部分同学的成绩，绘制出如下的统计图和图请根据相关信息，解答下列问题：
    图的值为______，补全条形统计图；
    求被抽取的初赛成绩的平均数，众数和中位数；
    如果初赛成绩在分或分以上的同学进入复赛，请估计参加初赛的位同学中有多少同学可以参加复赛．
     

21. 本小题分
    某公司投资新建了一商场，共有商铺间，据预测，当每间的年租金定为万元时，可全部租出，每间的年租金每上涨万元，就要少租出间．
    当每间商铺的年租金定为万元时，能租出多少间？
    当租出的商铺为间时，求该公司年租金？
    若该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用万元，未租出的商铺每间每年交各种费用万元．当每间商铺的年租金定为多少万元时，给公司的年收益收益租金各种费用为万元？
22. 本小题分
    定义，若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．
    若方程为，写出该方程的衍生点的坐标．
    若关于的一元二次方程的衍生点为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求的值．
    是否存在，，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有请求出，的值，若没有说明理由．
23. 本小题分
    如图，在▱中，于点，，，连接，点以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到达点即停止运动，，分别是，的中点，连接，设点运动的时间为．
    判断与的关系，并求出的长；
    若，
    求点由点向点匀速运动的过程中，线段所扫过区域的面积；
    若是等腰三角形，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，故本选项不符合题意；
B.

，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.

，故本选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质，二次根式的加法法则，二次根式的减法法则，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
移项后配方，再变形，即可得出选项．
【解答】
解：，
，
，
，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：、，，
又，
≌，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、，不能判断四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，，
，，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

5.【答案】 

【解析】解：两年后的同一批学生的年龄均增加岁，其年龄的波动幅度不变，
所以平均年龄为岁，方差不变，
故选：．
根据两年后的同一批学生的年龄均增加岁，其年龄的波动幅度不变知平均年龄为岁，方差不变．
本题主要考查平均数与方差，解题的关键是掌握平均数和方程的意义．
 

6.【答案】 

【解析】解：命题“”不成立，则与的大小关系是：，
故选：．
认真读题可看出，此题其实是求原命题的逆命题．
此题考查学生对命题的定义的掌握情况，关键是求原命题的逆命题．
 

7.【答案】 

【解析】解：伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性，故说法正确；
夹在两条平行线间的垂线段相等，故说法正确；
反证法证明命题：“已知，，求证：”第一步应先假设，故说法不正确；
在直角坐标系中，点与点关于原点对称，
则，，
所以，．
所以．
故说法正确；
故选：．
直接利用四边形的性质以及关于原点对称的点的坐标和反证法分别分析得出答案．
本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，得．
故选：．
利用“年月的销量年月的销量月平均增长率，年月的销量年月的销量月平均增长率”、“该店年第四季度的“冰墩墩”总销售额为万件”列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，找准等量关系，是正确一元二次方程的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：方程有实数根，
，
解得，
方程的根为，
，
，
即，
，
，
．
故选：．
先根据根的判别式的意义得到，解得，再根据一元二次方程根的定义得到，所以，然后根据的范围得到的范围．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解．
 

10.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
故选：．
在▱中，，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，推出是等腰直角三角形，求得，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于的方程的一个根是，
，
．
故答案为：．
根据题意先把代入方程即可求得的值．
本题考查的是一元二次方程的解根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，，
解得，，
是腰长时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形，
是底边时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，周长，
所以，三角形的周长为．
故答案为：．
先根据非负数的性质列式求出、的值，再分是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，偶次方非负数的性质，根据几个非负数的和等于，则每一个算式都等于求出、的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
又，
，
的周长是，
，
点，分别是线段，的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
由条件，根据平行四边形的性质可得出，由条件的周长为，可求出的长，再判断是的中位线即可得出的长度．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当时，
，
，
，
，
或，
舍去，，
当时，
，
，
舍去，
综上所述：，
故答案为：．
分两种情况：当时，当时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，实数的运算，理解定义新运算是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：如图，

，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，设，，，
在中，则有，
解得，
；
如图，

当时，
，
，
，
，
故答案为：；．
设，构建方程求出，证明，利用勾股定理求出，求出平行四边形的面积即可．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，明确翻折前后对应边相等．
 

17.【答案】解：原式
；

原式

． 

【解析】先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的减法法则进行计算即可；
先根据二次根式的性质和二次根式的除法法则进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

18.【答案】解：这里，，，
，
，
解得：，；
分解因式得：，
所以或，
解得：，． 

【解析】方程利用公式法求出解即可；
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
点，点分别是，的中点，
，，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：平分，
，
又，
，
，
，
，
平行四边形的周长． 

【解析】由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论；
由角平分线的性质和平行线的性质可证，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：根据题意得：人，，即，
，
补全条形统计图：

故答案为：；
分，
这组数据的平均数是分；
这组数据中，分出现了次，出现次数最多，
这组数据的众数为分；
将这组数据按照从小到大顺序排列，其中处于中间的两个数都是分，，
这组数据的中位数为分；
根据题意得：人，
答：估计参加初赛的位同学中有位同学可以参加复赛．
求出调查总人数，即可确定出的值；
求出这组数据的平均数，众数，以及中位数即可；
求出初赛成绩在分或分以上的同学占的百分比，乘以即可得到结果．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
 

21.【答案】解：间．
答：当每间商铺的年租金定为万元时，能租出间．
万元．
答：该公司年租金为万元．
设每间商铺的年租金为万元，则能租出间，未租出间，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当每间商铺的年租金定为万元或万元时，给公司的年收益收益租金各种费用为万元． 

【解析】利用租出商铺的间数，即可求出结论；
利用每间商铺的年租金少租的商品间数，即可求出结论；
设每间商铺的年租金为万元，则能租出间，未租出间，利用收益租金各种费用，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：的解为或，
，，
，
该方程的衍生点的坐标；
的解为或，
当时，，
此时，
由题意可得，
解得；
当时，，
此时，
，
；
当时，，
此时，
解得；
综上所述：的值为或或；
存在，满足条件，理由如下：
，
直线经过定点，
方程的衍生点为，
，． 

【解析】解方程后，根据定义即可求点坐标；
求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，当时，；再由题意分别求出的值即可；
由直线经过定点，则方程的衍生点为，即可求，．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，根据题意分情况讨论是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，设，则，
在中，，
，，
，，
，分别是，的中点，
，
，
，
；
由知：，
，
如图，取的中点，当与重合时，是的中点，是的中点，则线段所扫过区域是▱，
，，
，
过作于，
，，
∽，
，即，
，
线段所扫过区域的面积；
分两种情况：
当时，如图，连接，

是的中点，是的中点，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，，
由勾股定理得：，
，
；
当时，如图，同理得：，
，
，
综上，的值是秒或秒． 

【解析】如图，设，则，根据勾股定理可得和的长，根据三角形中位线定理可得：与的关系；
如图，取的中点，先确定线段所扫过区域是▱，作高线，由面积法可得的长，根据平行四边形的面积公式可得线段所扫过区域的面积，代入计算可得结论；
分两种情况：
当时，如图，连接，根据勾股定理列方程可得的值；
当时，如图，根据，得结论．
本题是四边形的综合题，涉及动点运动问题，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形相似的性质和判定，第问中，根据数形结合的思想确定线段所扫过区域是什么几何图形是关键，需要分类讨论；解题时需要全面分析，认真计算．