2021-2022学年浙江省杭州市萧山区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省杭州市萧山区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在如图所示的四个汽车标识图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算结果是的为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 方程组的解为(    )

A.  B.  C.  D.

4. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的梅花梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示该数据为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，图中给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据的是(    )

A. 同平行于一条直线的两直线平行
B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 内错角相等，两直线平行
D. 同位角相等，两直线平行

6. 下列说法中，不正确的是(    )

A. 同一平面内两条不相交的直线是平行线
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D. 平行于同一直线的两直线平行

7. 下列计算：；；；，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 小颖家离学校米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了分钟．假设小颖上坡路的平均速度是千米时，下坡路的平均速度是千米时．若设小颖上坡用了分钟，下坡用了分钟，根据题意可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 两位同学在解同一个方程组时，甲同学由正确的解出，乙同学因看错了而解得，那么、、的正确的值为(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

10. 如图，已知直线、被直线所截，，是平面内任意一点点不在直线、、上，设，下列各式：，，，，的度数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 计算：______；______．
12. 已知，满足方程组，则的值为______．
13. 一个长方形的面积为，已知这个长方形的长为，则宽为______．
14. 对于有理数，，定义一种新运算：，其中，为常数．已知，，则______．
15. 若，，，，则，，，的大小______用号连接．
16. 如图，已知，点，分别在直线，上，点在，之间且在的左侧若将射线沿折叠，射线沿折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则的度数为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

17. 计算或化简
    ；
    ．
18. 解方程组：
    ；
    ．
19. 已知：如图，点在上，且平分，求证：．
    
    探究已知：如图，点在上，且平分，求证：．
    应用如图，平分，点是上一点，过点作交于点，：：，直接写出的度数．
20. 请解答下列各题：
    阅读并回答：
    科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射．此时，．
    由条件可知：，依据是______，，依据是______．
    反射光线与平行，依据是______．
    解决问题：
    如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若射出的光线平行于，且，则______；______．
     

21. 某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的，两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板张，长方形纸板张，刚好全部用完，问能做成多少个型盒子？多少个型盒子？
    
    根据题意，甲和乙两同学分别列出的方程组如下：
    甲：；  乙：，
    根据两位同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义：
    甲：表示______，表示______；
    乙：表示______，表示______；
    求出做成的型盒子和型盒子分别有多少个写出完整的解答过程？
22. 阅读理解“若满足，求的值”．
    解：设，，
    则，，
    那么．
    解决问题
    若满足，求的值；
    若满足，求的值．
    如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积结果必须是一个具体的数值．

23. 在综合与实践课上，老师计同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动．
    
    如图，若三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数；
    如图，小颖把三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；
    如图，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，，则与的数量关系是什么？用含，的式子表示．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据平移变换的性质可知，可以通过平移得出，
故选：．
根据平移的性质可得答案．
本题主要考查了利用平移设计图案，了解平移的性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故此选项符合题意；
B.与不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
C.，故此选项不符合题意；
D.，故此选项不符合题意，
故选：．
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方法则进行计算，然后做出判断．
本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，掌握运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
方程组的解为，
故选：．
用加减消元法解二元一次方程组．
本题考查消元法解二元一次方程组，掌握解方程组的步骤是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，在三角板平移的过程中，由同位角相等，可得两直线平行．
故选：．
应用平行线的判定方法进行判断即可得出答案．
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、同一平面内两条不相交的直线是平行线，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原说法不正确，故此选项符合题意；
C、在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、平行于同一直线的两直线平行，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：．
根据平行线的定义、平行线的判定和性质、平行公理、垂线的性质进行判断．
本题主要考查平行线的定义、平行线的判定和性质、平行公理、垂线的性质，熟练平行线的定义、平行线的判定和性质、平行公理、垂线的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，故不正确；
，故不正确；
，故不正确；
，故正确；
故选：．
根据整式的乘法，整式的除法运算法则进行计算，逐一判断即可．
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的乘法，整式的除法运算法则是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为：
故选：．
两个等量关系为：上坡用的时间下坡用的时间；上坡用的时间上坡的速度下坡用的时间下坡速度，把相关数值代入即可求解．
本题考查了用二元一次方程组解决行程问题；得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键．注意要统一单位．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
把代入方程组第二个方程得：，
解得：，
故选：．
把甲的结果代入方程组第一个方程与第二个方程，将乙的结果代入第一个方程，求出与，的值即可．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，由，可得，
，
．

如图，过作平行线，则由，可得，，
．

如图，由，可得，
，
．

如图，由，可得，
．

当点在的下方时，同理可得，或．
综上可得：的度数可能为，，，．
故选：．
根据点有种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等．
 

11.【答案】   

【解析】解：

；



．
运用平方差公式进行计算；
运用同底数幂相除法则进行计算．
此题考查了运用平方差公式和同底数幂相除进行整式乘除的能力，关键是能准确理解并运用以上法则进行计算．
 

12.【答案】 

【解析】解：解法一：


，
解法二：，
，得，
把代入，得，
把，代入，
故答案为：．
先用平方差公式分解因式，再把代入计算即可．
本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，掌握用平方差公式分解因式，整体思想的应用是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
根据长方形的宽面积长列出式子，根据整式的除法法则计算即可．
本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题中的新定义化简得：，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则．
故答案为：．
利用题中的新定义化简已知等式求出与的值，即可求出的值．
此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：．
把各数的指数转为相等，再比较底数即可．
本题主要考查幂的乘方，解答的关键是利用幂的乘方的法则把各数的指数转为相等．
 

16.【答案】或 

【解析】解：如图，
过作，
，
，
，，
，
，
同理可得，
由折叠可得：，，
，
如图，过作，
，
，
，，
，
，
，
由折叠可得：，，
，
综上所述：的度数为或，
故答案为：或．
根据题意画出图形，然后再利用平行线的性质得出与和的关系，然后可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出的度数．
 

17.【答案】解：原式
．
原式

． 

【解析】根据整式的乘法运算以及加减运算即可求出答案．
根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：，
由，可得：，
代入，可得：，
解得，
把代入，可得：，
原方程组的解是．

，
由，可得：，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是． 

【解析】应用代入消元法，求出方程组的解即可．
应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

19.【答案】【探究】证明：平分，
，
，
，
；
【应用】解：平分，
，
，
，，
：：，
，
，
． 

【解析】【探究】由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，即可得出结论；
【应用】由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，，然后求出，则，即可求解．
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：两直线平行，同位角相等，等量代换；
               同位角相等，两直线平行；
      ，． 

【解析】解：由条件可知：，依据是：两直线平行，同位角相等；，依据是：等量代换；
反射光线与平行，依据是：同位角相等，两直线平行；
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换．同位角相等，两直线平行．
如图，

，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
根据平行线的判定与性质逐一求解可得；
根据入射角等于反射角得出，，求出，根据平行线性质即可求出，求出，根据三角形内角和求出即可．
本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：型盒子个数；型盒子个数；型纸盒中正方形纸板的个数；型纸盒中正方形纸板的个数
设能做成的型盒有个，型盒子有个，
根据题意得：，
解得： ．
答：型盒有个，型盒子有个． 

【解析】解：甲同学：仔细观察发现型盒有长方形个，正方形纸盒个，
仔细观察发现型盒有长方形个，正方形纸盒个，故甲同学中的表示型纸盒个数，表示型盒的个数；
乙同学：表示型纸盒中正方形纸板的个数，表示型纸盒中正方形纸板的个数；
故答案为：型盒子个数；型盒子个数；型纸盒中正方形纸板的个数；型纸盒中正方形纸板的个数
见答案．
根据无盖纸盒的长方形木板和正方形木板的关系可以得到答案；
求解两个同学所列的两个方程中的一个即可求得盒子的个数．
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题时注意无盖盒子中的长方形及正方形的个数之间的关系是解答的关键．
 

22.【答案】解：设，，
，
，
，
，
，

；
设，，
，
，
，
，
即．
正方形的边长为，，，
，，
，
设，，
，，
，
阴影部分的面积为：． 

【解析】根据举例进行解答即可；
设，，则可得，，所以，可得，即可解答；
根据正方形的边长为，，，所以，，得到，设，，从而得到，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积．
本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用．
 

23.【答案】解：，
．
，，
，解得；
如图，过点作，

，
．
，．
．
，
；
理由如下：
，
．
即，
整理得． 

【解析】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质是几何中角度转化的重要依据，对于两平行线间有折线的问题，一般在“拐点”处作平行线转化角．
根据平行线的性质可知，依据，可求解的度数；
过点作，易得，通过平行线的性质把和转化到上即可；
依据，可知，再代入，，即可求出．