浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷（含答案）

浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团2022-2023学年八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列四个图形中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列各组数不可能是一个三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.    若实数，满足，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    根据下列已知条件，能唯一画出的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，

5.    下列命题中，属于真命题的是(    )

A. 一个角的补角一定大于这个角
B. 垂直于同一条直线的两条直线平行
C. 边长分别为、、的三角形是直角三角形
D. 一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等

6.    如图，中的边上的高是(    )

A.
B.
C.
D.

7.    请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，点、、表示某公司三个车间的位置，现在要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在(    )

A. 三边的中线的交点上 B. 三内角平分线线交点上
C. 三条边高的交点上 D. 三边垂直平分线的交点上

9.    如图，在中，平分，，已知，，那么的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，中，，，，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. “的倍与的和比小”用不等式表示为______ ．
12. “等腰三角形两腰上的中线相等．”的逆命题是______．
13. 如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若，则的周长为______．

14. 如图，在中，，，点，分别在，上，连结，，若，，，则的长为______．

15. 如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为______．

16. 如图，已知长方形纸片，点在边上，且，，将沿直线翻折，使点落在点，延长交于点处，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，在与中，如果，，；求证：．

18. 本小题分
    解下列不等式．
    ；
    ．
19. 本小题分
    如图，已知．
    尺规作图：作出的角平分线；作出的中垂线交于点．
    连结，若，，则______．

20. 本小题分
    如图，在中，，点，，分别在，，边上，且，．
    求证：是等腰三角形；
    当时，求的度数；
    若，判断是何种三角形．

21. 本小题分
    如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，．
    求证：．
    已知，，求面积．

22. 本小题分
    已知在中，，，，，点为边上的动点，
    如图所示，平分，、分别为线段、上的动点．
    当时，求的最小值；
    点、在运动过程中，求的最小值；
    如图所示，、分别为边、上的点、，，为边上的动点，、在运动过程中，请直接写出的最小值．
     
23. 本小题分
    如图，在中，，，动点从点出发，按的路经运动回到点停止且速度为每秒个单位，设出发时间为秒．
    求边上的高线的长与边上的高线的长．
    当时，求的值；
    若是等腰三角形，按写出所有满足条件的的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，可知
A、，能组成三角形，不符合题意；
B、，能组成三角形，不符合题意；
C、，不能够组成三角形，符合题意；
D、，能组成三角形，不符合题意．
故选：．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项，如，，，，故该选项不符合题意；
选项，，
，故该选项符合题意；
选项，，
，故该选项不符合题意；
选项，如，，，故该选项不符合题意；
故选：．
通过举特例排除，；根据不等式的基本性质判断，．
本题考查了不等式的基本性质，特别注意不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一．
要满足唯一画出，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有选项符合，是满足题目要求的，于是答案可得．
【解答】
解：、因为，所以这三边不能构成三角形；
B、因为不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；
C、已知两角及其夹边，则可以根据来画一个三角形；
D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据补角的定义，平行的判定以及直角三角形的判定以及平行线的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】
解：一个角的补角一定大于这个角，错误，钝角的补角是锐角，原命题是假命题；
B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题；
C.，则边长分别为、、的三角形是直角三角形，是真命题；
D.一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，原命题是假命题．
故选C．  

6.【答案】 

【解析】解：中的边上的高是，
故选：．
根据三角形高的定义即可解答．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高：过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高．
 

7.【答案】 

【解析】解：由作法易得，，，
在与中，
，
≌，
全等三角形的对应角相等．
故选：．
由作法易得，，，依据定理得到≌，由全等三角形的对应角相等得到．
本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的对应角相等是正确解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在三角形内，要找一点到三角形各顶点距离相等，只能是三边垂直平分线的交点上，
中，中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的倍，不符合题意；
中，角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意；
中，高的交点为垂心，而到各顶点相等的只能是垂直平分线的交点，不符合题意；
中，三边垂直平分线的交点上，符合题意，是可选的．
故选：．
到三个车间的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，在三角形中，只有垂直平分线的交点到各顶点相等．
本题考查了垂直平分线的性质定理的逆定理；发现并利用到三个车间的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等时解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，则，，
即，
，
，
，
是角平分线，，
，
，
，
解得：，
，
故选：．
设，则，，求出，求出，根据得出方程，求出即可．
此题主要考查三角形的内角和定理，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，

，，
．
，，
，
，
．
由勾股定理得：
，，，



，
，
，
，
，
．
故选：．
过点作于点，利用等腰三角形的三线合一的性质可得，；再利用勾股定理表示出，，，利用等式的性质和算术平方根的意义即可求解．
本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理表示出，，是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：依题意得．
故答案为：．
根据“的倍与的和比小”，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

12.【答案】两边上的中线相等的三角形是等腰三角形 

【解析】解：
原命题题设：若一个三角形为等腰三角形，则两腰的中线相等。
“等腰三角形两腰上的中线相等．”的逆命题是两边上的中线相等的三角形是等腰三角形，
故答案为：两边上的中线相等的三角形是等腰三角形．
交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题；
本题考查了命题与定理的知识，了解如何写出一个命题的逆命题是解答本题的关键，难度不大．
 

13.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
的周长，
又，，
的周长．
故的周长为．
故答案为：．
由于垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质得到，由此得到的周长，又，，由此即可求出的周长．
此题主要考查等腰三角形的性质和线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
和，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
先证和，得，再由勾股定理得，则，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明和是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过作于，

，
，
是的角平分线，
，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为：．
过作于，根据角平分线的性质得到；根据定理得到≌，由全等三角形的面积相等得到；由，，，根据得到≌，由全等三角形的面积相等得到；根据，，把和的面积分别为和代入计算得到答案．
此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，根据题意证明≌、≌是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：将沿直线翻折，使点落在点，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
故答案为：．
由将沿直线翻折，使点落在点，可得，，，，设，则，根据勾股定理可得，即可解得答案．
本题考查了长方形中的翻折问题，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质，得出．
 

17.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】首先利用等式的性质得，再利用证明≌，得，从而有．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
；
，
，
，
，
，
． 

【解析】不等式移项，合并同类项，化系数为即可；
不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为即可．
本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；点即为所求；

，，
，
是的平分线，
，
的中垂线交于点．
，
，
．
故答案为：．
作的角平分线交于点即可；作的垂直平分线交于点即可；
结合根据三角形内角和定理即可求出的度数．
本题考查了作图--基本作图，三角形的面积，熟悉基本作图方法是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰三角形；
如图，≌，
，，
，
，
，
，
；
是等边三角形，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形． 

【解析】利用边角边定理证明≌，可得，可得结论；
根据，可求出，根据≌，利用三角形内角和定理即可求出的度数；
由外角的性质可证，可求，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，
在中，点是的中点，
，
，
，，
．
解：作于，
，，
，
，，
，
，
的面积，
面积． 

【解析】连接，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质证明结论；
作于，根据题意求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
 

22.【答案】解：在上取，

平分，
，
，
≌，
，
，
，，
，
，
点为中点，
，
的最小值为．
由可得，
当时，取最小值，

在中，由勾股定理得，
，
，
解得．
的最小值为．
如图，作点关于的对称点，点关于的对称点连接交线段，于点，，

，
，
由对称可得，，
在中，由勾股定理得，
的最小值为． 

【解析】在上取，通过证明≌可得，从而可得，进而求解．
由得当时，取最小值．
作点关于的对称点，点关于的对称点连接交线段，于点，，通过勾股定理求解．
本题考查三角形的综合应用，解题关键是掌握轴对称求最小值的方法，掌握勾股定理．
 

23.【答案】解：，
，
，
边上的高线的长为．
，
．
边上的高线的长为；
当时，如图，

，，
，
，，
≌，
，
，
；
解：分三种情况：如图，当时，点在上，

过点作于点，
，
，
由可知，，
，
．
如图，当时，点在上，

，
；
如图，当时，点与点重合，

，
；
如图，当时，点在上，

，，
，
由可知：，
点在上，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或或或． 

【解析】根据求解即可．
证明≌，可得，求出即可解决问题．
分三种情形：，，由等腰三角形的性质及勾股定理分别求解即可．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．