人教版七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程一课一练
展开第12讲 实际问题与一元一次方程(1)
一、知识梳理
行程问题:距离=速度·时间 ;
顺逆流问题:顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度.
【例1】“十一”国庆节,王老师驾轿车从A地到B地去游玩,用了4.5小时到达B地;返回时平均速度提高了10千米/时,比去时少用了0.5小时回到A地.求:A地到B地的路程.
【分析】设A地到B地的路程为x千米,根据速度=路程÷时间分别表示出从A地到B地以及返回时的平均速度,根据返回时的平均速度﹣去时的平均速度=10列出方程,求解即可.
【解答】解:设A地到B地的路程为x千米,
根据题意得,﹣=10,
解得x=360.
答:A地到B地的路程为360千米.
【变式训练1】.某人计划以每小时12千米的速度由A地到B地,这样便可在规定的时间到达B地,但他因事晚出发了20分钟,便只好以每小时15千米的速度前进,结果比规定时间早4分钟到达B地,求A,B两地间的距离?
【分析】设A、B两地间的距离为x千米,本题的等量关系是时间=路程÷速度,本题的关键语是“比规定时间早4分钟到达B地”,由此可得出,原计划用的时间=实际用的时间+20分钟+4分钟.
【解答】解:设A、B两地间的距离为x千米,
由题意得:=++,
解得x=24.
答:A、B两地间的距离为24千米.
【例2】.“长珲高铁”被誉为“东北最美高铁”,它给居民出行带来了很大的便利,高铁平均速度比汽车平均速度快80km/小时.从延吉到长春坐汽车需要5小时,坐高铁只需要2.5小时,求汽车的平均速度和高铁的平均速度.
【分析】设汽车的平均速度为xkm/h,则高铁的平均速度为(x+80)km/h,根据速度×时间=路程,列出方程即可.
【解答】解:设汽车的平均速度为xkm/h,则高铁的平均速度为(x+80)km/h,
由题意得5x=2.5(x+80),
解得x=80,
∴x+80=160(km/h),
答:汽车的平均速度为80km/h,高铁的平均速度为160km/h.
【变式训练2】.已知环形跑道一圈长为400米,小丽与小杰的速度之比为3:4,如果小丽和小杰在跑道上相距8米处同时反向出发,经过28秒后两人首次相遇,求两人的速度各是多少?
【分析】设小丽的速度为3x米/秒,则小杰的速度为4x米/秒,利用路程=速度×时间,结合经过28秒后两人首次相遇,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出x的值,再将其代入3x和4x中即可求出结论.
【解答】解:设小丽的速度为3x米/秒,则小杰的速度为4x米/秒,
依题意得:(3x+4x)×28+8=400,
解得:x=2,
∴3x=6(米/秒),4x=8(米/秒).
答:小丽的速度为6米/秒,小杰的速度为8米/秒.
【例3】.甲、乙两城相距800千米,一辆客车从甲城开往乙城,车速为a千米/时(0<a<100),同时一辆出租车从乙城开往甲城,车速为90千米/时,两车相遇时客车行驶的路程比出租车少100千米.
(1)求a的值.
(2)求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间.
【分析】(1)设经过t小时相遇,由两车相遇时,路程之和=800千米,列出方程可求解;
(2)设客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间为y小时,分相遇前和相遇后两种情况讨论,列出方程可求解.
【解答】解:(1)设经过t小时相遇,
由题意可得:90t+90t﹣100=800,
∴t=5,
∴a==70,
答:a的值为70;
(2)设客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间为y小时,
由题意可得:(70+90)y=800﹣100或(70+90)y=800+100,
∴y=或,
答:客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间为或小时.
【变式训练3】.A、B两地相距480千米,一列慢车从A地出发,每小时走60千米,一列快车从B地出发,每小时走65千米.
(1)两车同时出发相向而行,几小时后相遇?
(2)慢车出发1小时后快车从B地出发,同向而行,请问快车出发几小时后追上慢车?
【分析】(1)设两车同时出发相向而行,x小时后相遇,根据两点间的距离=两车的速度之和×时间,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;
(2)设快车出发y小时后追上慢车,则此时慢车出发(y+1)小时,根据快车追上慢车时快车比慢车多行驶480千米,即可得出关于y的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:(1)设两车同时出发相向而行,x小时后相遇,
依题意得:(60+65)x=480,
解得:x=.
答:两车同时出发相向而行,小时后相遇.
(2)设快车出发y小时后追上慢车,则此时慢车出发(y+1)小时,
依题意得:65y﹣60(y+1)=480,
解得:y=108.
答:快车出发108小时后追上慢车.
【例4】.一艘船从甲码头到乙码头顺流而下,用了2h;从乙码头返回甲码头逆流而行,用了2.5h.若水流的速度是3km/h,求船在静水中的平均速度.
【分析】等量关系为:顺水速度×顺水时间=逆水速度×逆水时间.即2×(静水速度+水流速度)=2.5×(静水速度﹣水流速度);
【解答】解:设船在静水中的平均速度为x千米/时,
由题意可得:2(x+3)=2.5(x﹣3),
解得:x=27,
答:船在静水中的平均速度为27千米/时.
【变式训练4】.某人乘船从A地顺流去B地,用时3小时;从B地返回A地用时5小时.已知船在静水中速度为40km/h,求水的速度与AB间距离.
【分析】设水速为xkm/h,由乘船从A地顺流去B地,用时3小时;从B地返回A地用时5小时,列出方程,可求解.
【解答】解:设水速为xkm/h,
则3(40+x)=5(40﹣x),
∴x=10,
∴AB间距离=3×(40+10)=150(km),
答:水的速度为10km/h,AB间距离为150km.
【例5】.某船从A地顺流而下到达B地,然后逆流返回到达A地,一共用了8小时.已知此船在静水中的速度为8千米/小时,水流的速度为2千米/小时.求A、B两地之间的路程.
【分析】设A、B两地之间的路程为x千米,根据时间=路程÷速度结合该船往返共用了8小时,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:设A、B两地之间的路程为x千米,
依题意,得:+=8,
解得:x=30.
答:A、B两地之间的路程为30千米.
【变式训练5】.某船从甲码头顺流而下到达乙码头,然后再从乙码头逆流而上返回甲码头共用10小时,此船在静水中速度为25千米/时,水流速度为5千米/时.
(1)此船顺流而行的速度为 30 千米/时,逆流而行的速度为 20 千米/时;
(2)求甲乙两码头间的航程.
【分析】(1)根据船速与水流速即可求出答案.
(2)设甲乙两码头间的航程为x千米,根据题意列出方程即可求出答案.
【解答】解:(1)由题意可知:顺流速度为:25+5=30千米/时,
逆流速度为:25﹣5=20千米/时,
故答案为:30,20;
(2)设甲乙两码头间的航程为x千米,
∴+=10,
∴解得:x=120,
答:甲乙两码头之间的航程为120千米
二、课堂训练
1.小明、小刚两人从同一地点出发,如果小明先出发1小时后,小刚从后面追赶,那么当小刚追上小明时,下面说法正确的是( )
A.小刚比小明多走了1小时
B.小刚、小明所走的路程相等
C.小刚、小明所用的时间相等
D.小刚走的路程比小明多
【分析】小明、小刚两人从同一地点出发,小刚追上小明,那么小刚走的路程=小明走的路程.
【解答】解:∵小明、小刚两人从同一地点出发,如果小明先出发1小时后,小刚从后面追赶,小刚追上小明,
∴小刚、小明所走的路程相等.
故选:B.
2.方方早上骑自行车上学,中途因道路施工推车步行了一段路,到学校共用时15分钟.如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米,推车步行的平均速度是每分钟80米,他家离学校的路程是2900米,设他推车步行的时间为x分钟,那么可列出的方程是( )
A.250(15﹣x)=2900﹣80x B.80(15﹣x)+250x=2900
C.250(15﹣x)=2900+80x D.80x+250(15+x)=2900
【分析】设他推车步行的时间为x分钟,则骑自行车的时间为(15﹣x)分钟,利用路程=速度×时间,结合他家离学校的路程是2900米,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.
【解答】解:设他推车步行的时间为x分钟,则骑自行车的时间为(15﹣x)分钟,
依题意得:80x+250(15﹣x)=2900,
即250(15﹣x)=2900﹣80x.
故选:A.
3.货轮从甲地顺流开往乙地,所用时间比乙地逆流回到甲地少2.5小时,已知货轮在静水中速度为每小时24千米,水流速度为每小时3千米,求甲乙两地距离.设两地距离为x千米,则可列方程( )
A. B.
C. D.
【分析】设两地距离为x千米,根据“货轮从甲地顺流开往乙地,所用时间比乙地逆流回到甲地少2.5小时”列出方程即可.
【解答】解:设两地距离为x千米,
根据题意,得﹣=2.5.
故选:A.
4.数轴上点A表示的数是1,点B表示的数是﹣3,原点为O,若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动,要使OB=2OA,要经过 或5 秒.
【分析】根据题意可知,分两种情况:点B在原点左侧或右侧,然后即可列出相应的方程,从而可以求得经过几秒,OB=2OA.
【解答】解:设经过t秒OB=2OA,
当点B在原点左侧时,
3﹣5t=2(1+2t),
解得t=,
当点B在原点右侧时,
5t﹣3=2(1+2t),
解得t=5,
由上可得,当经过或5秒时,OB=2OA,
故答案为:或5.
5.甲、乙两人分别从A、B两地出发,相向而行,甲比乙早出发15分钟,甲的速度是每小时6公里,乙速度是甲速度的,乙出发1小时后两人相距11公里,A、B两地的距离为 23 公里.
【分析】设A、B两地的距离为x公里,根据乙出发1小时后两人相距11公里,即可得出关于x的一元一次方程(两种情况),解之即可得出结论.
【解答】解:∵甲的速度是每小时6公里,乙速度是甲速度的,
∴乙速度是6×=4.5公里/小时,
设A、B两地的距离为x公里,
依题意,得:x﹣(1+)×6﹣4.5×1=11或(1+)×6+4.5×1﹣x=11,
解得:x=23或x=1(不合题意),
故答案为:23
6.小丽从家到学校有公路和小路两种路径,已知公路比小路远320米.早上小丽以61米/分钟的速度从公路去上学,10分钟后,爸爸发现她的作业忘带了,就以90米/分钟的速度沿小路去追赶,结果恰好在学校门口追上小丽.问小丽从家到学校的公路有多少米?
【分析】设小丽从家到学校的时间为x分钟,根据小丽所走路程比爸爸所走路程多320米列方程即可.
【解答】解:设小丽从家到学校的时间为x分钟,
根据题意,得:61x﹣(x﹣10)×90=320,
解这个方程得:x=20,
20×61=1220(米).
答:小丽从家到学校的公路有1220米.
三、课后巩固
1.甲、乙两人从同一地点出发,如果甲先出发3小时后,乙从后面追赶,那么当乙追上甲时,下面说法正确的是( )
A.甲和乙所用的时间相等 B.乙比甲多走3小时
C.甲和乙所走的路程相等 D.乙走的路程比甲多
【分析】两人从同一地点出发,乙追上甲,那么甲走的路程=乙走的路程.
【解答】解:∵甲、乙两人从同一地点出发,甲先出发3小时,乙追上甲,
∴甲和乙所走的路程相等.
故选:C.
2.一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70km/h,卡车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早1h经过B地.设A、B两地间的路程是xkm,由题意可得方程( )
A.70x﹣60x=1 B.60x﹣70x=1 C.﹣=1 D.﹣=1
【分析】设A、B两地间的路程为xkm,根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间,根据两车时间差为1小时即可列出方程,求出x的值.
【解答】解:设A、B两地间的路程为xkm,
根据题意得,
故选:C.
3.小明和小刚从相距25.2千米的两地同时相向而行,小明每小时走4千米,3小时后两人相遇,设小刚的速度为x千米/时,列方程得( )
A.4+3x=25.2 B.3×4+x=25.2
C.3(4+x)=25.2 D.3(x﹣4)=25.2
【分析】要列方程,首先找出题中存在的等量关系:三小时内两人走的路程之和=两地的距离25.2千米,再根据此等量关系列方程就不难了.
【解答】解:设小刚的速度为x千米/时,则3小时两人走的路程为3(4+x),
根据三小时内两人走的路程之和=两地的距离25.2千米的等量关系
可得到方程:3(4+x)=25.2.
故选:C.
4.数轴上A,B两点分别为﹣10和90,两只蚂蚁分别从A,B两点出发,分别以每秒钟3个单位长和每秒钟2个单位长的速度匀速相向而行,经过 16或24 秒,两只蚂蚁相距20个单位长.
【分析】由点A,B表示的数可求出线段AB的长,设经过x秒,两只蚂蚁相距20个单位长,利用两只蚂蚁的路程之和=两只蚂蚁的速度之和×运动时间,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:∵数轴上A,B两点分别为﹣10和90,
∴线段AB的长度为90﹣(﹣10)=100个单位长.
设经过x秒,两只蚂蚁相距20个单位长,
依题意得:(3+2)x=100﹣20或(3+2)x=100+20,
解得:x=16或x=24.
故答案为:16或24.
5.某日小王驾驶一辆小型车到某地办事,上午9:00达,在路边的电子收费停车区域内停车.收费标准如图.
(1)如果他9:50离开,那么应缴费 4.5 元;
(2)如果他离开时缴费15元,那么停车的时长可能是 120 分钟.(写出一个即可)
【分析】(1)根据小型车首小时内收费标准进行即可求解;
(2)设停车收取费用的时长为15分钟的n倍,根据小型车白天的收费标准列方程解答即可.
【解答】解:(1)50÷15=3,
∴如果他9:50离开,那么应缴费1.5×3=4.5(元),
故答案为:4.5;
(2)设停车收取费用的时长为15分钟的n倍,
由题意得:×1.5+(n﹣)×2.25=15,
解得:n=8,
∴停车的时长可能是15×8=120(分钟),
故答案为:120(答案不唯一).
6.某人乘船由A地顺流而下到达B地,然后又逆流而上到C地,共用了3小时.已知船在静水中速度为每小时8千米,水流速度是每小时2千米.已知A、B、C三地在一条直线上,若AC两地距离是2千米,则AB两地距离多少千米?(C在A、B之间)
【分析】根据路程、速度、时间之间的关系列出方程即可解答.
【解答】解:设AB两地距离为x千米,则CB两地距离为(x﹣2)千米.
根据题意,得
+=3
解得 x=.
答:AB两地距离为千米.
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