第13知 整式-【暑假学易知】七年级数学暑假精品课程(华师大版)(解析版+原卷版)
展开第14讲 整式
【学习目标】
1.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数;
2.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念,弄清它们之间的区别与联系.
【基础知识】
考点三、整式
1.单项式
(1)单项式的定义:如,,-1,它们都是数与字母的积,像这样的式子叫单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式.
考点诠释:单项式一定是代数式,但若分母中含有字母的代数式,如就不是单项式,因为它无法写成数字与字母的乘积.
(2)单项式的系数:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
考点诠释:
①确定单项式的系数时,最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式,再确定其系数.
②圆周率π是常数,单项式中出现π时,应看作系数.
③当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写.
④单项式的系数是带分数时,通常写成假分数,如:写成.
(3)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
考点诠释:没有写指数的字母,实际上其指数是1,计算时不能将其遗漏.
2.多项式
(1)多项式的定义:几个单项式的和叫做多项式.
考点诠释:“几个”是指两个或两个以上.
(2)多项式的项:在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项.
考点诠释:
①多项式的每一项包括它前面的符号.
②一个多项式含有几项,就叫几项式,如:是一个三项式.
(3)多项式的次数:一个多项式中,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数.
考点诠释:
①多项式的次数不是所有项的次数之和,而是多项式中次数最高的单项式的次数.
②一个多项式中的最高次项有时不止一个,在确定最高次项时,都应写出.
(4)升幂排列与降幂排列:把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列;若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列.
如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为
-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4.
考点诠释:
①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动;
②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列.
3.整式:单项式与多项式统称为整式.
考点诠释:
(1)单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系:单项式、多项式必是整式,整式必是代数式,但反过来就不一定成立.
(2)分母中含有字母的式子一定不是整式,但是代数式.
【考点剖析】
例1.指出下列代数式中的单项式,并写出各单项式的系数和次数.
,,,,,a-3,,,
【答案】
解:,,,,,,是单项式,其中
的系数是,次数是3;
的系数是-1,次数是1;
的系数是,次数是4;
的系数是,次数是4;
为非零常数,只有数字因式,系数是它本身,次数为0;
的系数仍按科学记数法表示为-3×108,次数是3;
只含有字母因数,系数是l,次数为字母指数之和为3.
【总结】(1)要区分数字因数、字母因数;(2)不能见了指数就相加,如中,的指数4不能相加,次数为4;(3)有分数线的,分子、分母的数字都是系数;(4)是常数,不能看作字母.
举一反三:
【变式1】单项式3x2y3的系数是 .
【答案】3.
【变式2】(泰州)下列结论正确的是( ).
A.没有加减运算的代数式叫做单项式.
B.单项式的系数是3,次数是2.
C.单项式m既没有系数,也没有次数.
D.单项式的系数是-1,次数是4.
【答案】D
例2说出下列各式是几次几项式,最高次项是什么?最高次项的系数是什么?常数项是多少?
(1)7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1
(2)10x+y3﹣0.5.
【答案】
解:(1)7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1
是四次六项式,最高次项是﹣3x3y,
最高次项的系数是﹣3,
常数项是1;
(2)10x+y3﹣0.5,
是三次三项式,最高次项是y3,
最高次项的系数是1,
常数项是﹣0.5.
【总结】确定多项式的次数时,分两步:(1)先求多项式中每一项的次数;(2)取这些次数中的最大的数即为多项式的次数.
举一反三:
【变式】下列代数式中,哪些是多项式,并说出相应多项式是几次几项式?
, ,,abc, , ,a+1, , , .
【答案】
解:多项式有:,,a+1,,.其中,
是一次二项式;是二次二项式;a+1是一次二项式;是一次二项式;是二次三项式.