2021-2022学年山东省烟台莱阳市第一中学高二3月线上检测数学试题含解析

2021-2022学年山东省烟台莱阳市第一中学高二3月线上检测数学试题

一、单选题

1．一个袋子中有4个黑球和1个白球，从中取一球，取后放回，重复n次，记取出的球为白球的次数为X，若，则（       ）

A．60 B． C． D．12

【答案】A

【分析】由取后放回可得，根据期望求出次数n，进而根据二项分布的性质即可得解.

【详解】由题意可知，

，，

，

.

【点睛】本题考查了二项分布的概念及其性质，考查了n次独立重复试验，解题关键是注意是 “取后放回”的理解，整体计算量不大，属于基础题.

2．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；②若为两个事件，则；③若事件两两互斥；④若满足且，则是对立事件.其中错误的命题个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断①；根据和事件的概率公式即可判断②；根据随机事件概率的性质，即可判断③；若满足且，是对立事件，可判断④.

【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；故①正确；

对于②：若为两个事件，则；故②不正确；

对于③：若事件两两互斥，若，则，故③不正确；

对于④：对于几何概型而言，若事件满足，，则不一定 是对立事件，

故④错误.

所以错误的命题有个，

故选：D

3．在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】利用二项式系数的性质：展开式中间项二项式系数最大，得，得出n的值.

【详解】在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项项的二项式系数最大， 即，解得：

故选：C．

【点睛】结论点睛：本题考查二项式系数的性质，在的展开式中，若n是偶数时，中间项项的二项式系数最大；若n是奇数时，中间两项与项的二项式系数相等且最大．

4．在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为（       ）

A．20 B．14 C．12 D．6

【答案】B

【分析】分（甲乙）、（丙丁）再同一组和不在同一组两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；

【详解】解：依题意甲乙丙丁四人再同一组，有种；

（甲乙），（丙丁）不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个核酸检测点，则有种，综上可得一共有种安排方法，

故选：B

5．用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（       ）

A．可组成个不重复的四位数

B．可组成个不重复的四位偶数

C．可组成个能被整除的不重复四位数

D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第个数字为

【答案】C

【解析】根据每个选项的四位数的特点分别利用排列组合的计算方式计算出结果即可判断.

【详解】A选项，有个，错；

B选项，分为两类：在末位，则有种，不在末位，则有种，

∴共有种，错；

C选项，先把四个相加能被整除的四个数从小到大列举出来，

即先选：，、、、，

它们排列出来的数一定可以被整除，∴共有：种，对；

D选项，首位为的有个，前两位为的有个，前两位为的有个，

因而第个数字是前两位为的最小数，即为，错.

故选：C．

6．有甲､乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票3张有奖票，乙箱中有4张无奖票2张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，则最后抽到有奖票的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先分为在甲箱中抽出一张有奖票放入乙箱和在甲箱中抽出一张无奖票放入乙箱，进而结合条件概率求概率的方法求得答案.

【详解】记表示在甲箱中抽出一张有奖票放进乙箱，表示在甲箱中抽出一张无奖票放进乙箱，A表示最后抽到有奖票.

所以，，于是.

故选：B.

7．已知下列命题：

①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；

②两个变量相关性越强，则相关系数r就越接近于1；

③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；

④在回归直线方程 中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5；

⑤在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；

⑥对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说， 越小，“与有关系”的把握程度越大．

⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.     

则正确命题的个数是（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】由回归直线恒过样本中心点，不一定经过每一个点，可判断①；由相关系数的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断②；由方差的性质可判断③；由线性回归直线方程的特点可判断④；相关指数R2的大小，可判断⑤；由的随机变量K2的观测值k的大小可判断⑥；残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断⑦．

【详解】对于①，回归直线恒过样本点的中心（），可以不过任一个样本点，故①错误；

对于②，两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近于1，故②错误；

对于③，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，由方差的性质可得方差不变，故③正确；

对于④，在回归直线方程2﹣0.5x中，当解释变量x每增加一个单位时，

预报变量平均减少0.5个单位，故④正确；

对于⑤，在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，

R2越接近于1，表示回归效果越好，故⑤正确；

对于⑥，对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，

“X与Y有关系”的把握程度越大，故⑥错误；

对于⑦，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故⑦正确．

其中正确个数为4．

故选B．

【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．

8．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．

【详解】由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率：

．

故选：B．

二、多选题

9．设，下列结论正确的是（     ）

A．

B．

C．中最大的是

D．当时，除以2000的余数是1

【答案】ABD

【分析】A赋值法求即可；B由，写出展开式通项，求；C：由B求得，与比较大小；D将代入右式，并确定、的值，即可.

【详解】A：令，，正确；

B：由，则展开式通项为，故，，所以，正确；

C：由B知：，显然比大，错误；

D：时，，而，，即可知除以2000的余数是1，正确.

故选：ABD

10．已知随机变量，且，则关于，下列正确的是（       ）

A． B．

C．展开式中的常数项为 D．展开式中的常数项为

【答案】AC

【分析】分别求得值和展开式中的常数项即可解决.

【详解】由随机变量，且，则，

则，

的展开式的通项公式为：

，，，

令，解得，令，解得，

所以的展开式中的常数项为，

故选：AC.

11．下列说法正确的是（       ）

A．设离散型随机变量X等可能取1，2，3，…，n，若，则

B．设随机变量X服从二项分布，则

C．设离散型随机变量服从两点分布，若，则

D．设随机变量x服从正态分布且，则

【答案】AC

【分析】直接利用离散型随机变量，排列组合数，正态分布的应用判断A、B、C、D的结论．

【详解】解：由题意知，

对于A：，，故A正确；

对于B：设随机变量服从二项分布，则，B错误；

对于C，因为且，

，故C正确；

对于D，随机变量服从正态分布，

正态曲线的对称轴是．

，所以

，

，D错误；

故选：AC．

12．下列四个命题中正确的命题是（       ）

A．在回归模型中，预报变量的值不能由解释变量唯一确定

B．若变量，满足关系，且变量与正相关，则与也正相关

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，

【答案】ACD

【分析】由已知结合归回方程的相关概念，不难确定A、C正确，选项B中，变量，，三者之间的关系，可根据给出的变量，满足的关系来判断；选项D中，可根据给到的回归方程，通过两边取指数，对比对应项的系数完成求解.

【详解】选项A：在回归模型中，预报变量的值有解释变量和随机误差共同确定，即只能解释部分的变化，故该选项正确；

选项B：若变量，满足关系，且变量与正相关，则与也正相关；应该是负相关．故错误；

选项C：在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适. 相关指数来刻画回归的效果, 值越大,说明模型的拟合效果越好。比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好，故该选项正确；

选项D：以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，．故正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．已知随机变量X服从二项分布B（4，p），其期望E（X）=3，随机变量Y服从正态分布N（1，2），若P(Y>0)=p，则P(0<Y<1)=_______．

【答案】0.25

【分析】根据，及求得p，从而根据，求得，从而有.

【详解】由知，，则，

则，，

故，

因此

故答案为：0.25

14．甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案有______种．

【答案】

【分析】利用组合计数原理可得结果.

【详解】甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案种数为.

故答案为：.

15．展开式中的系数为_____.（用数字作答）

【答案】-15

【分析】根据幂的意义，其中一个因式取，其余的因式都取，可得含的项，从而求得含的项的系数．

【详解】解：表示个因式的乘积，其中一个因式取，其余的因式都取，可得含的项，

故含的项的系数为，

故答案为：．

【点睛】本题考查求二项式展开式的指定项的系数，属于基础题．

16．正五边形中，若把顶点，，，，染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种．

【答案】

【解析】根据题意，不妨先染顶点，再染，，讨论、同色，、不同色两种情况，结合分步乘法与分类加法计数原理，逐步计算，即可得出结果.

【详解】由题意，不妨先染顶点，则有种染法；再染，，

当，同色时，，共有种染法，则，共有种染法；

当，不同色时，，共有种染法，则，的染色情况可以分以下三类：

①若与颜色相同，则有种不同染色方法；

②若与颜色相同，则有种不同染色方法；

③若、与颜色都不相同，则、有种不同染色方法；

综上，不同的染色方法有种.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：

解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；

(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；

(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；

(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；

(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．

四、解答题

17．在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列.

(1)求展开式中的所有有理项；

(2)求系数最大的项.

【答案】(1)，，

(2)或

【分析】（1）先求出前三项的系数，再由前三项的系数依次成等差数列，得，求出，从而可求出二项式展开式的通项公式，进而可求出其的有理项，

（2）设第项的系数最大，则，且，从而可求出的范围，进而可求出系数最大的项

【详解】(1)∵，，，

由题设可知，，解得或（舍），

当时，通项，

据题意，必为整数，从而可知必为4的倍数，而，

∴，4，8，

故展开式的有理项为，，.

(2)设第项的系数最大，显然，故，且，

即得，且得，

∵，

∴或，

∴系数最大的项为或.

18．在一次购物抽奖活动中，假设某张奖券中有一等奖券张，可获价值元的奖品；有二等奖券张，每张可获价值元的奖品；其余张没有奖.某顾客从这张中任抽张.

（1）该顾客中奖的概率；

（2）该顾客获得的奖品总价值（元）的分布列.

【答案】（1）；（2）分布列见解析.

【分析】（1）根据古典概型的概率公式，结合组合数即可求解；

（2）求得所有可能的取值为（单位：元）：，，，，，求出对应的概率，即可列出分布列.

【详解】（1）记顾客中奖为事件，，即该顾客中奖的概率为；

（2）所有可能的取值为（单位：元）：，，，，，

且，，

，，，

故的分布列为：

19．甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立．

（1）求甲获胜的概率；

（2）设比赛结束时甲和乙共进行了局比赛，求随机变景的分布列及数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．

【分析】（1）根据题意，结合五局三胜制规则，分别求得比赛三、四和五局且甲获胜的概率进而求得甲获胜的概率；

（2）随机变量的取值为3，4，5，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得期望.

【详解】（1）由题意知，比赛三局且甲获胜的概率，

比赛四局且甲获胜的概率为，

比赛五局且甲获胜的概率为，

所以甲获胜的概率为．

（2）随机变量的取值为3，4，5，

则，，

，

所以随机变量的分布列为

所以．

【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：

1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；

2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；

3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；

4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.

20．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．

附：

，其中

（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？

（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．

【答案】（1）填表见解析；有；（2）分布列见解析；期望为．

【分析】（1）根据题意即可完善列联表，计算卡方，根据临界值作出结论；

（2）由题意可知随机变量，利用二项分布求分布列期望即可.

【详解】（1）列联表如下：

所以，

所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”；

（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为，

又因为，所以随机变量的分布列为：

故．

21．某地区2012年至2018年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

（1）求y关于t的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，

（参考数据：；．）

【答案】（1）；（2）在2012至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加千元；预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入千元．

【分析】（1）利用回归直线方程计算公式计算出回归直线方程.

（2）结合回归直线方程进行分析，并计算出预测值.

【详解】（1），

，

，

所以.

（2）根据表格数据可知在2012至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加千元；

令，得（千元），

即预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入千元．

22．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值，标准差，以频率作为概率的估计值．

（1）为评估设备M的性能，从样本中任意抽取一个零件，记其直径为X，并根据以下规则进行评估（P表示相应事件的频率）：

①；②；③．

若同时满足上述三个不等式，则设备M的性能等级为甲；若满足其中两个不等式，则设备M的性能等级为乙；若仅满足其中一个不等式，则设备M的性能等级为丙；若全部不满足，则设备M的性能等级为丁．试判断设备M的性能等级．

（2）将直径小于或等于或直径大于的零件认为是次品．

①从设备M的生产流水线上任意抽取2个零件，计算其中次品个数Y的数学期望；

②从样本中任意抽取2个零件，计算其中次品个数Z的数学期望

【答案】（1）设备M的性能等级为丙；（2）①；②．

【分析】（1）由题意分别计算出三种情况的结果，即可判断出性能等级；（2）①由题意可得次品共6个，次品率为0.06，然后计算出数学期望，②先列出分布列，然后计算出数学期望.

【详解】（1）因为，

，

，

所以设备M的性能等级为丙．

（2）易知样本中次品共6个，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．

①由题意可知，于是．

②Z的分布列为

故．