2022-2023学年山东省东营市第一中学高二下学期开学摸底检测数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省东营市第一中学高二下学期开学摸底检测数学试题

一、单选题

1．已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据光线的入射光线和反射光线之间的规律，可先求F点关于直线BC的对称点P，再求P关于直线AC的对称点M,由此可确定动点D在直线BC上的变动范围，进而求的其斜率的取值范围.

【详解】由题意可知：直线 的方程为 ，直线的方程为，如图：

设关于直线的对称点为，则,

解得，故，

同理可求关于直线的对称点为,

连接,交于N，

而MN方程为y=2,联立得N点坐标为，

连接，分别交于,

方程为：，和直线方程联立，

解得H点坐标为,

PN的方程为x=2,和直线方程联立解得，

连接,则之间即为动点D点的变动范围，

而 ,

故FD斜率的取值范围是 ，

故选B.

2．已知点，点M是圆上的动点，点N是上的动点，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由圆外的点和圆上的点的连线长度的最值关系，转化为求.

【详解】由条件可知的最大值是，

，

,

所以的最大值是.

故选：A

【点睛】结论点睛：本题第二问考查与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：

（1）设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为

，最大值为；

（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；

（3）记圆的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为，最小值为.

3．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，则抛物线的顶点坐标是（0，0），并且过，利用待定系数法求即可．

【详解】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，

结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为.故选A．

【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．

4．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，从点发出一条平行于x轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点，则光线从A出发到达B所走过的路程为（    ）

A．8 B．10 C．12 D．14

【答案】C

【分析】利用抛物线的定义求解.

【详解】如图所示：

焦点为，设光线第一次交抛物线于点，第二次交抛物线于点，

过焦点F，准线方程为：，

作垂直于准线于点，作垂直于准线于点，

则，

，

，

，

故选：C

5．对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数.若，，为数列的前n项和，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据高斯函数的性质以及数列求和公式进行计算.

【详解】解：由题意，当，，时，均有，

故可知：

.

故选：A

6．若正项数列中，，，则的值是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设，则，利用变形，可得数列是首项为，公差为的等差数列，求出，由此再求出，可得.

【详解】设，则，

当时，，得，因为，所以，

当时，，得，

得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以，因为数列是正项数列，所以，所以，

所以当时，，

又时，也适合上式，

所以，

所以.

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用变形，得到数列是首项为，公差为的等差数列，求出是解题关键.

7．函数在点处的切线与坐标轴围成的图形面积是（    ）

A．12 B．9 C． D．

【答案】D

【分析】先利用的导函数求出切线的斜率，即可求出解析式，即可求出截距，最后求出面积.

【详解】由题，，，所以切线为，整理得，易得切线的截距为和12，围成的图形为直角三角形，故所求面积为，

故选：D

8．设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】方程化为或，由导数确定函数的单调性、极值，结合函数图象可得参数范围．

【详解】因为恰好有4个不相等的实数解，

所以恰好有4个不相等的实数解，

所以或共有4个解，

设，，则，

所以时，，单调递增，

 时，，单调递减，

且，，

当时，，所以

设，，

则，为单调减函数，

且时，，，

作出函数的图象如图所示：

由图可知只有一解，

要恰好有4个不相等的实数解，

即要恰有3解，

所以，

即，

故选：B.

【点睛】方法点睛：利用导数研究方程解的个数问题的方法是方程转化为的形式，然后利用导数确定函数的性质（单调性、极值、函数的变化趋势），作出函数的大致图象及直线观察图象可得解的个数的结论．

二、多选题

9．已知过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，则（    ）

A．的最大值为4

B．的最小值为

C．点到直线的距离的最大值为

D．的面积为

【答案】AC

【分析】求得圆的圆心坐标为，半径为，结合圆的性质和圆的弦长公式，准线判定，即可求解.

【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，

又由点在圆内部，

因为过点的直线与圆交于两点，

所以的最大值为，所以A正确；

因为，

当直线与垂直时，此时弦取得最小值，

最小值为，所以B错误；

当直线与垂直时，点到直线的距离有最大值，

且最大值为，所以C正确；

由，可得，即，

所以的面积为，所以D错误.

故选：AC.

10．已知双曲线的左､右顶点分别为，点是上的任意一点，则下列结论正确的是（    ）

A．若直线与双曲线无交点，则

B．焦点到渐近线的距离为2

C．点到两条渐近线的距离之积为

D．当与不重合时，直线的斜率之积为2

【答案】BC

【分析】由双曲线的渐近线可以判断A；

求出双曲线的渐近线和焦点，进而根据点到直线的距离判断B；

设点，进而求出该点到两条渐近线的距离之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断C；

求出的斜率之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断D.

【详解】对A，双曲线的渐近线方程为，若直线与双曲线无交点，则.A错误；

对B，由A渐近线方程为，焦点为，则焦点到渐近线的距离.B正确；

对C，设点，则，点到两条渐近线的距离之积为.C正确；

对D，易得，由C点满足，所以直线的斜率之积为.D错误.

故选：BC.

11．已知数列是公差为的等差数列，若存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是（    ）

A．符合题意的数列有无数多个

B．符合题意的实数有无数多个

C．符合题意的数列仅有一个

D．符合题意的实数仅有一个

【答案】AD

【分析】设从数列抽出的无限多项按原来的先后次序构成数列，分别在，，时探究数列是否为等差数列，由此判断各选项的对错.

【详解】设抽出的无限多项按原来的先后次序构成等差数列，

①若：此时只需为任意非零常数列即可；

②若：则中只存在有限负数项，即存在，当时，，则当时，中均为正项，而另一方面，由上可知中公差，因此存在，当时，中均为负项，取，可知此时矛盾，故舍去；

③若：同②可知需舍去.

综上，符合题意的数列为任意非零常数列，，

故选：AD.

12．已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是(    )

A．当时，在单调递增

B．当时，在处的切线方程为

C．当时，在上至少有一个零点

D．当时，在上不单调

【答案】ABD

【分析】A．代入m＝1，求，根据指数函数和正弦函数在上的值域即可判断的正负，由此可判断f(x)在上的单调性；

B﹒代入m＝1，求f(0)和，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程；

C﹒代入m＝－1，求，令，求，根据在上的正负判断的单调性，根据单调性可判断其在上是否有零点；

D﹒判断在，上的正负，由此判断的单调性，由此可判断在，上有零点，故可判断f(x)在，上不单调．

【详解】①当时，，，

当x＞0时，＞1，－1≤sinx≤1，∴＞0，∴f(x)在上单调递增，故A正确；

∵f(0)＝0，，∴在处的切线方程为y＝x，故B正确；

②当m＝－1时，，，

令，则，

当x＞0时，＞1，－1≤cosx≤1，∴＞0，∴在上单调递增，

∴当x≥0时，≥＝1，∴在上无零点，∴C错误；

当，时，cosx＜0，＞0，∴＞0，

∴在，单调递增，

又，而，

∴由零点存在定理可知，存在唯一，，使得，

当，时，，单调递减，

当，时，，单调递增，

∴在，上不单调，故D正确．

故选：ABD.

三、填空题

13．若不等式的解集为，且，则___________．

【答案】##

【分析】设，则可根据两个函数的图象的位置关系求得的值.

【详解】设，，

则，故即，

结合可得在以原点为圆心，半径为2的半圆上（如图所示），

所以的图象为如图所示的半圆，其中

而的图象为过的动直线，

因为不等式的解集为，

故的图象不在图象上方的点的横坐标的集合为，

若，结合图象可得，故，故的图象过，

故此时即，

若，结合图象可得此时，这与矛盾，

若，结合图象可得故的图象不在图象上方的点的横坐标的集合为空集，

故答案为：

【点睛】思路点睛：对于含参数的不等式的解的问题，可根据不等式的形式将解的问题转化为熟悉函数图象的位置关系问题，结合动态讨论求出参数满足的要求.

14．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为_____________.

【答案】##4.5

【分析】设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，所以，从而有，最后利用均值不等式即可求解.

【详解】解：设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，

所以，即，

故，当且仅当时取等，

所以，

故答案为：.

15．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）．若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为___________．

【答案】2023

【分析】根据递推公式，可知从第2项起是等差数列，可得，再根据累加法，可得，由此可得当时，，又，由此即可求出.

【详解】当时，，

，

，

，

从第2项起是等差数列.

又，，，，

，

当时，

，

（），

当时，.

又，

.

故答案为：2023

16．已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax+b在x=2处取得极值9，则a+2b=___________.

【答案】-24

【分析】根据和列式可解得结果.

【详解】f′(x)=3ax2+6x-6a，

因为f(x)在x=2处取得极值9，

所以，即，解得，

所以，

故答案为：-24

四、解答题

17．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此点为.

（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；

（2）若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点的坐标，并求折痕所在的直线的方程；

（3）当时，求折痕长的最大值.

【答案】（1）；（2）；(3).

【详解】试题分析：（1）若折痕的斜率为时，由于点落在线段上，可得折痕必过点，即可得出；（2）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程，当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，可知与关于折痕所在的直线对称，有，故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，即可得出；（3）当时，折痕为2，当时，折痕所在直线交于点，交轴于，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．

试题解析：（1）∵折痕的斜率为时，点落在线段上

∴折痕必过点

∴直线方程为

（2）①当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程.

②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，

则与关于折痕所在的直线对称，有，即．

∴点坐标为

从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，折痕所在的直线方程，即．

综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：．

（3）当时，折痕长为2．

当时，折痕所在直线交于点，交轴于．

∵ ，

∴折痕长的最大值为.

∴综上所述，折痕长度的最大值为

点睛：本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题

18．滴水湖又名芦潮湖，呈圆形，是上海浦东新区南汇新城的中心湖泊，半径约为千米.一“直角型”公路A-B-C（即）关于OB对称且与滴水湖圆O相切，如图建立平面直角坐标系.

(1)求直线BC的方程；

(2)现欲在湖边和“直角型”公路A-B-C围成的封闭区域内修建圆形旅游集散中心，如何设计才能使得旅游集散中心面积最大？求出此时圆心到湖中心O的距离.

【答案】(1)

(2)设计见解析，此时圆心到湖中心O的距离km.

【分析】（1）根据图象设直线方程，根据直线与圆相切求解参数；

（2）计算圆与湖相切，与直角公路相切时的长度即可.

【详解】（1）由题可得直线BC的倾斜角135°，设直线BC的方程，与圆相切，

，

所以直线BC的方程

（2）若要使旅游集散中心面积最大，则应设计为圆与湖相切，且与直角公路相切，

设此时，则圆半径，

由可得，解得，

所以此时圆心到湖中心O的距离为km.

19．已知抛物线的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，

(1)求抛物线方程；

(2)若，求的值；

(3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且分别为线段的中点，求的面积最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据焦点坐标可直接得到抛物线方程；

（2）由可得，设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，由可构造方程求得；

（3）设，，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得中点坐标，进而表示出，由，利用基本不等式可求得最小值.

【详解】（1）抛物线的顶点在原点，焦点为，抛物线方程为：；

（2）由题意知：，可设直线，，，

，，即，

由得：，，

，即，

解得：，；

（3）由题意知：直线的斜率均存在，

不妨设，，，，，

则；

由得：，则，即；

，，，

；同理可得：

，，

（当且仅当，即时取等号），

面积的最小值为.

20．在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.

问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________

(1)求数列的通项公式；

(2)令，其中表示不超过的最大整数，求.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①，设等差数列中，公差为，进而得，解方程得，再求通项公式即可；

选②，由题知，进而解得 ，再求通项公式即可；

选③，由题知，即，解得，再求通项公式即可；

（2）由题知，再结合，，，求解即可.

【详解】（1）解：选①

设等差数列中，公差为，因为，，

所以，解得，

所以，

选②

因为等差数列中，公差为1，且成等比数列，

所以，即，解得

所以.

选③

因为等差数列中，，，

所以，即，解得

所以

（2）解：由（1）知，

因为，，，，

所以当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

所以

21．设函数().

（1）若，求的极值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若，证明：.

【答案】（1）0，无极大值；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】（1）由得到，然后分别令，，再根据极值的定义求解.

（2）由，分，，，，由，求解.

（3）根据（1）知在上为减函数，得到，即，然后令，得到，再利用不等式的性质求解.

【详解】（1）的定义域为，

当时，，

若，则，

若，则,

在上单调递减，在上单调递增．

，没有极大值．

（2），

当时，若，则，

若，则，

在上单调递减，在上单调递增，

当，即时，

若，则或，

若，则

在上单调递减，在，上单调递增

当，即时，恒成立，

在上单调递增．

当，即时，

若，则或;

若，则，

在上单调递减，在上单调递增

综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增;

当时，在上单调递增;

当时，在上单调递减，在上单调递增

当时，在上单调递减，在上单调递增;

（3）由（1）知在上为减函数，

时，，

令，得

，

即

，…, ，

将以上各式左右两边相加得：

，

.

【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是联系到在上为减函数，再从不等式的结构和对数的运算，想到构造求解.

22．已知函数（为常数）

(1)讨论的单调性

(2)若函数存在两个极值点，且，求的范围.

【答案】(1)答案见解析.

(2)

【分析】（1）求出，再根据判别式来分类讨论求解；

（2）求导得到韦达定理，再化简，设，求出的最值即得解.

【详解】（1）∵，

，当时，，，在定义域上单调递增；

当时，在定义域上，

时，在定义域上单调递增；

当时，令得，，

，时，；时，

则在，上单调递增，在上单调递减.

综上可知：当时，在定义域上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减.（其中，）

（2）由（1）知有两个极值点，则，

的二根为，

则，，

，

设，又，∴.

则，，

∴在递增，.

即的范围是

【方法点睛】关于双变量的问题，一般转化成单变量的函数问题来解决.本题就是把双变量的化成关于的函数再来解答.