2021-2022学年山东省东营市广饶县第一中学高一下学期开学考试数学试题

2021级高一下学期收心考试

数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，集合，，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出，进而求出.

【详解】，故

故选：B

2. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零可得出关于实数的不等式，进而可求得原函数的定义域.

【详解】对于函数，有，解得.

因此，函数的定义域为.

故选：B.

【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

3. 已知命题，，那么命题p的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】命题是特称命题，其否定为全称命题，需修改量词，否定原命题的结论，即可得到命题的否定.

【详解】解：命题，的否定是：，.

故选：C

4. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指对数函数的性质判断a、b、c的大小.

【详解】由，

所以.

故选：A

5. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A. 60 B. 63 C. 66 D. 69

【答案】C

【解析】

【分析】将代入函数结合求得即可得解.

【详解】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

6. 高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将函数的零点问题转化为的图象与函数的图象有且仅有个交点的问题，根据高斯函数的定义，求出的解析式，作出其图象，数形结合即可得参数的取值范围．

【详解】函数有且仅有3个零点，

即的图象与函数的图象有且仅有个交点．

而，

画出函数的图象，

易知当时，与图象最多有1个交点，故，

作出函数的大致图象，结合题意可得，解得：，

所以实数的取值范围是，

故选：D．

7. 已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数a的取值范围（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题可知函数在区间R上为增函数，则f(x)在x＝1左右两侧均为增函数，且左侧在x＝1出函数值小于或等于右侧在x＝1出函数值.

【详解】由题可知函数在区间R上为增函数，

则，解可得.

故选：D.

8. 函数的图象关于原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，则的对称中心为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意设函数的对称中心为点，进而结合为奇函数得，再解方程即可得答案.

【详解】解：由题设函数的对称中心为点，则，

所以，即，

因为，

所以，

，

所以

恒成立，

所以，解得，

所以函数的对称中心为点

故选：C

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根式的运算及根式与指数互化判断A、B；应用对数的运算性质判断C、D.

【详解】A：，故错误；B：，故正确；C：，故正确；D：，故错误.

故选：BC.

10. 从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，下列选项互为互斥事件的是（    ）

A. 至少有一个白球和全是白球 B. 至少有一个白球和全是红球

C. 恰有一个白球和恰有2个白球 D. 至少有一个白球和至少有一个红球

【答案】BC

【解析】

【分析】需要区分互斥事件与对立事件的区别，再结合发生事件的特点逐一判断即可．

【详解】互斥事件不一定是对立事件，可类比为集合中互无交集的几个子集，而对立事件一定是互斥事件且满足两事件概率之和为1；

对A：至少有一个白球包括：一个红球一个白球和两个白球两种情况，全是白球指的是：两个白球，显然两个事件不是互斥事件，不符合题意；

对B：至少一个白球包括：一红一白和两个白球，显然至少有1个白球和全是红球是互斥事件和对立事件，符合题意；

对C：恰有1个白球和恰有两个白球显然是互斥事件，但不是对立事件，事件还包括：恰有两个红球，符合题意；

对D：至少一个白球包括：一红一白和两个白球，至少一个红球包括：一红一白和两个红球，两事件不互斥，不符合题意；

故选：BC

11. 下列说法中，正确的有（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若对，恒成立，则实数m的最大值为2

D. 若，， ，则的最小值为4

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据不等式的性质可以说明A正确；利用中间值验证B错误；利用基本不等式加上恒成立可以说明C正确；巧用“”可以说明D正确.

【详解】，，左右两边同时乘以得，故A正确；

，故B错误；

，，要使恒成立，则，故实数m的最大值为2，故C正确；

，，，故的最小值为4，故D正确.

故选：ACD

12. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（    ）

A. 对于圆O，其“太极函数”有1个

B. 函数是圆O的一个“太极函数”

C. 函数不是圆O的“太极函数”

D. 函数是圆O的一个“太极函数”

【答案】BD

【解析】

【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.

【详解】解：对于A选项，圆O，其“太极函数”不止1个，故错误；

对于B选项，由于函数，当时，，当时，，故为奇函数，故根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”，故正确；

对于C选项，函数定义域为，，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故错误；

对于D选项， 函数定义域为，，故为奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故正确.

故选：BD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若函数且的图象恒过定点A，则A坐标为______．

【答案】

【解析】

【分析】令，函数值是一个定值，与参数a无关，即可得到定点.

【详解】令，则，，

所以函数图象恒过定点为.

故答案为：

14. 求方程的解所在区间是________.

【答案】

【解析】

【分析】令，利用零点存在定理即得.

【详解】构造函数，函数在上单调递增，

∵,

∴函数在存在零点.

故答案为：.

15. 某样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3．若该样本的平均数为1,则样本方差为_______．

【答案】2

【解析】

【分析】先由数据的平均数公式求得，再根据方差的公式计算．

【详解】解：由题可知样本的平均值为1，

，解得，

样本的方差为．

故答案为2.

【点睛】本题考查一组数据的平均数公式、方差公式，属于基础题．

16. 已知函数，若存在实数a，，使在上的值域为，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由题设，将问题转化为与在上有两个交点，进而构造，研究其在上有两个零点的情况下的取值范围即可.

【详解】由题设，为增函数且定义域为，要使在上的值域为，

∴，易知：，

∴与在上有两个交点，即在上有两个根且恒成立即，

∴对于，有，

可得，

故答案为：

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，．

（1）当时，求集合B与；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）解分式不等式求集合B，再由集合的交运算求.

（2）由题设可知，结合已知列不等式求参数a的范围.

【小问1详解】

由，则或，得．

当时，集合，

所以；

【小问2详解】

若“”是“”的充分不必要条件，则，又，

所以，解得，即实数a的取值范围是．

18. 已知函数．

（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；

（2）解关于x的不等式．

【答案】（1），奇函数   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据对数函数的性质可求得定义域；根据函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性；

（2）将化为，再利用函数的单调性得到，解不等式结合函数的定义域可得答案.

【小问1详解】

由，得函数的定义域为，定义域关于原点对称，

又,

所以函数奇函数；

【小问2详解】

因为，

所以不等式可化为，

因为在是增函数，所以有，

又，所以，解得，又，

因此不等式的解集为．

19. 已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）已知在上单调递增，求的取值范围；

（3）求在上的最小值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）当时，得到函数，结合一元二次不等式的解法，即可求解不等式的解集；

（2）结合二次函数的图象与性质，即可求解；

（3）根据二次函数的图象与性质，分、和，三种情况讨论，即可求解.

【小问1详解】

解：当时，函数，

不等式，即，解得或，

即不等式的解集为.

【小问2详解】

解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，

要使得在上单调递增，则满足，

所以的取值范围为.

【小问3详解】

解：由函数，可得图象开口向上，且对称轴为，

当时，函数在上单调递增，所以最小值为；

当时，函数在递减，在上递增，

所以最小值为；

当时，函数在上单调递减，所以最小值为，

综上可得，在上的最小值为.

20. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A、B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度的平均值及分散程度（不要求算出具体值，给出结论即可）：

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）0.44

【解析】

【分析】（Ⅰ）根据调查数据和茎叶图的定义，可做出茎叶图，通过图中的数据的分散程度，可得结论；

（Ⅱ）事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，分为两种情况：第一种情况是：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，同时“B地区用户满意度等级为不满意”；第二种情况是“A地区用户满意度等级为非常满意”，同时“B地区用户满意度等级为满意”，分别求出其概率，再运用概率的加法公式可得值；

【详解】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的如下

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．

（Ⅱ）记表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”；

表示事件：“A地区用户满意度等级非常满意”；

表示事件：“B地区用户满意度等级为不满意”；

表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”．

则与独立，与独立，与互斥，．

．

由所给数据得，，，发生的概率分别为，，，．

故，，，

故．

【点睛】本题考查茎叶图和特征数，求互斥事件和独立事件的概率，关键在于将事件分成相互独立互斥事件，分别求其概率，再运用概率的加法公式，属于中档题．

21. 已知函数（a＞0且）是偶函数，函数（a＞0且）．

（1）求b的值；

（2）若函数有零点，求a的取值范围；

（3）当a＝2时，若，使得恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据f（x）为偶函数，由f（－x）＝－f（x），即对恒成立求解；

（2）由有零点，转化为有解，令，转化为函数y＝p（x）图象与直线y＝a有交点求解；

（3）根据，使得成立，由求解.

【小问1详解】

解：因为f（x）为偶函数，

所以，都有f（－x）＝－f（x），

即对恒成立，

对恒成立

，对恒成立，

所以．

【小问2详解】

因为有零点

即有解，即有解．

令，则函数y＝p（x）图象与直线y＝a有交点，

当0＜a＜1时，无解；

当a＞1时，在上单调递减，且，

所以在上单调递减，值域为．

由有解，可得a＞0，此时a＞1，

综上可知，a的取值范围是；

【小问3详解】

，

当时，，

由（2）知，当且仅当时取等号，所以的最小值为1，

因为，使得成立，

所有，

即对任意的恒成立，

设，

所以当t＞1时，恒成立，

即，对t＞1恒成立，

设函数在单调递减，

所以，

所以m≥0，即实数m的取值范围为．

22. “春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：

优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；

优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．

例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元．

（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；

（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？

【答案】（1）一次支付好，理由见解析   

（2）购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件

【解析】

【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案；

（2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案.

【小问1详解】

分两次支付：支付额为

元;

一次支付：支付额为元,

因为，所以一次支付好；

【小问2详解】

设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件，

当时，不能享受每满400元再减40元的优惠

当时，，，

当时，，；

当时，，．

所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．

当时，能享受每满400元再减40元的优惠

当时，，

当，时，;

当时，，

y随着n的增大而增大，所以当，时，．

综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件