2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第八中学高二下学期第一次质量检测（开学摸底）数学试题含解析

这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第八中学高二下学期第一次质量检测（开学摸底）数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．数列，，，，的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由数列的前几项归纳出数列的一个通项公式即可.
【详解】解：数列，，，，，
所以第项为，所以通项公式为，故A、B、C错误，D正确.
故选：D
2．等比数列中，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，由题意可得，而，代入计算可得.
【详解】设等比数列的公比为，
则，解得，
故.
故选：D.
3．已知曲线的方程为（），若曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．或5D．
【答案】D
【分析】根据焦点在轴上的双曲线的方程特征进行求解即可.
【详解】若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得．
故选：D．
4．已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．-2B．C．2D．
【答案】D
【分析】设出A，B坐标，列出坐标所满足的方程，将两方程相减得到l的斜率与线段AB中点坐标的关系，由此求解出直线l的斜率.
【详解】设，，因为A，B都在椭圆上，
所以，两式相减，得，
得，
又因为线段AB中点坐标为，，，
所以，
故选：D.
5．在数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据数列的递推公式可得，结合累加法，即可求解.
【详解】由题意可得，
所以当时，，，，，
上式累加可得，
，
又，所以，
当时，满足上式，
所以.
故选：B.
6．若双曲线 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：本题已知：焦点坐标，渐近线方程为：,距离为：
化简得：， 又：，得：
【解析】双曲线的几何性质及点到直线的距离和方程思想．
7．在下列条件中，能使与，，一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．
【详解】解：空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；
对于A，因为，所以不能得出，，，四点共面；
对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；
对于C，，则，，为共面向量，所以与，，一定共面；
对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．
故选：C．
8．公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为（ ）
A．16B．28C．32D．64
【答案】C
【分析】根据题意，利用等比数列的求和公式，列出方程组，求得，进而求得第5个区域种植观赏树的棵数，得到答案．
【详解】由题意，设等比数列首项为，公比为，
可得且，所以，
解得，则，即第5个区域种植棵．
故选：C.
9．已知抛物线，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得．
【详解】如图，作与准线垂直，垂足分别为，则，
，当且仅当三点共线即到重合时等号成立．
故选：B．
10．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解.
【详解】因为，所以，
由椭圆的定义得：，解得，
因为，所以，
两边同除以a得，解得 ，
因为 ，所以，
所以该离心率的取值范围是
故选：D.
二、多选题
11．设抛物线：的焦点为，点，是抛物线上不同的两点，且，则（ ）
A．线段的中点到的准线距离为4
B．直线过原点时，
C．直线的倾斜角的取值范围为
D．线段的垂直平分线过某一定点
【答案】AD
【分析】先求出，可判断A与B，设直线的方程为，联立抛物线，结合韦达定理与判别式可判断C，化简的垂直平分线方程可判断D．
【详解】设，抛物线：，得
，所以
线段的中点到的准线距离为，则A正确；
若直线过原点，设，则，所以
所以，B错；
设直线的方程为，
由得，
则，得，又
得，故或，故C错；
线段中点的坐标为
所以线段的垂直平分线方程为
又，故化为，过定点
当直线的斜率不存在时也成立，故D正确．
故选：AD
12．下列命题正确的是（ ）
A．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B．若等差数列的公差，则是递增数列
C．若，，成等差数列，则，，可能成等差数列
D．若数列是等差数列，则数列不一定是等差数列
【答案】BC
【解析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.
【详解】A选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式，故A不正确；
B选项：由等差数列性质知，必是递增数列，故B正确；
C选项：时，是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立，故C正确；
D选项：数列是等差数列公差为，所以也是等差数列，故D不正确；
故选：BC．
三、填空题
13．设，向量，且，则___________．
【答案】
【分析】根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出，再由向量的坐标运算及模的坐标表示求解．
【详解】因为，所以，解得，则．
因为，所以，解得，则．
．
故答案为:.
14．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________．
【答案】8
【分析】先确定抛物线中，焦点F(1，0)，再利用定义计算，即得结果.
【详解】抛物线y2＝4x中，，焦点F(1，0)，而直线AB过焦点F(1，0)，
故根据抛物线定义可知.
故答案为：8.
15．等差数列，的前n项和分别为和，若则＝________．
【答案】.
【详解】试题分析：根据等差数列的性质，由.
【解析】等差数列的性质.
16．过椭圆：的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为______
【答案】##
【分析】设此直线的与椭圆相交于点，直线方程为：与椭圆方程联立化为：，利用即可求解.
【详解】解：由椭圆：，可得右焦点.
设此直线与椭圆相交于点，
直线方程为：.
联立，
可得，
，.
.
故答案为：.
四、解答题
17．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
18．如图所示，在平行六面体中，为的中点.设.
(1)用表示；
(2)设是棱上的点，且，用表示.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由为的中点，结合平行六面体的性质可得，然后利用向量的加法法则可求得结果，
（2）根据向量的加减法法则结合已知条件求解.
【详解】（1）因为为的中点，，
所以，
所以
（2）因为，
所以
19．已知双曲线中，，虚轴长为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可求得双曲线的标准方程；
（2）将直线的方程与双曲线的方程联立，求出点、的横坐标，即可求得的面积.
【详解】（1）解：由已知条件可得，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
（2）解：由题意可知，直线的方程为，设点、，
联立，可得，解得，，
因此，.
20．已知数列满足，，其中为数列的前项和.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）由与的关系得出，再由等比数列的定义得出数列的通项公式；
（Ⅱ）先求出的通项公式，再由错位相减法求和即可.
【详解】（Ⅰ）由，，当时，可得.
当时，，两式相减得：，即，且.
故是以1为首项，3为公比的等比数列.所以
（Ⅱ），即
两式相减得
即
【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法
（1）公式法：①等差数列的前n项和公式，
②等比数列的前n项和公式；
（2）分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.
（4）倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.
（5）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.
21．如图，在正方体中， E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；
（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 .
【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法
如下图所示：
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
[方法二]:空间向量坐标法
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
又∵向量,,
又平面，平面；
（Ⅱ）[方法一]：几何法
延长到，使得，连接，交于，
又∵，∴四边形为平行四边形，∴，
又∵,∴,所以平面即平面,
连接，作,垂足为,连接,
∵平面,平面,∴，
又∵,∴直线平面,
又∵直线平面,∴平面平面,
∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，
根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.
设正方体的棱长为2，则,,∴,
∴,
∴,
即直线与平面所成角的正弦值为.
[方法二]：向量法
接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，
又∵,∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
[方法三]：几何法+体积法
如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．
因为，
所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．
设正方体的棱长为2，在中，易得，
可得．
由，得，
整理得．
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
[方法四]：纯体积法
设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，
在中，，
，
所以，易得．
由，得，解得，
设直线与平面所成的角为，所以．
【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；
（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.
22．已知椭圆．
(1)若，求椭圆的离心率；
(2)设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值；
(3)若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由椭圆的离心率定义即可得出答案；
（2）设，求出E点的坐标，表示出，由数量积的定义求出，即可求出m的值；
（3）设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点，讨论直线与双曲线的渐近线平行和直线与双曲线的渐近线不平行结合P为椭圆上一点即可得出答案.
【详解】（1）当时，椭圆，焦点在上，
则，则.
（2）因为为椭圆的左右顶点，所以，
令中，则，
若，，
，
解得：.
若，，
，
解得：.
（3）若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线，
设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点，
①直线与双曲线的渐近线平行时，
则双曲线的渐近线为：，所以.
因为P为椭圆上一点，所以，所以不满足题意.
②直线与双曲线的渐近线不平行时，
，则，
则，解得：，
解得：，因为，所以.
又因为P为椭圆上一点，所以，则，
则，解得：，
所以，所以，综上所述：.
则m的取值范围为：