2021-2022学年河南省焦作市高二下学期期末数学（文）试题含解析

2021-2022学年河南省焦作市高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出集合A对应的解集，再与集合B取交集即可.

【详解】解：，又因为，

则.

故选：D

2．复数在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】先根据复数的四则运算规则，将z表示为标准的复数形式，再根据复数的几何意义即可.

【详解】 ，根据复数在复平面上的几何意义，

其所对应的点在第二象限；

故选：B.

3．已知a，，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由基本不等式证明充分性，取特殊值说明不满足必要性，即可求解.

【详解】当时，，则“”是“”的充分条件；

当，取，则，则“”不是“”的必要条件；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业．2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面．如图为某研究机构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法不正确的是（       ）

A．2021年我国独角兽企业共有170家

B．京、沪、粤三地的独角兽企业共有119家

C．独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半

D．各行业独角兽企业数量的中位数为13

【答案】C

【分析】根据给出的图中信息依次分析选项即可.

【详解】对于选项A，将图中各行业数量加和，

可知2021年我国独角兽企业共有170家，故A正确；

对于选项B，京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%，

家，故B正确；

对于选项C，独角兽企业最多的三个行业为电子商务、汽车交通、人工智能，

共有73家，未超过一半，故C错误；

对于选项D，将各行业的企业数量从小到大排列，中位数为13正确.

故选：C

5．某锥体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图可以为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先由主视图及俯视图复原几何体，即可求解.

【详解】由主视图及俯视图得到锥体如图所示：

则左视图可以为A.

故选：A

6．已知向量，，，若，则（       ）

A． B．2 C． D．5

【答案】C

【分析】先计算出，再由向量平行的坐标公式求解即可.

【详解】由题意知：，由可得，解得.

故选：C.

7．化简：（       ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】A

【分析】根据诱导公式、二倍角公式及三角恒等式化简即可得解.

【详解】解：

=

故选：A

8．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由奇函数求得，进而求出，再求导求出，由点斜式方程写出切线方程即可.

【详解】由可得，整理得，则；

则，，，，则曲线在点处的切线方程为，整理得.

故选：B.

9．将函数的图像向右平移个单位长度，然后将所得的图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像．则在区间上的值域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据三角函数图像变换的知识得到函数的图像，再根据求得的值域.

【详解】解：将函数的图像向右平移个单位长度，

得到的图像，

将所得的图像上各点的横坐标缩小为原来的，得到

的图像，当时，

，则，

在区间上的值域为.

故选：D.

10．上海黄浦江上的卢浦大桥（图1）整体呈优美的弧形对称结构，如图2所示，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，若主拱的顶端P点到桥面的距离等于桥面与江面之间的距离，且米，则CD约为（精确到10米）（       ）

A．410米 B．390米 C．370米 D．350米

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，表示出点坐标，求出，即可求解.

【详解】

以为坐标原点，以的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，设主拱抛物线的方程为，

由题意可知，则，因为点到直线的距离等于直线与的距离，所以，

所以，所以米.

故选：B.

11．已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比为1：4，则该圆台外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出圆台的高及上下底面半径，设出外接球半径，由勾股定理解出半径，再由表面积公式求解即可.

【详解】

圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径为，因母线与轴的夹角为60°，可得圆台高为1，则；

设圆台外接球的半径为，球心到下底面的距离为，易得圆台两底面在球心同侧，则，且，

解得，则该圆台外接球的表面积为.

故选：C.

12．设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用双曲线的定义结合已知条件可得出，可求得，再由公式可求得双曲线的离心率的值.

【详解】由双曲线的定义得，又，

，即，

因此，即，则，

解得，（舍去），

因此，该双曲线的离心率为.

故选：B.

【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立、所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.

二、填空题

13．已知函数则______．

【答案】

【分析】直接由分段函数解析式求函数值即可.

【详解】由题意知：，则.

故答案为：.

14．若直线与圆的一个交点在x轴上，则l被C截得的弦长为______．

【答案】

【分析】先求出直线l与轴的交点，代入圆中求得，再由圆的弦长公式求解即可.

【详解】由题意得，直线与轴的交点为，则点在圆上，即，解得，则，

圆心到的距离为，则l被C截得的弦长为.

故答案为：.

15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则______．

【答案】

【分析】利用正弦定理边化角，然后整理可得.

【详解】由正弦定理可得

因为，，所以

因为，所以.

故答案为：

16．若当时， 恒成立，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】对所给的解析式参数分离，构造函数，求最小值即可.

【详解】由题意， ， ，

参数分离得： ，

设 ，则 ，

在 是增函数， ，

；

故答案为： .

三、解答题

17．设数列的前n项和为，已知，且．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知 是公比为3的等比数列，根据题目所给的条件求出首项即可；

（2）运用裂项相消法及等比数列的求和公式即可.

【详解】(1) ，∴ 是公比为3的等比数列，设首项为 ，

由 ， ，

；

(2) ，

；

18．2022年是共青团建团100周年，某校组织“学团史，知团情，感团恩”知识测试，现从该校随机抽取了100名学生，并将他们的测试成绩（满分100分）按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中m的值，并估计这100名学生测试成绩的平均数．（同一组数据用该组数据所在区间的中点值为代表）

(2)规定测试成绩不低于80分为“优秀”，请将下面的列联表（表中数据单位：人）补充完整，并判断是否有95%的把握认为“测试成绩是否优秀与文理科有关”．

参考公式及数据：，．

【答案】(1)，平均数为73；

(2)列联表见解析，没有95%的把握认为“测试成绩是否优秀与文理科有关”

【分析】（1）直接由频率和为1即可求出m的值，由每组数据的频率乘该组数据所在区间的中点值即可求出平均数；

（2）先完善列联表，再计算，和3.841比较，即可作出判断.

【详解】(1)由题意得，解得；

估计这100名学生测试成绩的平均数；

(2)在抽取的100名学生中，成绩优秀的学生人数为，由此可得完整的列联表如下：

，所以没有95%的把握认为“测试成绩是否优秀与文理科有关”.

19．如图，在三棱柱中，，．

(1)证明：平面平面；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理证得，，即可证得平面，即可证得平面平面；

（2）将点到平面的距离转化为点到平面的距离，由求出点到平面的距离即可求解.

【详解】(1)

连接，在中，，由余弦定理得，则，

因为，所以，又，所以，又因为，平面，

所以平面，又平面，所以平面平面；

(2)在三棱柱中，∥平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

由（1）知，平面，，且的面积为，所以三棱锥的体积为，

因为，所以的面积为，设点到平面的距离为，

则，解得，所以点到平面的距离为.

20．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为曲线与x轴的两个交点．

(1)求C的方程；

(2)点P是圆上的动点，过点P作C的两条切线，两条切线与圆O分别交于点A，B（异于P），证明：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见详解

【分析】（1）根据条件直接列方程组求解可得a、b、c，然后可得方程；

（2）设直线方程联立椭圆方程消元，利用判别式等于0可得关于k的一元二次方程，根据两切线斜率为所得方程的两根，根据韦达定理结合点P在圆上可得PA、PB垂直，然后可证，要注意对斜率不存在时的情况进行讨论.

【详解】(1)解得

由题知，解得

所以椭圆C的标准方程为

(2)设直线l斜率存在且与椭圆C相切，方程为

代入整理得

则，即…①

记，则，代入①整理得…②

当直线PA、PB斜率存在时，记其斜率分别为，易知为方程②的两根，

则有，

又，所以，即

所以AB为圆的直径，所以

当直线PA、PB有一条斜率不存在时，点P坐标为，易知此时A、B关于原点对称，AB为圆的直径.

综上，为定值.

21．已知函数．

(1)求的极值；

(2)若在时有解，求实数a的取值范围．

【答案】(1)极小值为0，无极大值；

(2)

【分析】（1）直接求导确定单调性求出极值即可；

（2）先参变分离得到，再构造函数求导确定最小值，即可求出实数a的取值范围．

【详解】(1)，当时，，当时，，则在上单减，在上单增，

故的极小值为，无极大值.

(2)在时有解，即在时有解，令，

则，由（1）知在上单增，且，则，

则当时，单减，当时，单增，所以，故.

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程；

(2)已知点，若l与C交于A，B两点，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将参数方程和极坐标方程利用三角函数同角关系消参即可得到直角坐标方程；

（2）将直线l表达为参数方程，利用韦达定理即可求解.

【详解】(1)由题意 得： ， ，

∴曲线C的直角坐标方程为：   ，

对于直线l，有 ， ，

，∴直线l的直角坐标方程为： ；

(2)

将直线l方程改写为参数方程： ，代入双曲线C的方程得：

， ，

由t的几何意义可知： ，

= ；

综上，C的直角坐标方程为，l的直角坐标方程为，

.

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式的解集是的子集，求实数a的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由，分， ， 求解；

（2）由（1）得到当时，，将不等式，化为，根据不等式的解集是的子集求解.

【详解】(1)解：，

当时，，解得，此时；

当时，，无解；

当时，，解得，此时，

综上或，

所以不等式的解集是或；

(2)由（1）知：当时，，

所以不等式，为，

当时，不等式化为，

因为不等式的解集是的子集，

所以，

当时，不等式化为，

因为不等式的解集是的子集，

所以，

综上：实数a的取值范围是.