2021-2022学年河南省焦作市高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年河南省焦作市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简集合即得解.

【详解】解: ，，所以．

故选：C

2．若角的终边经过点，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由三角函数的定义可得答案.

【详解】由三角函数的定义可得，

解得，因此．

故选：D.

3．如图所示，一船向正北方向航行，当航行到点时，看见正西方向有两个相距10海里的灯塔和恰好与船在一条直线上，继续航行1小时到达点后，看见灯塔在船的南偏西方向上，灯塔在船的南偏西方向上，则这艘船的速度是（       ）

A．5海里/时 B．海里/时 C．10海里/时 D．海里/时

【答案】A

【分析】依题意有，在中，求得，从而求得速度．

【详解】依题意有，，，

从而，在中，求得，

这艘船的速度是（海里/时）．

故选：A

4．已知向量，，且，则实数（       ）

A． B． C．4 D．-4

【答案】A

【分析】求出，再化简即得解.

【详解】解：由已知得，

因为，所以，即，

解得．

故选：A

5．从甲地开车到乙地共有，，三条路线可走，路线堵车的概率为0.06，路线堵车的概率为0.09，路线堵车的概率为0.12，且三条路线是否堵车相互独立，若小李从这三条路线中随机选一条，则堵车的概率为（       ）

A．0.06 B．0.09 C．0.12 D．0.27

【答案】B

【分析】根据独立事件和互斥事件概率的计算方法计算即可.

【详解】因为路线是随机选的，所以选择每条路线的概率都是．选择走路线且堵车的概率为，

选择走路线且堵车的概率为，

选择走路线且堵车的概率为，

所以堵车的概率为．

故选：B

6．已知，（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三角函数的诱导公式化简可得答案.

【详解】由题意，．

故选：C.

7．设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分析得到即得解.

【详解】解：由题得，，且，，

所以．

故选：A

8．已知曲线：，：，则下面结论正确的是（       ）

A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

C．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

D．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

【答案】B

【分析】根据三角函数图象变换结论验证各选项即可.

【详解】因为

把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变可得曲线，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，即，A错，

把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变可得曲线，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，B对，

把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变可得曲线，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，C错

把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变可得曲线，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，D错，

故选：B.

9．在平行四边形中，点满足，点是边的中点，与交于点．设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用平面向量基本定理即可求解.

【详解】如图，在平行四边形中，，，，，

因为，所以．

故选：

10．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由可求得的取值范围，根据函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.

【详解】当时，，

因为函数在上单调递增，

所以，解得，所以的取值范围为．

故选：D.

11．已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】由取得最小值得点为线段的中点，由得，

由配方可得答案.

【详解】当时，取得最小值，因为，

所以此时点为线段的中点，

因为，所以，故，

则，

因为，

故．

故选：B.

12．若，设函数的零点为，的零点为，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，，，根据对称性得出，再由基本不等式判断即可.

【详解】由题意可构造函数，，，则，分别为直线与函数，图象的交点的横坐标（如图所示），由对称性可知，即，若，可得，与题意不符，故，所以，，，可知B正确，C，D都不正确．

故选：B

二、填空题

13．已知向量，满足，，且，则向量在方向上的投影数量为______．

【答案】-0.5

【分析】利用平面向量的数量积运算先求出与的夹角，然后，再计算投影数量即可.

【详解】

，，且，，所以，向量在向量方向上的投影数量为．

故答案为：

14．已知函数（，为常实数），且，则______．

【答案】

【分析】判断出是奇函数，由奇函数的性质可得答案．

【详解】因为，定义域关于原点对称，

设，

，

则是奇函数，

因为，所以，所以．

故答案为：.

15．如图，在中，点在边上，，是等边三角形，且面积为，则______．

【答案】

【分析】求出，，再利用余弦定理求解.

【详解】解：因为是等边三角形，且面积为，所以，解得，所以．因为，所以，

由题得，

在中，由余弦定理得，

即，解得．

故答案为：

16．八卦是中国传统文化中的概念和哲学符号，如图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形，设该正八边形对角线的交点为，若，则下列结论中所有正确结论的序号是______．

①；②；③；④.

【答案】①③④

【分析】在正八边形中，每个边对应的中心角为，以点为坐标原点，建立的直角坐标系，求出、的坐标由坐标运算可判断①；由坐标运算求出可判断②；由向量的坐标运算可判断③；求出可判断④．

【详解】由图知，在正八边形中，每个边对应的中心角为，以点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，则，，，，，．

对于①：，，，所以，故①正确；

对于②：，，，故②错误；

对于③：，，，所以，故③正确；

对于④：，所以，故④正确．

故答案为：①③④.

三、解答题

17．已知向量，．

(1)当实数为何值时，？

(2)若，，且，，三点共线，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先求出与的坐标，依题意，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；

（2）首先求出，，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；

【详解】(1)解：，，

，，

，，

．

(2)解：，，

，，三点共线，，即有，

．

18．已知是第四象限角，且的终边在直线上．

(1)求，和的值；

(2)求的值．

【答案】(1)；；．

(2)

【分析】根据条件结合三角函数的定义求解；(2)利用诱导公式化简可求其值.

【详解】(1)因为点在直线上，且位于第四象限，

所以点在的终边上．

所以；

；

．

(2)原式

19．在中，角，，的对边分别是，，，已知．

(1)求的大小；

(2)若，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；

（2）由（1）可知，结合基本不等式得到，再利用三角形面积公式求解.

【详解】(1)解：因为，

所以，

即．

由余弦定理得，

因为，所以．

(2)由（1）可知，

而，所以，即，

所以的面积，

当且仅当时等号成立，

即面积的最大值为．

20．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.9，第一组和第五组的频率相同．

(1)求，的值；

(2)估计这100名候选者面试成绩的中位数（精确到0.1）；

(3)若先用分层随机抽样的方法从面试成绩在段的候选者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自同一分数段的概率．

【答案】(1)，

(2)69.4

(3)

【分析】（1）由频率分布直方图列方程组即能求出的值；

（2）由于第一、二组的频率之和为0.3而第三组的频率为0.45，所以中位数在第三组，根据比例即可求解中位数；

（3）根据分层抽样，在段和段的候选者分别有1人和5人，列举出这6人中选出2人的总的基本事件数，和选出的两人来自同一分数段的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．

【详解】(1)因为第二、三、四组的频率之和为0.9，

所以，解得．

再由第一组、第五组的频率之和为，

即，得．

(2)根据频率分布直方图可知，第一、二组的频率之和为0.3，第三组的频率为0.45，

所以中位数在第三组，且为．

(3)由（Ⅰ）可得面试成绩在段和段的候选者分别有5人和25人，若用分层随机抽样的方法从中抽取6人，则需在段中抽取1人，设为，在段中抽取5人，分别设为，，，，．

该试验的样本空间为，共有15个样本点．

设“从这6人中随机抽取2人，这2人来自同一分数段”为事件，则，有10个样本点，

故．

21．已知函数（，，）的部分图象大致如图．

(1)求的单调递增区间．

(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数的图象．若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而可得函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，即可求解的单调递增区间．

（2）利用函数图象变换规律，得到的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，即可求得的范围．

【详解】(1)根据图象，可得，由，得．

所以，由，得，

所以．

令，，得，，

所以的单调递增区间为，．

(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线：，再把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象．

由在上有两个不同的实数解，即在上有两个不同的实数解，

因为，设，则，则需直线与的图象在两个不同的公共点．

画出在时的简图如下：

所以实数的取值范围为．

22．定义：如果函数在定义域内的给定区间上存在（），满足，则称函数为上的“平均值函数”，为它的平均值点．

(1)函数是否为上的“平均值函数”？如果是，请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由．

(2)若函数是上的平均值函数，求实数的取值范围．

【答案】(1)为上的“平均值函数”，1是它的平均值点

(2)

【分析】（1）根据“平均值函数”的定义计算，看是否满足定义，即可判断，继而求得平均值点;

（2）根据定义计算，从而得到，整理并换元可得在上有解，构造函数结合函数零点的分布，求得答案.

【详解】(1)函数是上的“平均值函数”．

令，因为，

设是它的平均值点，则有，解得，，

故为上的“平均值函数”，1是它的平均值点．

(2)令，，

设是它的平均值点，则，即，

整理得．

令，则，则需方程在上有解，

令，，

，

①当在内有一个实根时，，即 ，

解得，或；

②当在内有两个不等的实根时，需满足，

可得 ，无解．

综上，实数的取值范围是．