2022-2023学年河南省焦作市高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河南省焦作市高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．或

C． D．

【答案】C

【分析】解对数函数不等式化简集合A，然后利用交集运算求解即可.

【详解】因为，所以，所以，

所以，又，

所以.

故选：C

2．已知函数且（其中是的导函数），则实数（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】求出导函数，由可求得．

【详解】由已知，所以，解得．

故选：C．

3．已知随机变量X的数学期望，方差，若随机变量Y满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据期望和方差的两个公式，计算即可.

【详解】因为随机变量X的数学期望，方差，

所以.

故选：B

4．已知双曲线的焦距为，若，c，c成等比数列，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据等比数列建立方程，再由可求出即可得解.

【详解】因为，c，c成等比数列，

所以，即，

解得，

因为双曲线，

所以双曲线的渐近线方程为，

故选：C

5．记为等比数列的前n项和．若，则（    ）

A．12 B．15 C．18 D．21

【答案】B

【分析】设公比为，根据等比数列的求和公式，分与两种情况讨论，可求出结果.

【详解】设公比为，

当时，由，，解得，则；

当时，由， ，得，显然，从而得，

即，得，

即，解得或，均不符合题意，

综上，.

故选：B．

6．若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数的几何意义求出，然后利用二倍角公式及弦切互化计算即可.

【详解】因为，所以，所以，

所以.

故选：D

7．已知在数列中，，则（    ）

A． B．1 C．3 D．2

【答案】B

【分析】由题意可得数列是以6为周期的周期数列，且，由此计算即可得出结果.

【详解】由，可得

，

，，

所以数列是以6为周期的周期数列，且，

因为，则.

故选：B．

8．已知数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

【答案】A

【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由题意得数列为递增数列等价于“对任意恒成立”，

得，即对任意恒成立，故，

所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，

故选：A.

9．“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念．小红早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，还可以步行．已知小红骑单车的概率为0.5，乘坐公共汽车的概率为0.4，步行的概率为0.1，而且骑单车、乘坐公共汽车、步行时，小红准时到校的概率分别为0.9，0.9，0.8，则小红准时到校的概率是（    ）

A．0.9 B．0.89 C．0.88 D．0.87

【答案】B

【分析】分别求出乘坐公共汽车和骑单车、步行准时到校的概率，然后求和即为准时到校的概率.

【详解】小红上学骑单车准时到校的概率为，乘坐公共汽车准时到校的概率为，步行准时到校的概率为，因此小红准时到校的概率为：，

故选：B

10．的展开式中的系数是（    ）

A．20 B． C．10 D．

【答案】D

【分析】先把二项式分为三部分，分别求每个二项式展开式中的系数计算即可.

【详解】因为,

展开式中的项是,

则展开式中的系数是.

故选:D.

11．已知函数在定义域内单调递增，则实数a的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对求导，由在定义域内单调递增，可得在恒成立，即在恒成立，令，转化为求，可得的取值范围；

【详解】的定义域为，，

函数在定义域内单调递增，则在恒成立，

则，即，

令，，

令，解得：，令，解得：，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

故，故实数a的最小值为.

故选：A.

12．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】令，，利用导数可求得的单调性，从而确定，，令即可得到大小关系.

【详解】令，，则，

在上单调递增，，即；

取，则

令，，则，

在上单调递增，，即；

取，则，即，即，

综上，.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查采用构造函数的方式比较大小的问题，解题关键是能够根据的形式的共同点，准确构造函数和，利用导数求得函数单调性后，通过赋值来确定大小关系.

二、填空题

13．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．若为的导函数，则______．

【答案】

【分析】先利用奇函数性质求出时函数的解析式，求出导函数，代入计算即可.

【详解】当时，，，所以，

即当时，，所以，

所以，

故答案为：

14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式：__________．

①定义域为R；②值域为；③是单调递减函数．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据函数的三个性质，写出符合条件的函数即可.

【详解】的定义域为,

的值域为，在上为减函数.

故答案为：（答案不唯一）

15．已知函数，则的极小值为__________．

【答案】

【分析】求函数的导数，判断给定区间函数的单调性，即可求得函数的极小值.

【详解】因为，所以，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

故当，取极小值.

故答案为：．

16．已知数列的前n项和为，若（为非零常数），且，则__________．

【答案】12

【分析】由所给的递推关系，令计算出，代入即可得出结果.

【详解】由，，

当时，，即，得，

当时，，即，得，

当时，，即，得，

因为，即，又，解得.

故答案为：12．

三、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，角A为锐角．

(1)求角A的大小；

(2)若的外接圆面积为，求b．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题设结合正弦定理及两角和的正弦公式可得，由求得，，即可得出角；

（2）由的外接圆面积得出外接圆半径，由求出，由正弦定理可得，即可得出结果．

【详解】（1）∵，

∴由正弦定理可得，

即，即，

∵，∴，

∴，又∵A为锐角，∴．

（2）由于的外接圆面积为，故外接圆半径为，

∵，

∴由正弦定理可得．

18．已知正项等比数列的前n项和为，且．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)已知数列满足，求的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先通过等比数列通项公式及前n项和公式列方程求出通项公式及前n项和，然后利用等比数列的概念证明即可；

（2）先求出，然后利用错位相减法求和即可.

【详解】（1）设的公比为，

∵，

∴，解得，

∴，

∴，,又

∴数列是公比为的等比数列；

（2）由（1）可知，等比数列的通项公式为，

∴．

∴，

，

两式相减得

，

∴．

19．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，工业和信息化部在2022年新能源汽车推广应用中提出了财政补贴政策后，某新能源汽车公司的销售量逐步提高，如图是该新能源汽车公司在2022年1~5月份的销售量y（单位：万辆）与月份x的折线图．

(1)依据折线图计算x，y的相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系；（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）

(2)请建立y关于x的线性回归方程，并预测2022年8月份的销售量．

参考数据及公式：，相关系数，

在线性回归方程中，．

【答案】(1)，说明见解析

(2)，9.25万辆

【分析】（1）由折线图中的数据，结合公式求得，即可得到结论；

（2）由（1）中的数据，利用回归系数的公式，求得和，得出回归直线方程，令时，求得的值，即可求解．

【详解】（1）解：由该新能源汽车公司在2022年1~5月份的销售量y与月份x的折线图中的数据，

可得，，

，，

所以，

故可用线性回归模型拟合y与x的关系．

（2）解：由（1）中的数据，可得，

则，

故y关于x的线性回归方程为，

当时，．

故可以预测2022年8月份的销售量为万辆．

20．如图，在四棱锥中，，，，，．

(1)求证：平面．

(2)在线段上是否存在一点H（与端点A，B不重合），使得二面角的余弦值为？若存在，请确定H点的位置；若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，H是线段的中点

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理求解即可；

（2）建立空间直角坐标系，设，利用向量法求出二面角的余弦值，解之即可.

【详解】（1）由题可知在中，．

∵，

∴．

又∵是等腰直角三角形，

∴，

∴．

又，

∴，

∴．

∵平面平面，

∴平面．

（2）以E为原点，直线，分别为x轴、y轴，过点E且与平面垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

则．

易知平面的一个法向量为．

设，则．

设平面的法向量为，，

则，即，

令，则，∴．

由题意可知二面角为锐二面角，

∴，

解之得，

∴H是线段的中点．

21．已知抛物线C：的焦点为F，为该抛物线上一点．

(1)求的值；

(2)若斜率为2的直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且满足，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将点P代入抛物线方程求出抛物线方程，然后利用焦半径公式求解即可；

（2）设直线方程，代入抛物线方程，结合韦达定理及数量积的坐标运算建立方程，求解即可.

【详解】（1）因为为该抛物线上一点，所以，则，

所以抛物线方程为，由抛物线定义知．

（2）设直线l的方程为，

联立，整理可得，

由，可得，

所以，

因为，所以，所以，

所以，

则，

即，解得或，

又当时，直线l经过点P，所以不符合题意，

故直线l的方程为.

22．已知函数．

(1)若在上是增函数，求实数的取值范围；

(2)若函数，证明：当时，恒成立．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，利用导数说明函数的单调性求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；

（2）先构造函数利用导数证明当时，不等式成立，则问题转化为证明恒成立，即证恒成立，即证在上恒成立，再构造函数利用导数证明即可．

【详解】（1）（1）∵，∴．

∵在上是增函数，

∴在上恒成立，可得在上恒成立．

令，则，

当时，，∴在上是增函数，

∴．

∴，解得或，

即实数的取值范围是．

（2）若，则．

下面证明当时，不等式成立，

令，，则．

令，得，令，得，

故在上单调递减，在上单调递增，

故，

所以当时，，即①恒成立．

要证当时，恒成立，即证恒成立，

即证恒成立．

结合①式，现证成立，即证在上恒成立，

令，则，

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

故即恒成立．

因为①②两式取等号的条件不一致，故恒成立．

即当时，恒成立．