2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期中教学质量检测数学（文）试题含解析

2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期中教学质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．若（），，则（       ）

A．0或2 B．0 C．1或2 D．1

【答案】A

【解析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.

【详解】由于（），，所以，解得或.

故选：A

【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.

2．用反证法证明命题：“对于三个实数a、b、c，若，则或”时，提出的假设正确的是（       ）

A．且 B．或

C． D．

【答案】C

【分析】用反证法证明时，假设结论的反面成立，从而可得答案.

【详解】用反证法证明时，假设结论的反面成立：即假设且成立.

故选：C

3．已知与之间的线性回归方程为，其样本点的中心为，样本数据中的取值依次为2.5，，3.4，4.2，5.4，则（       ）

A．2 B．2.8 C．3 D．3.2

【答案】C

【分析】根据线性回归方程过样本中心点求出，再根据平均数的算法可求m.

【详解】因为线性回归方程过样本中心点，所以，

所以.

故选：C.

4．王老师在课堂上与学生探究直线时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：直线经过点.乙：直线经过点.丙：直线经过点.丁：直线的斜率为整数.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【分析】设，，，求出三条直线的斜率即得解.

【详解】设，，，则，，，

易知，，三点不共线，所以甲乙丙不可能都正确，至少有一个是错误的，由于只有一位同学的结论是错误的，所以丁同学的结论是正确的；

而，，，丁同学的结论是正确的，所以只有可能是在这条直线上，不在这条直线上.故乙同学的结论是错误的.

故选：B

5．线性回归分析模型中，变量X与Y的一组样本数据对应的点均在直线上，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】由相关系数的性质判断即可

【详解】因为样本数据对应的点在一条直线上，所以，

故选：C.

6．“2021年12月2日”因其数字“20211202”的对称性被很多人晒到了朋友圈，类似这样的对称性在二十一世纪，我们还能再遇到（       ）

A．6次 B．7次 C．8次 D．9次

【答案】B

【分析】根据题意，直接列举求解即可.

【详解】解：由对称性可知，前两位为，后两位为，

因为每年有个月，

所以列举可得，在二十一世纪，有，，

，，，

所以在二十一世纪，我们还能再遇到次.

故选：B

7．阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出S为输出（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】运行程序，根据循环结构程序框图计算出输出的结果.

【详解】运行程序，，，，判断是，，判断是，……，，判断是，，判断否，输出.

故选：D

【点睛】本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，属于基础题.

8．若复数z满足，则z的共轭复数对应的点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数模的公式和复数的四则运算得Z，再由共轭复数的概念及复数的几何意义可得.

【详解】因为

所以

所以

，对应的点在第一象限

故选：A.

9．下面几种推理中是演绎推理的为（       ）

A．高二年级有21个班，1班51人，2班53人，三班52人，由此推测各班都超过50人

B．猜想数列，，，…的通项公式为

C．半径为r的圆的面积，则单位圆的面积

D．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

【答案】C

【分析】根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可.

【详解】对于A，高二年级有21个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；

对于B，归纳出的通项公式，是归纳推理；

对于C，半径为的圆的面积，则单位圆的面积，演绎推理；

对于D，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，为类比推理.

故选：C．

10．观察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102.根据规律，可以得到=（       ）

A．1205 B．1225 C．1245 D．1275

【答案】D

【分析】根据所给等式，归纳出规律，利用求和公式即可求解.

【详解】因为13+23=(1+2)2，13+23+33=(1+2+3)2，13+23+33+43=(1+2+3+4)2，

所以=1+2+…+50==1275.

故选：D

【点睛】本题主要考查了合情推理中的不完全归纳法，属于容易题.

11．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，则直线直线a”的结论显然是错误的，这是因为（       ）

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误

【答案】A

【解析】根据线面平行的性质可判断是大前提错误.

【详解】若直线平行于平面，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误.

故选：A.

12．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，结合导数可求出函数的单调性，由，即可判断的大小关系.

【详解】设，则，令，得，，得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

由题意可知，因为，所以，故选: A.

【点睛】本题考查了函数单调性的判断，考查了运用单调性比较数据大小.本题的关键是构造函数.

二、填空题

13．已知复数，若，则___________.

【答案】

【分析】根据复数相等的概念求解即可.

【详解】解：因为

所以，解得

所以

故答案为：

14．某种产品的广告费支出与销售额 (单位：万元)之间的关系如下表：

与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的残差为________.

【答案】

【解析】先由回归直线方程，求出对应的预测值，再由残差的概念，即可得出结果.

【详解】由题意，当时，，

因此其残差为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查残差的计算，属于基础题型.

15．以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则______．

【答案】

【分析】将回归方程化为，再与模型比较系数，即可得到答案.

【详解】由，得，，所以.

故答案为：.

16．等差数列的公差为d，前n项和为Sn，对于常数m∈N，则数列 为等差数列，公差为m2d.类似地，等比数列的公比为q，前n项积为Tn，则数列为等比数列，公比为____.

【答案】

【分析】根据等比数列的公比为q，前n项积为Tn，得到,，进而得到，再利用等比数列的定义求解.

【详解】因为等比数列的公比为q，前n项积为Tn，

所以,

所以

所以=·=·,

÷=.

故答案为：

【点睛】本题主要考查类比推理以及等比数列的定义以及等差数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

三、解答题

17．求证：当时，，，不可能成等差数列．

【答案】详见解析

【解析】由于正向说理比较困难，所以采用反证法，假设，，可能成等差数列，通过相关运算，最后得出式子左右两边明显不等，推出矛盾，即可证得结论成立.

【详解】证明：假设当时，，，可能成等差数列，

 则必存在，使得，，成为等差数列，

 ∴由等差中项的性质可得：

∴两边平方得，

∴

∴

∴

∴

则显然上式不成立，即不存在这样的使得上式成立，

∴假设错误，即原命题成立

∴当时，，，不可能成等差数列.

【点睛】本题主要考查了反证法的证明，其次是等差中项的性质，考验了学生运用反证法证明一些难以直接证明的问题的能力，知道假设结论不成立，利用题目条件推出矛盾，以此得原命题成立，为中等题.

18．若复数，当实数m为何值时

(1)z是实数；

(2)z是纯虚数；

(3)z对应的点在第二象限．

【答案】(1)或2

(2)

(3)

【分析】(1)是实数，根据虚部为，列方程即可求解；

(2)是纯虚数，根据实部为，虚部不为，列方程组即可求解；

(3)对应的点在第二象限，根据实部小于，虚部大于，列不等式组即可求解.

【详解】(1)由题意可得：

解得：或2；

(2)由题意可得：，且，

∴或，且且，

∴；

(3)由题意可得：

解得：．

19．疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济､有效的公共卫生干预措施.某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗开展临床对比试验.若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效.在已经接种疫苗的群体中随机抽取的100个样本，其中有60个接种了灭活疫苗，剩余40个接种了核酸疫苗.根据样本数据绘制等高条形图（如图所示），其中两个深色条的高分别表示接种灭活疫苗和核酸疫苗样本中抗体呈阳性的频率.现从这100个样本中随机抽取1人，已知事件“该样本接种了灭活疫苗且抗体呈阳性”发生的概率为0.54.

(1)求等高条形图中a的值；

(2)请在答题卷中完成下面的列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异？

参考公式：，其中

【答案】(1)

(2)列联表答案见解析，不能在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异

【分析】（1）根据题意得，解方程即可得答案；

（2）结合题意得接种灭活疫苗抗体阳性的共有人，接种核酸疫苗后抗体呈阳性的共有人，进而完成列联表，结合独立性检验求解即可.

【详解】(1)解：依题意“1名受访者接种灭活疫苗且接种后抗体呈阳性”发生的概率为0.54，

所以

解得，所以

(2)解：根据题意，接种灭活疫苗抗体阳性的共有：人，

接种核酸疫苗后抗体呈阳性的共有：人，

故列联表如下：

零假设为接种两种疫苗效果无差异

根据列联表中的数据，得到

因为

所以不能在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异.

20．在数列中，，

（1）求，猜想数列的通项公式;

（2）证明：数列是等差数列.

【答案】（1），；（2）证明见解析

【解析】（1）根据，分别令，即可求解的值，猜想得出数列的通项公式；

（2）由，得到，利用等差数列的定义，即可得到证明.

【详解】（1）由题意，数列中，，，

令，可得；

令，可得；

令，可得；

所以，

猜想：数列的通项公式.

（2）由，可得，即（常数），

又由，所以，

所以数列是以1为首项，以为公差的是等差数列.

【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及利用等差数列的定义的应用，考查了推理与运算能力，属于基础题.

21．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A､B的一点，平面PAB，，.

(1)求证：平面平面PAD；

(2)若，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由线面垂直及圆的性质可得、，根据线面垂直的判定可得平面PAD，最后由面面垂直的判定即可证结论.

（2）在平面PAB内过P作于E，利用线面垂直的性质和判定可知PE是三棱锥的高，进而求，再根据及棱锥的体积公式求三棱锥的体积即可.

【详解】(1)因为平面PAB，平面PAB，所以.

因为AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上不同于A､B的一点，

所以，即，又，AD、平面PAD，

所以平面PAD，又平面PBC，

所以平面平面PAD.

(2)在平面PAB内过P作于E.

因为平面PAB，平面PAB，所以.

因为，所以平面ABCD，

所以PE是三棱锥的高.

在中，所以，

所以.

因为四边形ABCD是直角梯形，，，

所以，.

所以.

22．已知函数.

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）求出导函数可知,当时不合题意,当时求出函数的单调区间,进一步求出函数的最大值,由最大值小于等于0求解a的范围;

（2）由(1)可得在上恒成立，令得到,然后分别取,累加后证得答案.

【详解】（1），

若,则,则在上是增函数，

而,不成立,故，

若,则当时, ;当时, ，

在上是增函数,在上是减函数，

的最大值为，

要使恒成立,只需,解得;

(2)由(2)知,当时,有在上恒成立,且在上是增函数,

又,

在上恒成立，

令,则,

令,

则有，

以上各式两边分别相加,得，

即,

故.

【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,体现了数学转化思想方法,训练了利用放缩法和累加法证明不等式,是压轴题.