2021-2022学年河南省驻马店市高二下学期期末数学（理）试题含解析

2021-2022学年河南省驻马店市高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，若点M的极坐标为，则它的直角坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由极坐标与直角坐标互化公式可得出答案.

【详解】由；

所以点的直角坐标为

故选：D

2．若，且，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对于ABD，举例判断，对于C，利用不等式的性质判断即可

【详解】对于A，若，则满足，此时，所以A错误，

对于B，若，则满足，而当时，则，所以B错误，

对于C，因为，所以，因为，所以，所以C正确，

对于D，若，则满足，而当时，则，所以D错误，

故选：C

3．函数的极大值点是（       ）

A．（1，2） B．1 C．2 D．-1

【答案】B

【分析】直接利用导数判断单调性，求出极大值点.

【详解】函数的定义域为R，.

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.

所以函数的极大值点是1.

故选：B

4．某学校为庆祝建团百年组织征文比赛，前四名被甲、乙、丙、丁获得．甲说：“丙是第一名，我是第三名．”乙说：“我是第一名，丁是第四名．”丙说：“丁是第二名，我是第三名．”已知他们每人只说对了一半，则获得第一名的是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【分析】根据题意，分别对丙为第一和乙为第一进行分析，从而可得出答案.

【详解】将甲，乙，丙所说列成表格为：

若丙为第一，则乙不能为第一，从而丁为第四，则丙没有猜对，与题意不符合.

所以乙为第一，丙不能为第一，则甲为第三，丁为第二，从而丙为第四.

所以乙为第一

故选：B

5．相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下的数据得到回归直线方程，相关系数为．则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断即可.

【详解】由散点图可知这两个变量为负相关，所以．

因为剔除点后，剩下点的数据更具有线性相关性，更接近1，

所以 ．

故选：D．

6．已知x，y，，且，，，则a，b，c三个数（       ）

A．都小于 B．至少有一个不小于

C．都大于 D．至少有一个不大于

【答案】B

【分析】应用反证法，假设a，b，c三个数都小于，利用得到矛盾结论，即可确定答案.

【详解】若a，b，c三个数都小于，

则，即，

显然不等式不成立，

所以a，b，c三个数至少有一个不小于，排除A，而C、D不一定成立.

故选：B

7．端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个均为豆沙馅”，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用列举法，列出事件A对应的事件，事件AB对应的事件，然后利用条件概率公式求解即可

【详解】由题意不妨设2个蜜枣馅为：A，B，3个为腊肉馅为：a,b,c，4个为豆沙馅：1，2，3，4，则事件A为“取到的两个为同一种馅”，对应的事件为:AB,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34,所以，

事件AB为“取到的两个为同一种馅，均为豆沙馅”，对应的事件为：12,13,14,23,24,34,所以，

所以，

故选：C

8．2022年北京冬奥会某滑雪项目有四个不同的运动员服务点，现需将5名志愿者分配到这四个运动员服务点处，每处至少需要1名志愿者，则不同的安排方法共有（       ）种．

A． B． C．240 D．480

【答案】C

【分析】人分成满足题意的组只有，即只有一个服务点有人，其余都是人，先选人作为一组，然后全排列即可.

【详解】依题意得，

人分成满足题意的组只有，即只有一个服务点有人，其余都是人，

不同的安排方法共有种.

故选：C.

9．已知a，b为正实数，直线y=x-a与曲线相切，则的最小值为（       ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】D

【分析】由直线与曲线相切可知.再利用基本不等式即可求出答案.

【详解】设切点为..则.

所以.

当且仅当时取“=”.

故选：D.

10．的展开式中常数项为（       ）

A．-384 B．-360 C．24 D．360

【答案】B

【分析】分别求出和展开式的通项公式，根据常数项的构成进行求解.

【详解】展开式的通项公式为，

展开式的通项公式为，

所以的展开式的通项公式为，其中.

要求的展开式中常数项，只需，

所以或，

所以常数项为.

故选：B

11．下列正确命题的个数是（       ）

①已知随机变量X服从二项分布，若，，则；

②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；

③在某市组织的一次联考中，全体学生的数学成绩，若，现从参加考试的学生中随机抽取3人，并记数学成绩不在的人数为，则；

④某人在12次射击中，击中目标的次数为X，，则当或概率最大．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】对①：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对②：根据方差公式可知方差恒不变；对③：根据正态分布的对称性即可求解；对④：根据二项分布概率的性质求解即可判断．

【详解】解：对于①：因为随机变量服从二项分布，，，

所以，，解得，故①错误；

对于②：根据方差公式（，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故②正确；

对于③：因为随机变量服从正态分布，由，

则，则成绩不在的概率，

则，故③正确；

对于④：因为在次射击中，击中目标的次数，

所以对应的概率，

当，时，令，

即，即，

解得，因为时，

所以当时，概率最大，故④错误．

故选：B．

12．已知定义在R上的偶函数满足，，若，则关于x的不等式的解集为（       ）

A．（4，+∞） B．（-∞，4） C．（-∞，3） D．（3，+∞）

【答案】A

【分析】根据定义在R上的偶函数满足可得的周期，构造函数，再将转化为关于的不等式，根据得到的单调性再求解即可

【详解】因为定义在R上的偶函数满足，故，故，即，所以，即的周期为3.又，故，即.因为，即，故构造函数，则，且.综上有在R上单调递增，且.又即，，所以，解得

故选：A

二、填空题

13．求曲线所围成图形的面积_____________.

【答案】

【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．

【详解】

先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0

直线所围图形的面积,

而

曲边梯形的面积是 ,

故答案为．

【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于基础题. 一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.

14．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则___________.

【答案】220

【分析】先利用二项式定理，得，再进行组合数计算即可.

【详解】由题意，得，

所以

.

故答案为：220.

15．甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为p，乙胜的概率为1-p，且各局比赛结果相互独立．当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为．现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数不超过5局的概率为______．

【答案】

【分析】根据5局3胜制时甲用4局赢得比赛的概率为可计算出.再将7局4胜制时甲获胜时比赛局数不超过5局分为4局胜和5局胜.即可求出答案.

【详解】记甲用4局赢得比赛为事件,则第四局甲必胜,前3局有一局输.

则.

记甲获胜时比赛局数不超过5局为事件,此时分4局胜和5局胜.

则.

故答案为：.

16．设是定义在上的函数f（x）的导函数，函数满足，若，且恰有一个零点，则实数a的取值范围是______．

【答案】或

【分析】根据，可得，利用赋值法和方程式求出，，进而求出，结合恰有一个零点，变形式子构造函数，，求出的单调性和最值，作出图象，根据图象即可求出的取值范围.

【详解】，

，

令，得，解得，

又，解得，

，，

恰有一个零点，

恰有一个根，即恰有一个根，

构造函数：， ，

即与的图象恰有一个交点，

，令，解得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

，作出图象，如图所示，

可知或，即或时，

函数与直线的恰有一个交点，

实数a的取值范围是或.

故答案为：或.

三、解答题

17．已知m为实数，复数的实部与虚部相等，其中i为虚数单位．

(1)求出m的值；

(2)若正数a，b满足，证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据复数的除法运算化简，再利用实部与虚部相等即可求出的值；

（2）由（1）得：，法：，由柯西不等式直接可以得到所证不等式成立；法：首先运用分析法将所证不等式化简为，再运用基本不等式得出成立，进而说明原不等式成立.

【详解】(1)由题意得：

∵复数z的实部与虚部相等

∴，∴；

(2)证明：由（1）得：，

法1：∵，∴，

由柯西不等式得：，

当且仅当，即：时等号成立，

∴.

法2：要想证明成立，

只需证明成立，

即证明成立，

∵，∴，

即证明成立，

由基本不等式得：，

当且仅当时等号成立，

所以，命题得证．

18．已知函数

(1)当时，求表达式的展开式中二项式系数最大的项；

(2)当时，若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先写出的解析式.再结合二项式展开式的通项公式即可求出答案.

（2）有题意可知当时，.再结合二项式展开式的通项公式即可求出答案.

【详解】(1)当时, ,.

所以

其二项式展开式的通项.

当时二项式系数最大值为6,此时.

(2)当时，

∵展开式的通项为：

∴，

∴

19．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)设不等式的解集为M，若，求实数a取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分段打开绝对值，可解出不等式

（2）由题意，则原不等式可化为在上恒成立，从而可得出答案.

【详解】(1)当时，原不等式可化为：

当时，原不等式可化为，解得：   所以

当时，原不等式可化为，解得：   经检验，不符合题意，舍去

当时，原不等式可化为，解得：   所以

所以，综上所述，不等式的解集为

(2)∵不等式的解集为M，

∴不等式在上恒成立

∵   ∴   ∴原不等式可化为：

∴，即：在上恒成立

∴，解集：

故实数a的范围是

20．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为．曲线的参数方程为（为参数，r>0）．

(1)若r=1，求曲线的直角坐标方程与曲线的极坐标方程；

(2)若曲线与交于不同的四点A，B，C，D，且四边形ABCD的面积为，求r．

【答案】(1)的直角坐标方程为，的极坐标方程为

(2)

【分析】（1）将化为，从而得出曲线的直角坐标方程，消去参数即可求出曲线的直角坐标方程再转化为极坐标方程.

（2）设A（x，y）满足x>0，y>0，由曲线的对称性可知矩形的面积S=4xy,代入可求出，进一步可求得r.

【详解】(1)曲线的极坐标方程，即：

∴根据，曲线的直角坐标方程为：

当r=1时，曲线的参数方程为（为参数），转化为直角坐标方程为．

根据，得曲线的极坐标方程为．

(2)设A（x，y）满足x>0，y>0，由曲线的对称性可知矩形的面积S=4xy

根据得：

∴，解得：

∴

∴

21．2021年初某公司研发一种新产品并投入市场，开始销量较少，经推广，销量逐月增加，下表为2021年1月份到7月份，销量（单位：百件）与月份之间的关系．

(1)画出散点图，并根据散点图判断与（，均为大于零的常数）哪一个适合作为销量与月份的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？

(2)根据（1）的判断结果及表中的数据，求关于的回归方程，并预测2021年8月份的销量；

(3)考虑销量、产品更新及价格逐渐下降等因素，预测从2021年1月份到12月份（的取值依次记作1到12），每百件该产品的利润为元，求2021年几月份该产品的利润最大．

参考数据：

其中，．

参考公式：

对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

【答案】(1)图见解析，适合作为销量与月份的回归方程类型

(2)预测2021年8月份的销量为347百件（34700件）

(3)2021年8月份或9月份利润最大

【分析】（1）直接在坐标中描点，由于这此点分布在一条曲线附近，所以可选择方程类型，

（2）对两边同时取常用对数得：，设，则，然后根据已知的数据和公式求解即回归方程，再把代入回归方程中可预测2021年8月份的销量，

（3）求出利润与月份的函数，再根据二次函数的性质可求得其最大值

【详解】(1)散点图如下图，

根据散点图判断，适合作为销量与月份的回归方程类型

(2)对两边同时取常用对数得：，

设，则，因为，，，

所以，

把样本中心点代入，得，

所以，

即，

所以关于的回归方程为

把代入上式，得

所以预测2021年8月份的销量为347百件（34700件）．

(3)由题意得（且），

构造函数，

其对称轴为，

因为且，

所以当或9时，取最大值，

即2021年8月份或9月份利润最大．

22．已知函数（其中，e为自然对数的底数）．

(1)当时，讨论函数f（x）的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围．

【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为

(2)

【分析】（1）对函数求导，根据及可判断出及的解集，即可得到函数的单调性；

（2）分离参数得到.法一：对求导研究的正负，得到的单调性与最大值，即可得到a的取值范围；法二，令，通过对求导分析单调性并得到最大值，即可得到a的取值范围.

【详解】(1)解：由可得，

由得，，，∵∴，

由可得：或；令可得：

此时f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为；

(2)法1由，

可得对恒成立，

即对任意的恒成立，

令，

则，

令，则，

则在上单调递增，又，，

故在上有唯一的实根，

不妨设该实根为，

故当时，，，g（x）单调递增；

当时，，，单调递减，

故，又因为．

所以，，，

所以，故a的取值范围为．

法2由，可得对x>1恒成立，

即对任意的x>1恒成立，

令，则

∵，∴，∴在上单调递增，且

∴对任意的恒成立

令，则令，解得：

故当时，，g（t）单调递增；

当时，，单调递减；

故，故a的取值范围为