2021-2022学年河南省新乡市高二上学期期末考试数学（文）试题含解析

2021-2022学年河南省新乡市高二上学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．命题“，”的否定为(       )

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据含有一个量词的命题的否定的方法进行求解.

【详解】全称命题的否定是特称命题，则命题“，”的否定为“，”.

故选：C.

2．数列，，，，，…的一个通项公式为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据每项与项数的关系可写出数列的一个通项公式.

【详解】由题可知，数列，，，，，…，每项的分母是项数的平方，奇数项为负，

故可得数列的一个通项公式为.

故选：A

3．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】含导函数图象确定的极值点个数，要保证导函数的零点左右两边导函数函数值一正一负.

【详解】因为在左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知只有2个极值点.

故选：C

4．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为(       )

A．3 B． C． D．6

【答案】A

【分析】作出可行域的图像，数形结合即可求z的最大值.

【详解】根据约束条件画出可行域：

，当直线过点A时，z取得最大值3.

故选：A.

5．抛物线的焦点坐标是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：将抛物线方程化为标准方程得，所以其焦点坐标为，故选C.

【解析】抛物线的定义及标准方程.

6．某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移l（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，则当s时，该运动员滑雪的瞬时速度是（       ）

A．12m/s B．13m/s C．14m/s D．16m/s

【答案】C

【分析】根据导数的物理意义即可求解.

【详解】因为，所以，所以该运动员的瞬时滑雪速度是14m/s.

故选：C.

7．已知椭圆的焦距为，则m的值不可能为（       ）

A．1 B．7 C． D．

【答案】D

【分析】根据椭圆的焦距，分，求解.

【详解】由题知，.

若，则，，

所以，即；

若，则，，即.

故选：D

8．对于实数a，b，下列选项正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据不等式的性质对各选项逐一分析即可得答案.

【详解】解：若，则与，与均不能比较大小，故A，B不正确；

若，则，，所以，即，故C正确，D不正确.

故选：C.

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，△ABC外接圆的半径为6，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意求得，根据正弦定理可求得a,b.继而求得sinC,再根据正弦定理求得答案.

【详解】因为，所以,

因为，所以,

因为△ABC外接圆的半径R为6，所以.

因为，所以.

因为，A为锐角，所以，

因为，

所以,

故选:D

10．已知p：（其中，），q：关于x的一元二次方程有一正一负两个根.若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为（       ）

A．1 B．0 C． D．2

【答案】C

【分析】由一元二次方程根的分布可得求命题q的参数a范围，再由命题间的关系求m的最值即可.

【详解】因为有一正一负两个根，

所以，解得.

因为p是q的充分不必要条件，

所以，且，则m的最大值为.

故选：C

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据角A，B，C成等差数列求出B，再利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求范围.

【详解】∵角A，B，C成等差数列，∴，

∵，∴，∴.

根据正弦定理得：

＝

，

∵，∴，∴，∴.

故选：A.

12．已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围为(       )

A． B． C． D．R

【答案】A

【分析】判断f(x)的单调性和奇偶性，将不等式中“f”去掉，参变分离即可求出a的范围.

【详解】∵f(x)定义域为R，且，，

∴为R上单调递增的奇函数.

等价于，

即在上恒成立，则.

设，则.

当时，；当时，.

∴在上单调递增，在上单调递减，，故.

故选：A.

二、填空题

13．已知等差数列的公差为2，前n项和为，若，则_______.

【答案】5

【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质求解.

【详解】因为，

所以.

又的公差为2，

所以.

故答案为：5

14．若正数a，b满足，则的最小值为_________.

【答案】

【分析】依题意可得，则，利用基本不等式计算可得；

【详解】解：因为，，，所以，所以，

当且仅当时，等号成立.

故答案为：

15．已知函数.则_____.

【答案】0

【分析】根据导数的运算法则即可计算.

【详解】∵，∴，

∴，∴.

故答案为：0.

16．已知双曲线虚轴长的两倍是实轴长与焦距的等比中项，则该双曲线的离心率为________.

【答案】

【分析】根据已知条件列方程，化简求得双曲线的离心率.

【详解】依题意可得，即，即，

两边除以得，解得（负根舍去）.

故答案为：

三、解答题

17．已知p：，q：.

(1)当时，p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若是q的充分不必要条件：求实数a的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据条件及命题为真有，结合题设，即可求参数a的范围.

（2）命题间的关系有，列不等式组求a的范围.

【详解】(1)由题设，，

当时p为真命题，即，得：，又，

所以实数a的取值范围为.

(2)由（1），对应解集为，q：，解得，

因为是q的充分不必要条件，所以，且，

所以（等号不同时成立），解得，即a的取值范围是.

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求B；

(2)若，，求c.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由正弦定理化简条件，求得，从而求得角B.

（2）将条件，代入余弦定理求得c.

【详解】(1)因为，所以，

即，

化简得，所以，

又因为，所以.

(2)因为，

所以，

整理得，解得.

19．已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)若函数，求过点且与曲线相切的直线方程.

【答案】(1)极大值为，极小值为

(2)，

【分析】（1）由导函数的正负研究函数单调性，进而得到极值；（2）设出切点坐标，求导函数求解切线方程.

【详解】(1)因为，所以.

令，得或.....

当x变化时，，的变化情况如表所示.

所以的极大值为，极小值为.

(2)因为，所以.

设切点为，则切线方程为.

将点代入，得，

整理得，

解得或.

当时，切线方程为，即；

当时，切线方程为，即.

综上：切线方程为，

20．已知数列的前n项和为，且.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据与的关系化简，根据等比数列的定义求证即可；

（2）由（1）求出，利用错位相减法求和即可得解.

【详解】(1)由，得.

当时，，解得；

当时，，

整理得.

故数列是以为首项，为公比的等比数列.

(2)由（1）可知，，则，故

，

则，

则，

故.

21．已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与C的另一交点为D，问直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】(1)

(2)过定点，

【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程，

（2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，结合直线的方程求得定点坐标.

【详解】(1)由题知，，

把点代入椭圆C的方程，

，

故椭圆C的方程为.

(2)由题知直线BQ的斜率不为零.

设直线BQ的方程为，，，，

联立方程组消去x整理得，

则，.

直线AD的方程为，

令，得

.

故直线AD过定点.

22．已知函数.

(1)若，且在上的最小值为，求m；

(2)若有两个不同的极值点，（且），且不等式恒成立，求实数t的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数导数，利用导数分析函数在区间上的单调性即可求出最值；

（2）求出函数导数，根据函数有2个极值点转化为方程有2个不同根求出a的取值范围，由根与系数关系可得，据此不等式恒成立转化为，构造函数，分类讨论求解.

【详解】(1)当时，，

则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的最小值为，

解得.

(2)，

令，因为在上有两个极值点，

所以在上有两个不相等的实根，（且），

则，

解得或，且，.

因为，所以，

所以且.

因为，

所以不等式，

等价于，

即.

当时，；当时，.

令，

则.

①当时，，在上为增函数.

因为，所以当时，，，故不符合题意.

②当时，令，，

当，即时，，在上为减函数.

因为，所以当时，，，

则；

当时，，，

则.

所以对任意的恒成立.

当，即时，二次函数图象的对称轴方程为，

且，令，

则当时，，

即，

所以在上为增函数.

因为，所以，，故不符合题意.

综上所述，实数t的取值范围是.

【点睛】思路点睛：本题在证明恒成立时，先分类讨论确定的符号，再分析，利用导数分析时不成立，重点研究，再根据判别式分，分别研究，本题分类繁杂，思维、运算量大，学生不宜尝试，属于难题.