2021-2022学年河南省焦作市高一（下）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年河南省焦作市高一（下）期末数学试卷

1. 已知，则(    )

A.  B.  C. 2i D.

2. 函数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D. 0

3. 已知p：，q：，则p是q的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 设，，，则a，b，c的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 向量在向量方向上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知是关于x的方程在复数范围内的一个根，则(    )

A.  B. 或 C.  D. 2

9. 在四面体ABCD中，，且异面直线AB与CD所成的角为，M，N分别是棱BC，AD的中点，则异面直线MN和AB所成的角为(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

10. 已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则(    )

A.  B. 0 C. 1 D. 2

11. 已知函数的部分图象如图所示，点P为图象的最高点，点M，N为的图象与x轴的两个相邻交点，点Q为线段MP与y轴的交点，且，的面积为，则函数与图象的交点个数为(    )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

12. 已知正四棱锥的底面边长为4，，M是棱PA的中点，则四棱锥的外接球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

13. 已知角的终边经过点，则______.
14. 已知一组数据，，…，的平均数，方差：，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数______.
15. 在正三棱柱中，，过且与平行的平面交直线于点P，则______.
16. 如图所示，PC为竖直立于广场上的旗杆，在点A、点B处分别测得旗杆底端C点位于北偏东方向和北偏西方向点A，B，C位于同一水平面内，且点B在点A正东方向，从点B处仰望旗杆顶端P的仰角为，已知，则旗杆PC的高度为______
17. 已知在平面直角坐标系xOy中，向量
    若向量满足，且，求的坐标；
    若向量满足，且与的夹角为，求与的夹角的余弦值．
18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
    证明：；
    若，，点E在线段AB上且，求CE的长．
19. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，，，点E在线段PA上，，，点F，G分别是线段BC，CD的中点．
    证明：平面ABCD；
    求三棱锥的体积

20. 如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折成，使平面平面BCD，F为线段PC的中点
    证明：平面PDE；
    已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值．

21. 已知函数，
    求的最小正周期；
    若方程在区间上有且仅有两个相异的实数根，，且，求a的值和k的取值范围．
22. 已知函数为奇函数．
    求实数k的值；
    若对任意的在，总存在使成立，求实数t的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：，

故选：
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：，
当，，即，时，，即函数的最小值为
故选：
利用二倍角公式化简函数解析式可得，进而利用余弦函数的性质即可求解函数的最小值．
本题考查了二倍角公式以及余弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：p：，
，
q：，可得，
，
是q的必要不充分条件，
故选：
先解不等式求出命题p和q，再利用充要条件的定义判定即可．
本题考查了不等式的解法，充要条件的判定，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：，；
，，；
，；
所以
故选：
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 

5.【答案】B 

【解析】解：将一个腰长为2的直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，
所得几何体为一个圆锥切割后剩下的几何体，
由题意得圆锥的底面半径为2，高为2，则母线上为，
形成的几何体的体积为：

故选：
根据已知条件得出旋转所得几何体为一个圆锥切割后剩下的几何体，再利用圆锥的体积公式即可求解．
本题考查旋转体的体积的求法，考查圆锥的结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：因为向量，向量，
所以向量在向量方向上的投影向量为：
，
故选：
根据向量投影的定义计算即可．
本题考查了投影向量的定义与计算问题，是基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：易知在上单调递增，
故时，函数在区间上存在零点，
解得
故选：
结合该函数在上的单调性，利用端点处的函数值异号，构造出a的不等式组求解．
本题考查函数的零点存在性定理的应用，属于基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：是关于x的方程在复数范围内的一个根，
关于x的方程在复数范围内的另一个根为，
由韦达定理得，
解得=--2，或舍，

故选：
根据一元二次方程在复数域内的两个虚根互为共轭复数，结合韦达定理能求出结果．
本题考查一元二次方程的解法、韦达定理、复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：取BD中点E，
连接NE、ME，
则，，
由异面直线AB与CD所成的角为，
则或，
又异面直线MN和AB所成的角的平面角为，
又，
则或，
则异面直线MN和AB所成的角为或，
故选：
取BD中点E，连接NE、ME，则，，由异面直线AB与CD所成的角为，则或，又异面直线MN和AB所成的角的平面角为，然后求解即可．
本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题．
 

10.【答案】C 

【解析】解：因为定义在R上的奇函数满足，
所以，
所以，
因为且当时，
所以，
所以，
则
故选：
由已知结合函数的奇偶性先求出函数的周期，然后结合奇函数性质求出a，进而可求．
本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在求解函数值中的应用，解题的关键是奇函数定义及性质的应用，属于中档题．
 

11.【答案】C 

【解析】解：由图可知，解得，
因为点M，N为的图象与x轴的两个相邻交点，
所以，所以，，解得，
因为点Q为线段MP与y轴的交点，且，点P为图象的最高点，
所以，即，
将M代入中可得，解得，
所以函数，
令函数，解得，令，解得，
且在单调递增，如图所示：

所以函数与图象只有一个交点，
故选：
由题可先求出函数的解析式，画出与的图像，根据函数图像即可判断．
本题考查了三角函数的图像及其性质，考查了函数交点个数问题，属于中档题．
 

12.【答案】D 

【解析】解：如图，连接AC，BD交点F，连接PF，则底面ABCD，
过M作，且ME与PF交于点E，又M为中点，也为中点，
又底面为边长为4，，，
又，，
，，
延长PF至O点，使得，
又易证，
，，
点即为四棱锥的外接球的球心，
设，棱锥的外接球的半径为R，
则，
在与中由勾股定理可得：
，，
，，
解得，，
四棱锥的外接球的体积为，
故选：
先根据对称性找球心位置，再根据勾股定理，球的体积公式即可求解．
本题考查四棱锥的外接球问题，球的体积公式，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为角的终边经过点，
所以，
则
故答案为：
由题意利用任意角的三角函数的定义即可求的值，进而利用诱导公式化简所求即可得解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
 

14.【答案】8 

【解析】解：由题意可得，，解得
故答案为：
结合方差公式，列出等式，即可求解．
本题主要考查方差的应用，属于基础题．
 

15.【答案】6 

【解析】解：连接交于点O，取的中点为F，连接OF，延长BF交于点P，如图所示：

是O，F是，的中点，，
故过且与平行的平面为平面，
在中，F是的中点，，
是CP的中点，故
故答案为：
根据线面平行，可以先确定出要找的平面，然后根据中位线即可求解．
本题考查直线与平面平行的判定定理，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在中，由正弦定理得，
由题意知，，，
，
在中，
故答案为：
在中，由正弦定理可求BC，在中，可求
本题考查解三角形在实际生活中的应用，属基础题．
 

17.【答案】解：设，
向量，向量满足，且，
，且，
可得或；
或
，
向量满足，且与的夹角为，
，
，
设与的夹角为，
，
即与的夹角的余弦值为 

【解析】设，根据条件列出方程求解即可，
求出对应向量的模长以及数量积，进而求解结论．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，向量夹角的求法，属于中档题．
 

18.【答案】证明：由正弦定理得，
，又A，，
，
由，得，，，
又，所以，，，
，
在中，由余弦定理得，
 

【解析】根据正弦定理，三角函数公式，解三角方程即可证明；
由，结合可求A，B，C，在中，由余弦定理可求
本题考查正弦定理，三角函数公式，余弦定理，属中档题．
 

19.【答案】解：证明：，且正方形ABCD中，，
，BE、平面PAB，
平面PAB，
又平面PAB，，
又，，，
≌，，
，AB，平面ABCD，
平面ABCD；
，，
，
点F，G分别是BC，CD的中点，

，
三棱锥的体积为：
 

【解析】根据线面垂直的判定定理推导出平面PAB，进而得到，再由≌，可得，由此能证明平面ABCD；
根据，得到，再计算，能求出三棱锥的体积．
本题考查线面垂直的判定与性质、等体积法、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】证明：取PD的中点H，连接HF，HE，
因为F为PC的中点，所以，，
因为平行四边形ABCD，且E是AB的中点，所以，，所以，，
所以四边形BEHF为平行四边形，所以，
又平面PDE，平面PDE，
所以平面

解：设，则，
在中，由余弦定理知，，即，
所以为等腰直角三角形，且，
所以，
因为平面平面BCD，且平面平面，所以平面BCDE，所以，
又，，PE，平面PDE，所以平面PDE，
因为，所以平面PDE，
连接HM，则即为直线MF与平面PDE所成的角，
在中，，，
所以，
故直线MF与平面PDE所成的角的正切值为 

【解析】取PD的中点H，连接HF，HE，根据平行线的传递性，可证，，从而知四边形BEHF为平行四边形，再由线面平行的判定定理，得证；
根据平面几何知识可得为等腰直角三角形，由面面垂直的性质可得平面BCDE，从而有，再利用线面垂直的判定定理可证平面PDE，连接HM，则即为所求，然后由三角函数知识，得解．
本题考查立体几何综合问题，熟练掌握线与面平行，垂直的判定定理或性质定理，理解线面角的定义是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：，其中，
所以函数的最小正周期，
因为，所以的图象的一条对称轴为，
则，即，
所以，解得，
不妨取，则，
要使直线与的图象有两个关于对称的交点，则，
即k的取值范围是 

【解析】利用三角恒等变换公式整理，进而可得；
根据条件得到函数的一条对称轴为，进而得到a的值，取得到函数解析式，进而求得k的取值范围．
本题考查三角恒等变换和三角函数的性质，数形结合思想，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为函数为奇函数，
所以，故，
此时为奇函数，故
因为为增函数，为减函数，故为增函数，
故“对任意的，总存在使成立”，
即“对任意的，成立”，
故考虑的最小值，即在上的最大值．
①当时，在时取最大值，
故，即，，
因为，故不成立；
②当时，在时取最大值，成立，
即，即，
因为，故时满足条件．
综上所述，t的取值范围为 

【解析】根据奇函数满足求解即可；
将不等式转换为对任意的，总存在使成立，根据单调性只需“对任意的，成立”，故考虑的最小值，即在上的最大值，再分当与两种情况讨论即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，函数的奇偶性，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．