广东省潮州市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（含答案）

潮州市2021-2022学年度第二学期期末高一级教学质量检测卷

数学

一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。）

1.设复数，则z的共轭复数的虚部为（    ）

A.1 B.-1 C.i D.-i

2.平面平面，，，则直线a和b的位置关系（    ）

A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面

3.在中，D是BC的中点，则（    ）

A. B. C. D.

4.已知向量，，，则实数（    ）

A.2 B. C.1 D.-1

5.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数，其和是合数的概率是（    ）

A. B. C. D.

6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ）

A. B. C. D.

7.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的方差和第60百分位数是（    ）

A.，5 B.5，5 C.，6 D.5，6

8.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（    ）

A.异面直线AP与所成角的取值范围是

B.二面角的大小为

C.三棱锥的体积为定值

D.直线平面

二.多选题（本大题共2小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9.已知m，n为不同的直线，，为不同的平面，下列命题为真命题的有（    ）

A.， B.，

C.， D.，

10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为所在平面内的点，满足，下列说法正确的有（    ）

A.若，则点O为的重心

B.若，则点O为的外心

C.若，，，则点O为的内心

D.若，，，则点O为的垂心

三.填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）.

11.在某次合格性考试中，甲、乙两人通过的概率分别为0.9和0.7，两人考试相互独立，则两人都通过的概率为______.

12.若一个球的直径为6，则该球的表面积为______.

13.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为______.

14.三元塔是潮州市的历史文化古迹如图，一研究性小组同学为了估测塔的高度，在塔底D和A，B（与塔底D同一水平面）处进行测量，在点A，B处测得塔顶C的仰角分别为45°，30°，且A，B两点相距，为150°，则三元塔的高度______m.

四.解答题：本大题共5小题，满分44分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分8分）

已知复数（其中且，i为应数单位），且为纯虚数.

（1）求实数a的值；

（2）若，求复数的模.

16.（本小题满分8分）

已知向量与向量的夹角为，且，.

（1）求的值；

（2）求向量在向量上的投影向量.

17.（本小题满分8分）

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角C；

（2）若，的面积为，求的周长.

18.（本小题满分10分）

甲，乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束），方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.

（1）若选择方案一，求甲获胜的概率；

（2）用掷硬币的方式决定比赛方案，掷3枚硬币，若恰有2枚正面朝上，则选择方案一，否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由.

19.（本小题满分10分）

如图，在三棱柱中，，.

（1）求证：；

（2）若，，，当为何值时，三棱柱的体积最大，并求出此最大值.

潮州市2021－2022学年度第二学期期末高一级教学质量检测卷

参考答案及评分标准

一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）；

二、多选题（本大题共2小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全选对得4分，部分选对得2分，选错得0分。）

三.填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）

11.0.63 12. 13. 14.50

1.B  解：因为，所以，所以虚部是-1.

2.D  根据线面位置关系可得选项.

3.A  由向量的平行四边形法则可得选项.

4.D  因为，所以，.

5.D  从2，3，5，7，11这5个素数中任取两个素数的基本事件总数是10，其中两个数的和是合数的基本事件个数是7，由古典概型概率计算公式得.

6.B  由正弦定理得，所以，又，所以B是锐角，.

7.C  依题意得，，所以这组数据的平均数是5，

，

由第几百分位数定义知第60百分位数是6.

8.A  异面直线AP与所成角转化为直线AP与所成角，是正三角形，所以直线AP与所成角的取值范围是，A正确.

二面角的平面角为，，B错；

点P运动时，它到平面的距离不断变化，三棱锥的体积不为定值，C错；

因为AB与平面垂直，所以与平面不垂直，D错.

9.ACD  由线、面平行、垂直的判定与性质定理可得ACD正确；m可以在平面内，所以B不正确.故选：ACD.

10.AC  解：若则，∴.取AC中点D，连接OD，

∴.∴O在的中线BD上，同理可得O在其它两边的中线上，

∴O是的重心.

若，，，则有，

延长CO交AB于D，则，，

∴，

设，则，

∵与共线，与，不共线，

∴，，∴，

则点D到AC和BC的距离相等.（利用等面积可得）

∴CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线.

∴O是的内心.

故选：AC.

11.0.63  根据相互独立事件概率计算公式得，.

12.  由题意可知，，所以.

13.  因为平面ABCD，平面ABCD，故可得，又，，平面，

故可得平面PAD.连接ED.故即为所求直线CE与平面PAD所成角.

不妨设，故在直角三角形CDE中，，，

故可得.则.

则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为.

14.50  由题意设塔高，在中，∵，∴；

在中，∵，∴；在中，∵，

由余弦定理得：，

，∴.

四.解答题：本大题共5小题,满分44分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分8分）

（1）由已知得：，且是纯虚数

∴，∵，∴.

（2）由（1）得：

∴

∴.

16.（本小题满分8分）

（1）

.

（2）由投影向量的定义得：

，

.

17（本小题满分8分）

（1）由已知得：，又正弦定理得：

，又，.

（2）设三角形边上的高为，

∴

由余弦定理得：，

∴，

∴的周长.

18（本小题满分10分）

解（1）记“选择方案一，甲获胜”为事件，事件“甲第一局和第二局获胜”，

事件“甲第一局胜、第二局负、第三局胜”，

事件“甲第一局负、第二局胜、第三局胜”，且.

则，，.

∵B，C，D为互斥事件，

∴

.

（2）  记硬币正面朝上为1，反面朝上为0.

掷3枚硬币，样本空间为，包含8个等可能的样本点.

记“掷3枚硬币，恰有2枚正面朝上”为事件.

则

∴

方案一被选择的概率为

方案二被选择的概率为

因此，方案二被选择的可能性更大.

19.（本小题满分10分）

（1）证明：由知，又且平面，

平面，，

故平面，由平面得，

又，所以.

（2）解：设，在中，，

同理.

在中， ，

，

所以

所以

故当，即时，.