2021-2022学年广东省潮州市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广东省潮州市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 随机变量服从正态分布，则标准差为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，则(    )

A.  B.  C. 或 D.

3. 若随机变量服从两点分布，其中，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 双曲线的渐近线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 为考察、两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：
   
   根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是(    )

A. 药物的预防效果优于药物的预防效果
B. 药物的预防效果优于药物的预防效果
C. 药物、对该疾病均有显著的预防效果
D. 药物、对该疾病均没有预防效果

7. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 英国数学家泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世．由泰勒公式，我们能得到其中为自然数的底数，，其拉格朗日余项是可以看出，右边的项用得越多，计算得到的的近似值也就越精确．若近似地表示的泰勒公式的拉格朗日余项，不超过时，正整数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

10. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于”为事件，“第二枚骰子出现的点数不小于”为事件，则下列结论中正确的是(    )

A. 事件与事件互为对立事件 B. 事件与事件相互独立
C.  D.

11. 已知函数与的图象如图所示，则下列结论正确的为(    )

A. 曲线是的图象，曲线是的图象
B. 曲线是的图象，曲线是的图象
C. 不等式组的解集为
D. 不等式组的解集为

12. 已知由样本数据点集合，，，，，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为，则(    )

A. 变量与具有正相关关系 B. 去除后的估计值增加速度变快
C. 去除后与去除前均值，不变 D. 去除后的回归方程为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 随机变量，满足，且，则______．
14. 已知数列的通项公式为，则该数列中的数值最大的项是第______项．
15. 某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数为随机变量，则______．
16. 某医院分配名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测，要求每个小区至少一名护士共有______种分配方案请用数字作答．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知正项数列满足：，．
    求数列的通项公式；
    若数列满足：，求数列的前项和．
18. 在某次期中考试中，光明中学统计位同学的物理成绩与数学成绩如表：

若数学成绩关于物理成绩的经验回归方程为：，
求出的值，并由此预计当小华同学此次考试的物理成绩为分，数学成绩大概是多少分精确到整数．
对此次考试中的位同学的数学成绩进行分析可知：位男同学中有位数学成绩优秀，而另外的位女同学中则有位数学成绩优秀，请完成答卷中的列联表，并据此判断：能否依据小概率值的独立性检验下认为“数学成绩是否优秀与性别有关”．
参考公式：，其中，临界值表如下：

19. 如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点．
    求证：平面；
    求平面和平面的夹角的余弦值．

20. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“合检测法”，即将个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测现有人，已知其中人感染病毒．
    若采用“合检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
    已知人分成一组，分组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量为总检测次数，求检测次数的分布列和数学期望；
    若采用“合检测法”，检测次数的期望为，试比较和的大小直接写出结果
21. 已知椭圆：的离心率为，短轴长为．
    求椭圆的标准方程；
    过点的直线与椭圆交于，两点若的面积为为坐标原点，求直线的方程．
22. 已知函数，；，．
    求函数在区间上的极值；
    判断曲线与曲线有几条公切线并给予证明．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为服从正态分布可知：方差为，故标准差为．
故选：．
根据正态分布中的参数意义可知当差为，进而可得标准差．
本题考查正态分布的定义，考查正态分布中的意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，可得或．
故选：．
由组合数性质可求的值．
本题考查组合数公式及其性质，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，
则，
故，
故选：．
由题意确定，求出期望，继而根据方差的公式求得答案．
本题考查两点分布，考查学生的运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
求出双曲线的，，由双曲线的渐近线方程为，即可得到．

【解答】

解：双曲线的，，
由双曲线的渐近线方程为，
则所求渐近线方程为
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：剩余人全排有种方法，
则人产生个空，利用插空法排甲乙，甲乙不相邻有种方法，
则五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为种．
故答案为：．
利用排列数公式剩余的人全排，甲乙用插空法排列即可．
本题考查排列数公式的应用，插空法是解决本题的关键，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等高条形图的应用，考查数形结合思想，是基础题．
观察等高条形图，能够求出结果．

【解答】

解：由、两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：
药物的预防效果优于药物的预防效果．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：令得，，
故选：．
利用赋值法，即可直接解出．
本题考查了二项式定理，赋值法，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解；依题意得，，即，而，，，
故选：．
根据新定义直接求解．
本题考查了如何运用新定义解决问题，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图可得，，故B错误，C正确，
，故A正确，D错误．
故选：．
根据已知条件，结合散点图，以及相关系数的应用，即可求解．
本题主要考查相关系数的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】A.第一枚骰子出现的点数小于，第二枚骰子出现的点数也可能小于，
即事件与事件可能同时发生，所以事件与事件不互斥，
所以事件与事件不对立，所以不正确；
B.无论第一枚骰子出现的点数是否小于，对第二枚骰子出现的点数不小于的概率没有影响，
即事件的发生与否对事件发生的概率没有影响，所以事件与事件相互独立，所以B正确；
C.由题知，，所以，所以C正确；
D.由题知，，所以，所以D正确．
故选：．
利用互斥事件和对立事件的定义进行判定即可．
本题考查互斥事件和对立事件的定义，考查学生的分析能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，结合图像，
在区间上，曲线为增函数，曲线的函数值大于，
在区间上，曲线为增函数，曲线的函数值大于，
故曲线是的图像，曲线是的图象，A错误，B正确；
不等式组，的解集为，C正确，D错误；
故选：．
根据题意，结合函数的导数与单调性的关系，分析可得曲线是的图像，曲线是的图象，可得A错误，B正确，由此结合图象分析可得C正确，D错误，即可得答案．
本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的图象分析，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于的线性回归方程为，回归系数，变量与具有正相关关系，故A正确；
去除后重新求得的回归直线的斜率为，由，可知去除后的估计值增加速度变慢，故B错误；
去除前的均值，去除的两个数据点的横坐标的平均数为，则去除后与去除前均值不变，
由线性回归方程恒过样本点的中心，可得去除前满足，
而去除的两个数据点的纵坐标的平均数为，则去除后与去除前均值不变，故C正确；
把去除后样本点的中心的坐标代入，得，即，
去除后的线性回归方程为，故D正确．
故选：．
由已知线性回归方程的回归系数判定；比较去除后与去除前的回归系数判定；分别求出去除后与去除前的均值判定；求出去除后的回归方程判断．
本题考查求线性回归方程，考查运算能力，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，，且，
则．
故答案为：．
根据离散型随机变量期望的性质列式计算即可．
本题考查离散型随机变量的期望，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：对于一元二次函数，开口向下，且其对称轴为，
又，，所以当时，最大．
故数列中的数值最大的项是第项．
故答案为：．
由一元二次函数图象与性质可得数列中的数值最大的项．
本题考查了数列的最大小项问题，考查一元二次函数的图象与性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：表示前两次都没有击中，故．
故答案为：．
根据概率的乘法公式即可求解．
本题主要考查次独立重复试验发生次的概率，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】由条件可知，分配方案可以是，，或，，或，，，
当分配方案是，，时，有，
当分配方案时，，时，有，
当分配方案是，，时，有，
所以每个小区至少一名护士共有种．
故答案为：．
首先写出分配方案，再按照分组分配的方法，列式求解．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为，
所以，
又因为为正项数列，所以，所以，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以；
由知，
所以． 

【解析】因式分解结合可知为等差数列，然后可得；
由分组求和法可得．
本题考查了等差数列的通项公式和分组求和，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意可得：，，
故，解得：，则当时，，
即预计当小华同学此次考试的物理成绩为分，数学成绩大概是分；
由题意可得列联表如下：

故，
故不能依据小概率值的独立性检验下认为“数学成绩是否优秀与性别有关”． 

【解析】计算出，，利用回归方程即可求得答案；
由题意列出列联表，计算的值，和临界值表比较，可得结论．
本题考查了线性回归方程与独立性检验的问题，是中档题．
 

19.【答案】证明：连接，由，分别为，的中点，

则，又平面，平面，
所以平面；
解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
所以，，，
又二面角即为二面角，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
故，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
故，
所以，，
又二面角为锐二面角，
故平面和平面的夹角的余弦值为． 

【解析】连接，利用中位线定理可得，由线面平行的判定定理证明即可；
建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属中档题．
 

20.【答案】解：若采用“合检测法”，每组检查一次，共次，
又两名患者在同一组，需要再检查次，
因此一共需要检查次．
由题意可得：，．
，．
可得分布列：

．
由题意可得：，．
，．
可得分布列：

．
． 

【解析】本题考查了随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
若采用“合检测法”，每组检查一次，共次；又两名患者在同一组，需要再检查次，即可得出结论．
由题意可得：，由已知可得：，进而得出及其分布列与数学期望．
由题意计算数学期望，再比较．
 

21.【答案】解：由题意可得，
解得，．
故椭圆的标准方程为．
由题意可知直线的斜率不为，则设直线的方程为，，
联立，整理得，
，
则，．
故．
因为的面积为，
所以，
设，则，整理得，解得，即．
故直线的方程为，即． 

【解析】利用椭圆的离心率以及短轴长，转化求解，即可得到椭圆方程．
设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，整理得，，利用韦达定理，弦长公式，求解三角形的面积，然后求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，是中档题．
 

22.【答案】解：，，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，无极小值；
有且只有两条直线与函数，的图象都相切．
证明：设直线分别切，的图象于点，，
由，可得，
所以直线的方程为，
即直线：，
由，得，
所以直线的方程为，
即：，
比较的方程可得，消去可得，
令，
所以，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
因为，
所以在上有一个零点，
由，得，
所以在上有一个零点，
故函数在区间有个零点，
故有且只有两条直线与函数，的图象都相切． 

【解析】首先求函数的解析式，再求函数的导数，利用导数和单调性，极值的关系，即可求解；
首先设直线分别切，的图象于点，，并分别求切线方程，比较两个方程后可得关于，的方程组，消去后可得关于直线的方程，再构造对应的函数，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理，可判断零点个数，即可判断切线条数．
本题考查了利用导数求函数的极值及导数的几何意义，也考查了转化思想，属于中档题．