湖北省鄂州市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（含答案）

鄂州市2021～2022学年度下学期期末质量监测

高一数学

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在

A．第一象限           B．第二象限             C．第三象限            D．第四象限

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则

A．                B．               C．                D．

3．某单位有员工147人，其中女员工有63人．为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为21的样本，则男员工应选取的人数是

A．8                  B．9                    C．10                   D．12

4．设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为

A．              B．                   C．                 D．

5．某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”

A．是对立事件                                 B．都是不可能事件

C．是互斥事件但不是对立事件                   D．不是互斥事件

6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是

A．若，，，则        B．若，，，则

C．若，，，则        D．若，，，则

7．在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则

A．       B．        C．         D．

8．在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC．，，，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为

A．5π                 B．                C．8π                   D．20π

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．复数z满足，则下列说法正确的是

A．z的实部为3        B．z的虚部为2          C．           D．

10．2020年前8个月各月社会消费品的零售总额增速如图所示，则下列说法正确的有

A．受疫情影响，1～2月份社会消费品的零售总额明显下降

B．社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长放缓

C．与6月份相比，7月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度有所扩大

D．与4月份相比，5月份社会消费品的零售总额实际增速回升幅度有所扩大

11．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为1：2，则关于上、下两部分空间图形的说法正确的是

A．侧面积之比为1：2   B．侧面积之比为1：8    C．体积之比为1：27     D．体积之比为1：26

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有

A．                           B．

C．                        D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若m为实数，复数，则        ．

14．某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为        ．

15．已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲、乙共射击了四次的概率是        ．

16．如图，在△ABC中，，点P为边BC上的一动点，则的最小值为        ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．

（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．

18．（本小题满分12分）

已知向量，．

（1）若，求x的值：

（2）若，求与的夹角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

在①使三棱锥P-ABC体积取得最大值，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

如图1，△ABC是边长为2的等边三角形，P是BC的中点，将△ABP沿AP翻折形成图2中的三棱锥，        ，动点M在棱AC上．

（1）证明：平面PAC⊥平面PMB；

（2）求直线MB与平面PAC所成角的正切值的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

20．（本小题满分12分）

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A；

（2）若△ABC的面积为，求a的最小值．

21．（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，．

证明：

（1）平面PDC；

（2）PB⊥平面DEF．

22．（本小题满分12分）

2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．

（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第频率80百分位数；

（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．

（ⅰ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；

（ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．

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参考答案、提示及评分细则

1．A

由题意，对应点为，在第一象限．故选A．

2．B

由正弦定理得，∴．故选B．

3．D

男员工84人，女员工63人，所以当样本容量为21人时，男员工为．故选D．

4．B

由题意，在上的投影向量为．故选B．

5．D

事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件．故选D．

6．C

A．若，，，则显然，A正确；B．若，，则，又，则平面内存在直线，所以．所以，B正确；C．若，，，则，可能相交，可能平行，C错误；D．若，，，则易得，D正确．故选C．

7．D

根据题意得，又，，所以．故选D．

8．C

如图，取AB的中点E，BC的中点D，连接PE，△PAB是等边三角形，则．因为平面PAB⊥平面ABC，平面平面，平面PAB，所以PE⊥平面ABC，又平面ABC，所以．过D作OD⊥平面ABC，则．因为，所以三棱锥P-ABC的外接球的球心在DO上，设球心为O，连接OB，OP，设外接球半径为R，由已知，．，，在直角梯形PEDO中，，，，所以三棱锥P-ABC外接球的表面积．故选C．

9．BD

由于，可得，所以z的实部为，成部为2，所以，．故选BD．

10．AB

对于选项A：由图可知，1～2月份社会消费品的零售总额名义增速和实际增速都小于0，所以1～2月份社会消费品的零售总额明显下降，故选项A正确；对于选项B：由图可知，社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长较缓，所以选项B正确；对于选项C：由图可知，6月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度为，7月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度为，所以选项C错误；对于选项D：由图可知，4月份社会消费品的零售总额实际增速间升幅度为，5月份社会消费品的零售总额实际增速回升幅度为，所以选项D错误．故选AB．

11．BD

依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1：3，高之比为1：3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1：9，体积之比为1：27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1：8，体积之比为1：26．故选BD．

12．BC

对于A，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A不能判断；对于B，由，得，则B为钝角，故B能判断；对于C，由正弦定理，得，则，，故C能判断；对于D，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为A，B为△ABC的内角，所以，所以△ABC是等腰三角形，故D不能判断．故选BC．

13．0

因为复数不能比较大小，所以为实数，可得，解得，则．

14．

因为圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，所以该圆柱的底面圆的周长为其侧面展开图正方形的边长，该圆柱底面圆半径为，故该圆柱一个底面的面积．

15．

设事件A表示“甲射击一次命中目标”，事件B表示“乙射击一次命中目标”，则A，B相互独立，停止射击时甲、乙共射击了四次，说明甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率．故停止射击时，甲、乙共射击了四次的概率是．

16．

由题意，设，，所以，．又，，所以，当时，取得最小值．

17．解：

（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，对应的样本空间{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}．

记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，则，

∴这个游戏是公平的．

（2）抛掷三枚质地均匀的硬币，对应的样本空间{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}．

记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”。

则，．

这个游戏不公平．

18．解：

（1）平面向量，，

若，则，

解．

（2）若，则，

即，解．

∴，

∴与的夹角的余弦值为．

19．

（1）证明：若选择①

，

由于△APC的面积为定值，所以当B到平面APC距离最大时，三棱锥B-APC体积最大，

即当BP⊥平面APC时，体积有最大值．

因为平面PMB，所以平面PMB⊥平面PAC．

若选择②

因为，

所以．

在△ABC中，，所以

因为，所以．

因为，且PA，平面PAC，所以PB⊥平面PAC．

因为平面PMB，所以平面PMB⊥平面PAC．

（2）解：因为BP⊥平面PAC，所以∠BMP就是直线MB与平面PAC所成的角．

记，则，

又，．

当时，PM最大，最小，此时；

当时，PM最小，最大，此时，

则．

所以直线MB与平面PAC所成角的正切值的取值范围是．

20．解：

（1）由正弦定理得，

∴．

∵，

∴．

∴．

在△ABC中，，

∴，又，

∴或．

（2）∵△ABC的面积为．

∴，

∴．

由余弦定理得（当且仅当时取等号）．

①若，则（当且仅当时取等号）；

②若，则（当且仅当时取等号）．

综上，若，则a的最小值为；若，则a的最小值为．

21．证明：

（1）取PC的中点M，连接DM，MF．

∵M，F分别是PC，PB的中点，

∴，．

∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，

∴，，

∴，，

∴四边形DEFM为平行四边形．

∴，

∵平面PDC，平面PDC．

∴平面PDC．

（2）∵四边形ABCD为正方形，

∴．

又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，

∴AD⊥平面PAB．

∵平面，

∴．

连接AF．

∵，F为PB中点，

∴．

又，AD，平面DEF，

∴PB⊥平面DEF．

22．解：

（1）设这m人的平均年龄为x，则

（岁）．

设第80百分位数为a，

方法一：由，解得．

方法二：由，解得．

（2）（ⅰ）由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，

对应的样本空间为

Ω＝{（A，B），（A，C），（A，甲），（A，乙），（A，D），（B，C），（B，甲），（B，乙），（B，D），（C，甲），（C，乙），（C，D），（甲，乙）（甲，D），（乙，D）}，共15个样本点．

设事件M＝“甲、乙两人至少一人被选上”，则

M＝{（A，甲），（A，乙），（B，甲），（B，乙），（C，甲），（C，乙），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）}，共有9个样本点．

所以，．

（ⅱ）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，

则，，，．

设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．

则，

，

因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10．

据此可估计这m人中年龄在35～45岁的所有人的年龄方差约为10．