湖北省鄂州市2021-2022学年高二下学期期末数学试题

鄂州市2021~2022学年度下学期期末质量监测

高二数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，则（    ）

A.    B.

C.      D.

2.已知一组数据，且的线性回归方程为，若，则（    ）

A. 50   B． 250   C. 490   D．500

3.曲线C：在点P（1，0）处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

4.已知随机变量，则（    ）

（参考数据，，

A. 0.8185   B.0.84   C．0.1587   D．0.9759

5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 2022年3月开始，奥密克戎变异毒株在上海爆发，为支援上海抗击新冠肺炎疫情，湖北在行动，“鄂”来守“沪”．湖北某医院迅速从8名男医生、7名女医生中选3名医生组成一个援助小分队，若要求小分队男、女医生都有，则不同的组队方案共有（    ）

A.203种   B.252种   C.364种   D.455种

7.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这句口头禅体现了集体智慧的强大．假设李某能力较强，他独自一人解决项目M的概率为同时，有n个水平相同的人组成的团队也在研究项目M，团队成员各自独立地解决项目M的概率都是0.4，如果这个n人的团队解决项目M的概率为，且，则n的取值不可能是（参考数据）

A.4   B.5   C.6   D．7

8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（    ）

A.2   B.  C.  D.2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知，则（    ）

A.        B.

C.    D.

10.已知，若，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

11.已知数列{}满足，，则下列结论正确的是（    ）

A.为等比数列    B.{}的通项公式为

C.{}为递增数列     D.的前n项和

12.已知抛物线C：的焦点为F，准线l与y轴的交点为D，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，下列结论正确的是（    ）

A.存在点A，B，使

B.|AB|的最小值为4

C.DF平分∠ADB

D.若点M（2，3）是弦AB的中点，则直线m的方程为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.设复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为___．

14.已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是___．

15.设函数，若对任意的实数x，恒成立，则取最小值时，___．

16.已知函数f（x）在R上的导函数为（x），对于任意的实数x都有，当时，，若，则实数a的取值范围是___．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，且△ABC的面积为3，求△ABC的周长．

18.（本小题满分12分）设等差数列{}的前n项和为，且，．

（1）求数列{}的通项公式；

（2）设，求数列{}的前n项和．

19.（本小题满分12分）司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．

（1）完成下面的列联表，依据小概率值的独立性核验，分析开车时使用手机与司机的性别的关联性：

（2）采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为开车时不使用手机的男性司机人数，求X的分布列和数学期望．

参考数据：

参考公式：，其中．

20.（本小题满分12分）莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图①为该凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高为3m，顶部为底面边长为2的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是．

（1）求该凉亭及其内部所占空间的大小；

（2）在直线PC上是否存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

21.（本小题满分12分）已知椭圆E：的离心率为，其左、右顶点分别为A，B，上、下顶点分别为C，D，四边形ACBD的面积为4．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过椭圆E的右焦点F的直线l与椭圆E交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线于M，N两点，判断是否为定值？并说明理由．

22.（本小题满分12分）已知函数．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当时，若不等式在上恒成立，求实数b的取值范围．

鄂州市2021~2022学年度下学期期末质量监测·高二数学

参考答案、提示及评分细则

1.D 因为，，所以．

2.D 因为，所以，所以，所以．故选D．

3.A 因为，所以切线的斜率为，所以划线方程为，即，故选A．

4.B因为，所以，．故选B．

5.A 因为，，，所以，故选A．

6.C 当小分队中有1名女医生时，有种组法；当小分队中有2名女医生时，有种组法，故共有（种）组队方案，故选C．

7.A 依题意，这n个人组成的团队不能解决项目M的概率为．所以

，所以，即，，法一：当时，，当时，，故且，法二：，则≈4.55，所以且．故选A．

8.C 由题意可知，，不妨设，，由可得6mn，所以，即，又，所以，即，所以双曲线的离心率．故选C．

9.BCD 令，得，故A错误；令得，，故B正确；令，得，故C正确；展开式的通项为，令得8，所以．故D正确．故选BCD．

10.ABD 因为，则，所以，，又，则，所以，．故选ABD．

11.AB 因为，所以，又，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，即，所以{}为递减数列，的前n项和．故选AB．

12.BD 抛物线C的焦点F的坐标为（0，1），由题意分析可知，直线m的斜率一定存在设A（，），B（，），直线m的方程为，与抛物线C：联立，得，所以，，所以，所以∠AOB为钝角，故A错误；（当且仅当时等号成立），故B正确；点D（0，－1），因为．即直线DA和直线DB的倾斜角互补，所以DF平分∠ADB，故C正确；由，两式相减得，因为点M（2，3）是弦AB的中点，所以4，所以直线m的斜率，可以直线m的方程为，即，故D正确．故选BCD．

13.2  因为，故，则z的虚部为2．

14. 若命题“”是假命题，则命题的否定“，方程”是真命题，所以．所以实数a的取值范围是．

15. 由题意可知，得，则，可得的最小值为5，此时，则．

16.  令，则时，，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，结合，所以g（x）为偶函数，又，所以，即，又g（x）在（0，＋∞）上为增函数，得到，解得或，所以实数a的取值范围为．

17.解：（1）因为，所以．

由正弦定理得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

所以，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）△ABC的面积，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

由余弦定理得，

所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以△ABC的周长头．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

18.解：（1）设等差数列的公差为d，由题意知．．．．．．．．．．3分

解得，，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由题意知．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19.解：（1）由已知数据可待列联表如下：

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

零假设为：开车时使用手机与司机的性别无关联．

∵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴根据小概率的的独立性检验，我们推断不成立，即认为开车时使用手机与司机的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）开车时不使用手机的男性可机人数为：人；开车时不使用手机的女性司机人数为：人．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

由题意可知：X的所有可能取值为0，1，2，3，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴；；

；．

则X的分布列为：

．．．．．．．．．．．．．10分

则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20.解：（1）结合图②易得凉亭的顶是正六棱锥，侧面与水平面成45°，取的中点G，连接，PG，则，，故，易求，所以．．．．．．．．．．．．．．2分

所以该凉亭的体积分为两部分，上半部分为正六棱锥，其体积为

，下半部分为正六棱柱，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

其体积，

所以该凉亭及内部所占空间为60．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）取AB的中点H，以OH、FC、OP所在直线分别为x，y，z轴，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

假设在直线PC上存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为，

则A（，－1，0），B（，1，0），（－，1，3），（0，－2，3），P（0，0，），C（0，2，0）．．．．．．．．．．．6分

设则，平面的一个法向量，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

则，，，

则，即，令，解得，，所以平面的一个法向量n＝（3，，2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

设直线MA与平面所成角为，则

，化简得

，显然该方程不存在实数解，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

所以在直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21.解：（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

解得，，所以椭圆E的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）方法1：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，

此时可得P（1，），Q（1，－），M（4，－3），N（4，3），所以．．．．．．．．．6分

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，代入整理得，易得恒成立．

设，则．．．．．．．．．．．．．．．7分

由直线PB的方程可得点M（4，），

由直线QB的方程可得点N（4，），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

所以，

综上，为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

方法2：显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，代入整理得，易得恒成立．

设，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

由直线PB的方程可得点M（4，），

由直线QB的方程可得点N（4，），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

所以

综上，为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

22.解：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），

∵，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴当时，）；时，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∴函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，＋∞）上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）当时，

由题意，在上恒成立等价于在上恒成立．

①若，当时，显然有恒成立；不符合题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

②若，记，则，

显然在单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（i）当时，当时，，

∴）时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（ii）当，，，

∴存在，使．

当时，时，，

∴h（x）在（1，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，

∴当时，，不符合题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

综上所述，所求b的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分