2021-2022学年湖北省鄂州市高二上学期期末质量监测数学试题含答案

鄂州市2021—2022学年度上学期期末质量监测

高  二  数  学

★祝考试顺利★

注意事项：

1．满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

3．选择题在每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；主观题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上相对应的答题区域内。答在试题卷上无效。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．过点A（－1，a），B(a，2)的直线的斜率等于2，则a的值为（　　）

A．0 B．1 C．3 D．4

2．椭圆的短轴长为（    ）

A．8 B．2 C．4 D．

3．方程＝1为双曲线，则m的取值范围为（　　）

A．m＜2或m＞6  B．m＜－6或m＞－2 

C．－6＜m＜－2  D．2＜m＜6

4．已知在等比数列中，，，则（    ）

A．9或－9 B．9 C．27或－27 D．27

5．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（   ）．

A．         B．

C．         D．

6．已知数列满足：对任意的均有成立，且，，则该数列的前2022项和（    ）

A．0 B．1 C．3 D．4

7．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，，则数列的前24项和为（    ）

A． B．3 C． D．6

8．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）

9．已知等差数列的前n项和为，公差，，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（    ）

A．  B．

C．当且仅当时，取得最大值 D．当时，n的最大值为20

10．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．则以下几个命题正确的有（　　）

A．直线l恒过定点（3，1） 

B．圆C被y轴截得的弦长为

C．直线l与圆C恒相交 

D．直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为2x－y－5＝0

11．已知在三棱锥中，为中点，平面，，，下列说法中正确的是（    ）

A．若为△ABC的外心，则

B．若△ABC为等边三角形，则

C．当时，与平面所成角的最大值为

D．当时，为平面内动点，满足平面，则在△PBC内的轨迹长度为2

12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若，则（     ）

A．     B．双曲线的离心率

C．直线的斜率为       D．原点在以为圆心，为半径的圆上

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知空间向量且，则n值为__________．

14．数列中，，，则a3＝___________．

15．已知AB为圆O：x2+y2＝1的直径，点P为椭圆上一动点，则·的最小值为　　     ．

16．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最小值为_________．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本题满分10分）记为等差数列的前n项和，已知．

⑴求的通项公式；

⑵求的最小值．

18．（本题满分12分）如图，在几何体中，底面△ABC是边长为2的正三角形，平面，，且，是的中点.

⑴求证：平面；

⑵求异面直线与所成的角的余弦值．

19．（本题满分12分）已知圆C：(x－1)2+y2＝9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．

⑴当l经过圆心C时，求直线l的方程；

⑵当弦AB的长为时，写出直线l的方程．

20．（本题满分12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝．

⑴求证：AB⊥平面ADD1A1；

⑵求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值．

21．（本题满分12分）已知数列的首项，， ，.

⑴证明：为等比数列；

⑵求数列的前项和．

22．（本题满分12分）已知圆：，定点，Q为圆上的一动点，点P在半径CQ上，且，设点P的轨迹为曲线E.

⑴求曲线E的方程；

⑵过点的直线交曲线E于A，B两点，过点H与AB垂直的直线与x轴交于点N，当取最大值时，求直线AB的方程．
高二数学参考答案

一．         单选题：

1-4    ACDB     5-8   CACB

二．         多选题：

9.BD     10.ABCD     11.ACD   12.ABC

三．填空题：

13.-4      14.       15.2         16.

1．     A      2．C      3．D      4．B.

5．解：由于M是的中点，

所以

．

故选：C

6．解：因为，所以，即，所以数列中的项具有周期性，，由，，依次对赋值可得，，一个周期内项的和为零，而，

所以数列的前2022项和．

故选：A．

7．解：因为是方公差为4的等方差数列，所以，，

∴，∴，

∴

，

故选：C．

8． 解：当直线斜率存在时，设直线方程为，，，

联立方程，得，恒成立，

则，，

，，

，

所以，

当直线斜率不存在时，直线方程为，

所以，，

，

综上所述：，

故选：B.

9．解：因为，故，又，

整理得到：，故，，故A错，B正确.

又，

当时，；当时，；当时，，

故当且仅当、时，取得最大值，故C错误.

又，

令，则即n的最大值为20，故D正确

故选：BD.

10解：对于A，将l的方程整理为（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）＝0，

由x+y﹣4＝0，且2x+y﹣7＝0，解得x＝3，y＝1，

则无论m为何值，直线l过定点D（3，1）．故A正确；

对于B，令x＝0，则（y﹣2）2＝24，解得：y＝2±2，

故圆C被y轴截得的弦长为 4；故B正确；

对于C，因为（3﹣1）2+（1﹣2）2＝5＜25，则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交．故C正确

对于D，圆心C（1，2），半径为5，|CD|＝，当截得的弦长最小时，l⊥CD，由于kCD＝﹣，

则l的斜率为2，此时直线的方程为：y﹣1＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣5＝0，故D正确；

故选：ABCD．

11．解：若为的外心，则，由射影相等即可知，故A正确；

假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故B错误；

当时，，，过作，连结，易知为与平面所成角的平面角，.故的范围为.故C正确；

取，分别为，的中点，易证平面平面，则线段为在三角形内的轨迹，故D正确.

故选：ACD

12．解：如图：

设，则，

由双曲线的定义知，，即；，

即，

∴，即有，故选项A正确；

由余弦定理知，在中，，

在△中，，

化简整理得，，

∴离心率，故选项B正确；

在△中，，

，∴，

∴根据双曲线的对称性可知，直线的斜率为，故选项C正确；

若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，与不符，故选项D错误．

故选：ABC．

13解：由题意，空间向量

可得，

所以，解得，

故答案为：-4.

14．解：，，

则，

故答案为：.

15．解：•＝＝＝2﹣1＝|PO|2﹣1，

而|PO|min＝，则答案为2．

故答案为：2．

16．解：以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.

则设，由，则，

所以两边平方并整理得，

所以P点的轨迹是以(3，0)为圆心，为半径的圆，

所以，，

则有，

则的最小值为.

故答案为：.

17．解：（1）设数列的公差为d，

∵，

∴，解得，                ………………………………………4分

∴．                            ………………………………………5分

（2）

由（1）知，

∴，

∴．                                ………………………………………10分

18．解：（1）为中点，连接，，为中点，是的中点，

故DE=2，且，故，且

四边形为平行四边形，，平面，平面，

故平面.                                    ………………………………………6分

（2），故异面直线与所成的角为，

中：，，.

根据余弦定理：，

………………………………………12分

19．解：（1）由圆的标准方程可得圆心坐标为（1，0），直线的斜率，

故直线的方程为y﹣0＝2（x﹣1），整理得2x﹣y﹣2＝0．       ………………………5分

（2）由于圆的半径为3，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣2），

整理得kx﹣y+（2﹣2k）＝0，圆心到直线l的距离为，

解得，代入整理得3x﹣4y+2＝0．                     ………………………10分

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，经检验符合题意．

∴直线l的方程为3x﹣4y+2＝0，或x＝2．                  ………………………12分

20．解：（Ⅰ）证明：∵在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，

底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2．

∴AB⊥AA1，AB2+AD2＝BD2，∴AB⊥AD，

∵AA1∩AD＝A，∴AB⊥平面ADD1A1．                     ………………………5分

（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，

A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（2，4，0），D1（0，2，2），

＝（2，0，0），＝（0，﹣4，2），＝（﹣2，﹣2，2），………………………7分

设平面B1CD1的法向量为＝（x，y，z），

则，取y＝1，得＝（1，1，2），      ………………………9分

设直线AB与平面B1CD1所成角为θ，

则直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为：

sinθ＝＝＝．                           ………………………12分

21．解：（1）当时，，

所以：数列是公比为3的等比数列；                        ………………………5分

（2）由（1）知，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列，

所以：，所以：，                     ………………………8分

，

所以，①

所以，②

①②可得

.                                      ………………………12分

22．解：（1）设点的坐标为，

∵，∴点P在线段QF的垂直平分线上，∴，

又∵，∴

∴点P在以C，F为焦点的椭圆上，且，

∴，∴曲线的方程为：.                    ………………………5分

（2）设直线AB方程为，，

由，解得，

，解得，                                ………………………6分

由韦达定理可知，，，

∴ ………………………7分

∵AB与HN垂直，∴直线NH的方程为，

令，得，∴，

又由，∴，

∴                         ………………………9分

设则

∴

当且仅当即时等号成立，有最大值，此时满足，

故，

所以直线AB的方程为：，即或.

………………………12分