2021-2022学年湖北省鄂州市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖北省鄂州市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 某单位有员工人，其中女员工有人．为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为的样本，则男员工应选取的人数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加围棋比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生”(    )

A. 是对立事件 B. 都是不可能事件
C. 是互斥事件但不是对立事件 D. 不是互斥事件

6. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是(    )

A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

7. 在正方形中，为的中点，为的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在三棱锥中，平面平面．，，，则三棱锥的外接球的表面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 复数满足，则下列说法正确的是(    )

A. 的实部为 B. 的虚部为 C.  D.

10. 年前个月各月社会消费品的零售总额增速如图所示，则下列说法中正确的有(    )

A. 受疫情影响，月份社会消费品的零售总额明显下降
B. 社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长放缓
C. 与月份相比，月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度有所扩大
D. 与月份相比，月份社会消费品的零售总额实际增速回升幅度有所扩大

11. 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为：，则关于上、下两部分空间图形的说法正确的是(    )

A. 侧面积之比为： B. 侧面积之比为：
C. 体积之比为： D. 体积之比为：

12. 在中，角，，的对边分别为，，，则下列条件能判断是钝角三角形的有(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若为实数，复数，则______．
14. 某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，则该圆柱一个底面的面积为______．
15. 已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲、乙共射击了四次的概率是______．
16. 如图，在中，，点为边上的一动点，则的最小值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. Ⅰ用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏．规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明；
    Ⅱ若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜，这个游戏是否公平？请通过计算说明．
18. 已知向量，．
    若，求的值；
    若，求与的夹角的余弦值．
19. 在使三棱锥体积取得最大值，使这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
    如图，是边长为的等边三角形，是的中点，将沿翻折形成图中的三棱锥______，动点在棱上．
    证明：平面平面；
    求直线与平面所成角的正切值的取值范围．

20. 在中，已知角，，的对边分别为，，，且．
    求角；
    若的面积为，求的最小值．
21. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，证明：
    平面；
    平面．

22. 年月日，第届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场鸟巢举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．
    根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数；
    现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的“奥运会”宣传使者．
    若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
    若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
复数在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何含义，即可求解．
本题考查了复数的几何含义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，
由正弦定理得，
解得：．
故选：．
根据正弦定理列式计算即可．
本题考查根据正弦定理解三角形，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：男员工应抽取的人数为．
故选：．
总体的个数是人，要抽一个人的样本，则每个个体被抽到的概率是，用概率去乘以男员工的人数，得到结果
本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是注意在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
则在上的投影向量为，
故选：．
由平面向量数量积运算，结合投影向量的概念求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了投影向量的概念，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件．
故选：．
根据已知条件，结合对立事件、互斥事件的定义，即可求解．
本题主要考查对立事件、互斥事件的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于，因，，当时，因为，所以；
当时，如图所示，在直线上取点，过作直线，则，过直线，的平面，
由，得，所以，
又，所以，而，所以，即A正确；

对于，若，，则，
又，则存在过直线的平面，使得，
所以，所以，所以，即B正确；

对于，如图，在长方体中，取平面为平面，直线为直线，平面为平面，直线为直线，满足，，，而，即C错误；
对于，若，，则，
又，所以，即D正确．
故选：．
利用线面垂直的判定定理与性质定理、面面垂直的判定定理可判断，；举例说明判断；利用线面垂直的判定定理与性质定理可判断．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，熟练掌握线与面平行或垂直的判定定理，性质定理是解题的关键，考查空间立体感，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：
．
故选：．
可画出图形，根据向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算即可表示出向量．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，

取的中点，的中点，连接，
由已知可得是等边三角形，得．
平面平面，且平面平面，
平面，得．
，可得为直角三角形，则为的外心，
设三棱锥的外接球的球心为，则平面，
设外接球半径为，由已知可得，，
则，，
在直角梯形中，，由勾股定理可得，解得，
三棱锥外接球的表面积．
故选：．
由面面垂直可得线面垂直，进而可确定球心的位置在上，根据勾股定理即可求解．
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由于，则，
所以的实部为，虚部为，
所以，．
故选：．
结合复数的运算法则，先对化简，即可依次求解．
本题主要考查复数的运算法则，考查实部和虚部的定义，共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于选项A：由图可知，月份社会消费品的零售总额名义增速和实际增速都小于，
所以月份社会消费品的零售总额明显下降，故选项A正确，
对于选项B：由图可知，社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长放缓，所以选项B正确，
对于选项C：由图可知，月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度为，
月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度为，所以选项C错误，
对于选项D：由图可知，月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度为，
月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度为，所以选项D错误，
故选：．
根据统计图，逐个分析选项，即可判断出正误．
本题主要考查了统计图的实际应用，同时考查了学生的逻辑推理能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为：，
所以，上部分为小棱锥，下部分为棱台，小棱锥与原棱锥的底面边长之比为：，高之比为：，
所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为：，体积之比为：，
即小棱锥与棱台的侧面积之比为：，体积之比为：．
故选：．
利用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分的高、底面边长对应比值相等，上下底面面积之比等于对应高的平方比，进行判断求解．
本题考查了棱锥、棱台的侧面积与体积的比例关系，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，由于，整理得，即，
所以或，所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于，由，得，由于，
则为钝角，故B正确；
对于，由正弦定理整理得，得，则，由于，
所以，故C正确；
对于，由，可知，即，
因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故D错误．
故选BC．
直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理及余弦定理的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：复数，
复数为实数，
即且，
解得：．
所以，则，
故答案为：．
由复数，可得复数为实数，即有虚部为再求解即可．
本题考查复数的基本概念，复数的模，考查了一元二次方程的解法，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，
该圆柱的底面圆周长为其侧面展开图正方形的边长，等于，
设该圆柱底面圆半径为，由，得，
该圆柱一个底面的面积．
故答案为：．
由圆柱的侧面展开图可知底面圆的周长等于正方形的边长，即可求出底面圆的半径，进而可求底面的面积．
本题考查圆柱的结构特征，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设事件表示“甲射击一次命中目标”，事件表示“乙射击一次命中目标”，则，相互独立，
停止射击时甲、乙共射击了四次，说明甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率，
故停止射击时，甲、乙共射击了四次的概率是．
故答案为：．
设事件表示“甲射击一次命中目标”，事件表示“乙射击一次命中目标”，则，相互独立，分析试验过程，并利用相互独立事件的概率公式直接求概率．
本题主要考查相互独立事件的概率公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意，设，，
所以，．
又，，
所以
，
由二次函数的性质可得当时，取得最小值．
故答案为：．
设，，用、表示、，再计算的最小值．
本题主要考查平面向量的数量积运算，数量积最值的求解等知识，属于中等题．
 

17.【答案】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，
样本空间正正，正反，反正，反反，
记事件，分别为“甲胜”，“乙胜”，
则，
故这个游戏是公平的，
抛掷三枚质地均匀的硬币，
样本空间正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，
记事件，分别为“甲胜”，“乙胜”，
则，，
故这个游戏不公平． 

【解析】根据已知条件，结合古典概型的公式，以及列举法，若概率相同，则游戏公平，否则不公平．
本题主要考查古典概型的公式，掌握列举法是解本题的关键，属于基础题．
 

18.【答案】解：向量，，，
，
求得．
若，则，
，，
，． 

【解析】由题意，利用两个向量平行的性质，计算求得的值．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，计算求得结果．
本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式、两人向量的夹角公式，属于基础题．
 

19.【答案】解：证明：若选择，，
由于的面积为定值，所以当到平面距离最大时，
三棱锥体积最大，
即当平面时，体积有最大值．
因为平面，所以平面平面．
若选择，因为，
所以，
在中，，所以．
因为，所以，
因为，且，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面；
因为平面，所以就是直线与平面所成的角，
记，则，
又，
当时，最大，最小，此时；
当时，最小，最大，此时，
则，
所以直线与平面所成角的正切值的取值范围是． 

【解析】若选择，利用可证平面，从而得到平面平面；
若选择，由向量数量积结合余弦定理以及勾股定理可以证明，得到平面，从而得到平面平面；
先确定直线与平面所成的角，然后结合条件，求出直线与平面所成角的正切值的取值范围．
本题考查了面面垂直的证明，线面角的范围问题，考查了分类讨论思想，属于中档题．
 

20.【答案】解：，
由正弦定理得，
，
，
，
．
在中，，
，
又，
或．
的面积为，
，
，
由余弦定理得当且仅当时取等号，
若，则当且仅当时取等号，
若，则当且仅当时取等号，
综上所述，的最小值为． 

【解析】运用正弦定理和两角和的正弦公式，化简整理，即可得到角．
运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，可得的最小值．
本题主要考查解三角形，掌握正弦定理，以及余弦定理是解本题的关键，属于中档题．
 

21.【答案】证明：取的中点，连接，，

，分别是，的中点，
，，
为的中点，四边形为正方形，
，，
，，
四边形为平行四边形．
，
平面，平面．
平面．
四边形为正方形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
连接，，为中点，，
又，，平面，
平面． 

【解析】根据平行四边形可证明，利用线面平行判定定理求解即可；
根据面面垂直的性质可得平面，可得，再由即可得证．
本题主要考查了线面平行和线面垂直的证明，属于基础题．
 

22.【答案】解：设这人的平均年龄为，
则岁．
设第百分位数为，
方法一：由，解得．
方法二：由，解得．
由题意得，第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙，
对应的样本空间为：
，，，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，乙甲，，乙，，共个样本点．
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则：
，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有个样本点．
所以，．
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，．
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，
，
因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为．
据此可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为． 

【解析】根据频率分布直方图中平均数的公式以及百分位数的计算即可求解．
用列举法列出所有的基本事件，根据古典概型的公式即可求解所求事件的概率，根据方差的公式即可求解．
本题考查频率分布直方图的性质、百分位数、平均数、方差、概率、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．