湖北省鄂州市2020-2021学年高一下学期期末质量监测——数学试题

2020—2021学年度下学期期末质量监测

高 一 数 学

★祝考试顺利★

注意事项：

1．满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

3．选择题在每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；主观题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上相对应的答题区域内。答在试题卷上无效。

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数（为虚数单位），则对应复平面内的点位于

A．第一象限  B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

2．数据的平均值为4，的平均值为5，则这八个数的平均值为

A．3          B．4              C．           D．

3．已知为△ABC三个内角A,B,C的对边，,则

A．       B．          C．        D．

4．已知几何体，“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件       D．既不充分也不必要条件

5．定义向量运算结果是一个向量，它的模是，其中表示向量的夹角.已知向量，，且，则

A．1         B．－1         C．        D．

6．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为

A．        B．            C．            D．

7．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是

A．若，则； B．若，则；

C．若，则； D．若，则.

8．鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔。现在在塔底共线三点A，B，C处分别测塔顶的仰角为，且米，则文星塔高为

A．20米       B．米        

C．米       D．30米

二、多选题（部分选对得2分，选错或者不选得0分，全对得5分，共20分）

9．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“恰有一次中靶”互斥的是

A．至多一次中靶 B．两次都中靶  C．只有一次中靶  D．两次都没有中靶

10．过正方体棱上三点D，E，F（均为棱中点）确定的截面过点P(点P为BB1中点)有

            A．    B．     C．     D．

11．下列说法正确的是

A．标准差刻画了数据的离散程度或波动程度，标准差越大，数据离散程度越大；标准差越小，数据离散程度越小；

B．若数据的平均数为，数据的平均数为，如果满足

y1＝3x1＋1，y2＝3x2＋1，…，yn＝3xn＋1，则；

C．如果一组数据中的中位数比平均数小很多，则这组数据是近似对称的；

D．若数据的方差，则都相等.

12．设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，计作.已知在斜坐标系中，向量、，则下列结论正确的是

A．    

B．若，则

C． 

D．若，则=.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．写出一个复数满足实部和虚部互为相反数，且，=_________．

14．鄂州市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级800人中采用男女比例分配分层抽样抽取一个容量为32的样本，已知样本中男生比女生多8人，则该校高一年级男生有_________人．

15．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有阳马侧棱长为4，且水平放置的底面对应的斜二测画法的直观图是一个边长为2的菱形，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_________．

16．已知为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，则=________，若上述条件成立时，则的最大值为_________．(答对一空得3分，全对得5分)

四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

17．（本题10分）已知复数z＝(m2－2m－3)＋(m2－3m)i（为虚数单位）.

⑴若为纯虚数，求实数的值；

⑵当时，复数是关于的方程的一个根，求实数 的值．

18．（本题12分）某校对2021年春高一期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30，50)，[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

⑴估计该校高一期中数学考试成绩的均值；

⑵估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数．

19．（本题12分）从，，

(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．

问题：已知为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若，__________，点是的中点，点是的中点，将△沿折起，使平面平面，如图，求异面直线与所成的角的余弦值．

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.）

20．（本题12分）某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，几何，组合各一道，竞赛记分方法如下：在规定时间内，答对代数题、组合题，每题均可获得30分，答对几何题，可获得40分，每答错一题，则扣除总分中的10分（假设答题只有对与错两种结果）.根据以往统计结果，小明答对代数、几何、组合的概率分别为，假设解答这三题结果彼此独立.已知小明初始分为0分，设比赛结束后，小明的总分为，求：

⑴已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为，求该学生恰能答对三题中的一题的概率；

⑵已知，求总分不低于50分的概率．

21．（本题12分）已知三棱柱棱长均为2，且点在底面△ABC的投影为△ABC的中心O，点为棱的中点．

⑴证明：直线平面；

⑵求二面角的余弦值．

22．（本题12分）已知为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，线段边对应的高为，△ABC内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H.

⑴求△ABC中高AD的长度；

⑵欧拉线定理：设△ABC的重心，外心，垂心分别是，则三点共线，且．请合理运用欧拉线定理，求的值．

高一数学参考答案

一、选择题（本题总分40分）

二、多选题（本题总分20分，全对5分，不全得2分）

三、填空题（本题总分20分）

13．答案不唯一，确保实部虚部互为相反数且平方和在均可得分，如.

14．500人        

15．        

16．    5     （答对一空得3分，全对得5分）

四、解答题（本题总分70分）

17．（本题总分10分）

解：⑴若为纯虚数，则

解得.                        ................................5分  

⑵当时，复数，则，      ................................7分

是方程的一个根，

，

整理得.

根据复数相等，有

解得                           .............................10分

18．（本题总分12分）

解：⑴

数学成绩在：

频率，

频率，

频率，

频率，

频率，

频率，               ...............................3分

样本均值为：

，

可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分.         ................................6分

⑵由⑴知

样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为

在130分以下所占比例为

因此，80%分位数一定位于内，由

，

可以估计样本数据的第80百分位数约为115分，              ...............11分

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分  ...............12分

19．（本题总分12分）

选择①

即

,故△ABC为等腰三角形.                       ..................6分

选择②

,故△ABC为等腰三角形.                        .......................6分

选择③

展开得：

△ABC为锐角三角形

,故△ABC为等腰三角形.                        .......................6分

，故△ABC为等边三角形.            

取EF中点G连接A’G、GB、GC、A’B、A’C ，                    .........................7分

平面平面，

又，

平面，

又E、F为中点，所以.

故异面直线与所成的角即为与BC所成的角，       ........................9分

取△ABC边长为2，计算可得：，,

在△A’BC中,,              ....................11分

异面直线与所成的角的余弦值为.           ......................12分

20．（本题总分12分）

解：⑴小明三道题都答对概率为，故，

恰能解决三道题中的一道题的概率：  .....................6分

⑴若三道题均答对，则,

     若组合题答对，代数、几何恰有一道题答对，

则，

若代数几何均答对，但组合未答对，则,

.            ......................12分

21．（本题总分12分）

解：

⑴连接AB1交A1B于E点，连DE，

均为中点，

又平面，面,

直线平面.                        ..........................5分

⑵如图，过点O作OG,,过点B作,

连接,                                ..........................6分

为中心，,

根据勾股定理可得：,

平面ABC

，同理，,

又,

可得△△，故.          ...........................8分

又,

△△,

为求二面角的平面角，             .............................9分

三棱柱棱长均为2，容易求出：

,,,

,同理，,

在△BMC中，,           

二面角的余弦值为.                         ....................12分

（此题方法较多，根据解答酌情给分）

附：方法2

过点B作,连接MC

连接,,

容易证明,

可知△△,,        ..........................8分

又,

△△,

为求二面角的平面角，            .............................9分

三棱柱棱长均为2，

,同理，,

在△BMC中，,           

二面角的余弦值为.                         .............................12分

22．（本题总分12分）

解：⑴

    .........................2分

根据面积相等有，

解得：         ..............................5分

⑵连接延长交于点，根据角平分线定理可知：,

则                               ........................6分

又在△中，平分，

根据角平分线定理可知：

,   .......................7分

根据欧拉线定理有

                 .......................9分

,                 .....................11分

                                          .....................12分