数学九年级上册22.3 实际问题与二次函数第1课时教案设计

22.3 实际问题与二次函数

第1课时 实际问题与二次函数（1）

【知识与技能】

1.能根据实际问题构造二次函数模型.

2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题.

【过程与方法】

通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.

【情感态度】

体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.

【教学重点】

用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题.

【教学难点】

将实际问题转化为数学问题，并用二次函数性质进行决策.

一、情境导入，初步认识

问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

教师以课件形式展示教材中的图，并向学生提问：

（1）图中抛物线的顶点在哪里？

（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？

（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？

（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？

【教学说明】教师通过以上问题让学生体会：求最值问题都可转化为求抛物线的顶点坐标，引导学生看图时，要让学生明白为什么图象只有t轴上面的一部分.

二、思考探究，获取新知

探究  用总长为60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.

（1）你能求出S与l之间的函数关系式吗？

（2）此矩形的面积能是200m2吗？若能，请求出此矩形的长、宽各是多少？

（3）此矩形的面积能是250m2吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由.

（4）当l是多少米时，场地的面积S最大？最大值是多少？

【设计及教学说明】设计上述问题的目的一方面是让学生了解从实际问题中构建数学模型的思想方法并帮助学生思考，另一方面通过对问题（2）、（3）的思考回顾上节所学过知识，加深函数与方程的联系的理解.在教学时，教师可让学生自主探究，针对问题（3）、（4）教师可作适当提示，让学生尽量独立完成，从而体验成功的喜悦，进而完成本节知识的初步学习.

【归纳结论】学生经历上述问题的思考探究后，可归纳出以下建立二次函数模型解决实际问题的步骤：①从问题中，分析出什么是自变量，什么是因变量；

②分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

③研究自变量的取值范围；

④研究所得函数，找出最值；

⑤检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；

⑥应用二次函数的性质解决提出的实际问题.

三、运用新知，深化理解

1.如图，用12m长的木条，做一个有横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的横档长为（    ）

A.0.5米

B.1米

C.2米

D.2.5米

2.已知等腰三角形的面积S与底边x有如下关系:S=-5x2+10x+14,要使S有最大值，则x=             .

3.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AB=12cm,点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC,PF⊥AC,当PB=时，四边形PECF的面积最大，最大值为.

4.张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米.

（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）；

（2）当x为何值时，S有最大值？并求出其最大值.

5.如图所示，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x(cm).

（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的V;

（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

【教学说明】1.可让全班同学自主探究，获得结论.教师在学生探究过程中，应适当予以提示，帮助学生度过难关，如第4题中设AB=xm时，则BC=（32-2x）m.避免出现BC= m的错误.

2.解决此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求出顶点坐标，结合二次函数的性质与自变量的取值范围确定最大面积.教师通过学生对上述题目的探索，分析，帮助他们总结思路方法，巩固新知.

四、师生互动，课堂小结

1.通过本节课的学习你有什么收获？

2.你觉得这节课有哪些问题需要特殊关注的？谈谈自己的看法.

3.建立函数模型解决实际问题有哪些步骤？

1.布置作业：从教材习题22.3中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.