06解答题提升题知识点分类-天津市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编

这是一份06解答题提升题知识点分类-天津市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编，共27页。试卷主要包含了和点B，，顶点为D，与x轴的一个交点，，顶点为P，是x轴正半轴上的动点等内容，欢迎下载使用。

06解答题提升题知识点分类-天津市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编
一．二次函数综合题（共5小题）
1．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
2．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．
3．（2020•天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？
4．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．
（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；
（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP＝45°时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP＝45°时，求抛物线的解析式．
5．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D（b，yD）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；
（Ⅲ）点Q（b+，yQ）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．
二．四边形综合题（共4小题）
6．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．

7．（2022•天津）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．
（Ⅰ）如图①，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；
（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3，则t的值可以是 　 　（请直接写出两个不同的值即可）．

8．（2020•天津）将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．
（Ⅰ）如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；
（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ＝OP，点O的对应点为O'，设OP＝t．
①如图②，若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分为四边形，O'P，O'Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O'D的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤t≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

9．（2018•天津）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．
（Ⅰ）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．
①求证△ADB≌△AOB；
②求点H的坐标．
（Ⅲ）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

三．切线的性质（共1小题）
10．（2018•天津）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°，
（I）如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．

四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2018•天津）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60．

五．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
12．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．


参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共5小题）
1．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，
则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；
②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BP的解析式为y＝kx+n，
∴，解得，
∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6，
∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），
∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，
∴当m＝2时，MG取得最大值1，
此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；

（Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又3b＝2c，
b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．
∴y＝ax2﹣2a﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4a），
∵直线x＝2与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为（2，﹣3a），
作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，

得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），
当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5．
延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．
在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．
∴P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．
解得a1＝，a2＝﹣（舍）．
∴点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．
∴直线P'N′的解析式为y＝x﹣．
∴点E（，0），点F（0，﹣）．
2．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），则c＝﹣1，
（Ⅰ）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；

（Ⅱ）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
故点D（1，﹣a﹣1），
由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，
即（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，
解得a＝或，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣1或y＝x2﹣3x﹣1；

（Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣2，﹣a），
作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a﹣1），

当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由：
∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2，
则F′D′2＝F′H2+D′H2＝（1﹣2a）2+4＝（2）2，
解得a＝（舍去）或﹣，
则点D′、F′的坐标分别为（﹣2，）、（0，﹣），
由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝﹣3x﹣，
当y＝0时，y＝﹣3x﹣＝0，解得x＝﹣＝m，
则m+3＝，
即点M的坐标为（﹣，0）、点N的坐标为（，﹣1）．
3．（2020•天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3．
∵抛物线经过点A（1，0），
∴0＝1+b﹣3，
解得b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（Ⅱ）①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m＜0，
∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0．
∴a＝1，b＝﹣m﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．
根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m），
过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．

在Rt△EAH中，EH＝1﹣（m+1）＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m，
∴AE＝＝﹣m，
∵AE＝EF＝2，
∴﹣m＝2，
解得m＝﹣2．
此时，点E（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2），有EC＝1．
∵点F在y轴上，
∴在Rt△EFC中，CF＝＝．
∴点F的坐标为（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．
②由N是EF的中点，连接CN，CM，得CN＝EF＝．
根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上，
由点M（m，0），点C（0，m），得MO＝﹣m，CO＝﹣m，
∴在Rt△MCO中，MC＝＝﹣m．
当MC≥，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上．
MN的最小值为MC﹣NC＝﹣m﹣＝，解得m＝﹣；
当MC＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC＝﹣（﹣m）＝，
解得m＝﹣．
∴当m的值为﹣或﹣时，MN的最小值是．
4．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．
（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；
（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP＝45°时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP＝45°时，求抛物线的解析式．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2+mx﹣2m经过点A（1，0），
∴0＝1+m﹣2m，
解得：m＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣2，
∵y＝x2+x﹣2＝（x+）2﹣，
∴顶点P的坐标为（﹣，﹣）；

（Ⅱ）抛物线y＝x2+mx﹣2m的顶点P的坐标为（﹣，﹣），
由点A（1，0）在x轴的正半轴上，点P在x轴的下方，∠AOP＝45°知点P在第四象限，
如图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q，

则∠POQ＝∠OPQ＝45°，
可知PQ＝OQ，即＝﹣，
解得：m1＝0，m2＝﹣10，
当m＝0时，点P不在第四象限，舍去；
∴m＝﹣10，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣10x+20；

（Ⅲ）由y＝x2+mx﹣2m＝x2+m（x﹣2）可知当x＝2时，无论m取何值时y都等于4，
∴点H的坐标为（2，4），
过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D、H作x轴的垂线，垂足分别为E、G，

则∠DEA＝∠AGH＝90°，
∵∠DAH＝90°，∠AHD＝45°，
∴∠ADH＝45°，
∴AH＝AD，
∵∠DAE+∠HAG＝∠AHG+∠HAG＝90°，
∴∠DAE＝∠AHG，
∴△ADE≌△HAG，
∴DE＝AG＝1、AE＝HG＝4，
则点D的坐标为（﹣3，1）或（5，﹣1）；
①当点D的坐标为（﹣3，1）时，可得直线DH的解析式为y＝x+，
∵点P（﹣，﹣）在直线y＝x+上，
∴﹣＝×（﹣）+，
解得：m1＝﹣4、m2＝﹣，
当m＝﹣4时，点P与点H重合，不符合题意，
∴m＝﹣；
②当点D的坐标为（5，﹣1）时，可得直线DH的解析式为y＝﹣x+，
∵点P（﹣，﹣）在直线y＝﹣x+上，
∴﹣＝﹣×（﹣）+，
解得：m1＝﹣4（舍），m2＝﹣，
综上，m＝﹣或m＝﹣，
则抛物线的解析式为y＝x2﹣x+或y＝x2﹣x+．
5．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D（b，yD）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；
（Ⅲ）点Q（b+，yQ）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），
∴1+b+c＝0，
即c＝﹣b﹣1，
当b＝2时，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，
∵点D（b，yD）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴yD＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，
由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，
∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，
如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），
∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，
∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，
∴AD＝AE，
由已知AM＝AD，m＝5，
∴5﹣（﹣1）＝（b+1），
∴b＝3﹣1；

（Ⅲ）∵点Q（b+，yQ）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴yQ＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，
可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，
∵AM+2QM＝2（AM+QM），
∴可取点N（0，1），
如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，
由∠GAM＝45°，得AM＝GM，
则此时点M满足题意，
过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），
在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，
∴QH＝MH，QM＝MH，
∵点M（m，0），
∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，
解得，m＝﹣，
∵AM+2QM＝，
∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b+）﹣（﹣）]＝，
∴b＝4．


二．四边形综合题（共4小题）
6．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．

【解答】解：（Ⅰ）∵点A（6，0），
∴OA＝6，
∵OD＝2，
∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，
∵四边形CODE是矩形，
∴DE∥OC，
∴∠AED＝∠ABO＝30°，
在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，
∵OD＝2，
∴点E的坐标为（2，4）；
（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，
∴∠E′FM＝∠ABO＝30°，
∴在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，
∴S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×t＝，
∵S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4＝8，
∴S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8﹣，
∴S＝﹣t2+8，其中t的取值范围是：0＜t＜2；
②当S＝时，如图③所示：
O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，
∵∠AO'F＝90°，∠AFO'＝∠ABO＝30°，
∴O'F＝O'A＝（6﹣t）
∴S＝（6﹣t）×（6﹣t）＝，
解得：t＝6﹣，或t＝6+（舍去），
∴t＝6﹣；
当S＝5时，如图④所示：
O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，
∴O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），
∴S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，
解得：t＝，
∴当≤S≤5时，t的取值范围为≤t≤6﹣．


7．（2022•天津）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．
（Ⅰ）如图①，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；
（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3，则t的值可以是 　3或　（请直接写出两个不同的值即可）．

【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点O′作O′H⊥OA于点H．

在Rt△POQ中，∠OPQ＝30°，
∴∠PQO＝60°，
由翻折的性质可知QO＝QO′＝1，∠PQO＝∠PQO′＝60°，
∴∠O′QH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴QH＝QO′•cos60°＝，O′H＝QH＝，
∴OH＝OQ+QH＝，
∴O′（，）；

（Ⅱ）如图②中，

∵A（3，0），
∴OA＝3，
∵OQ＝t，
∴AQ＝3﹣t．
∵∠EQA＝60°，
∴QE＝2QA＝6﹣2t，
∵OQ′＝OQ＝t，
∴EO′＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6（2＜t＜3）；

（Ⅲ）如图③中，当点Q与A重合时，重叠部分是△APF，过点P作PG⊥AB于点G．

在Rt△PGF中，PG＝OA＝3，∠PFG＝60°，
∴PF＝＝2，
∵∠OPA＝∠APF＝∠PAF＝30°，
∴FP＝FA＝2，
∴S△APF＝•AF•PG＝××3＝3，
观察图象可知当3≤t＜2时，重叠部分的面积是定值3，
∴满足条件的t的值可以为3或（答案不唯一）．
故答案为：3或．
8．（2020•天津）将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．
（Ⅰ）如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；
（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ＝OP，点O的对应点为O'，设OP＝t．
①如图②，若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分为四边形，O'P，O'Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O'D的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤t≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点P作PH⊥OA于H．

∵∠OAB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠OPH＝90°﹣60°＝30°，
∵OP＝1，
∴OH＝OP＝，PH＝OP•cos30°＝，
∴P（，）．

（Ⅱ）①如图②中，

由折叠可知，△O′PQ≌△OPQ，
∴OP＝O′P，OQ＝O′Q，
∵OP＝OQ＝t，
∴OP＝OQ＝O′P＝O′Q，
∴四边形OPO′Q是菱形，
∴QO′∥OB，
∴∠ADQ＝∠B＝30°，
∵A（2，0），
∴OA＝2，QA＝2﹣t，
在Rt△AQD中，DQ＝2QA＝4﹣2t，
∵O′D＝O′Q﹣QD＝3t﹣4，
∴＜t＜2．

②当点O′落在AB上时，重叠部分是△PQO′，此时t＝，S＝×（）2＝，
当＜t≤2时，重叠部分是四边形PQDC，S＝t2﹣（3t﹣4）2＝﹣t2+3t﹣2，
当t＝﹣＝时，S有最大值，最大值＝，
当t＝1时，S＝，当t＝3时，S＝××＝，
综上所述，≤S≤．
9．（2018•天津）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．
（Ⅰ）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．
①求证△ADB≌△AOB；
②求点H的坐标．
（Ⅲ）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

【解答】解：（Ⅰ）如图①中，

∵A（5，0），B（0，3），
∴OA＝5，OB＝3，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC＝OB＝3，OA＝BC＝5，∠OBC＝∠C＝90°，
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，
∴AD＝AO＝5，
在Rt△ADC中，CD＝＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝1，
∴D（1，3）．

（Ⅱ）①如图②中，

由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE＝90°，
∵点D在线段BE上，
∴∠ADB＝90°，
由（Ⅰ）可知，AD＝AO，又AB＝AB，∠AOB＝90°，
∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．

②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD＝∠BAO，
又在矩形AOBC中，OA∥BC，
∴∠CBA＝∠OAB，
∴∠BAD＝∠CBA，
∴BH＝AH，设AH＝BH＝m，则HC＝BC﹣BH＝5﹣m，
在Rt△AHC中，∵AH2＝HC2+AC2，
∴m2＝32+（5﹣m）2，
∴m＝，
∴BH＝，
∴H（，3）．

（Ⅲ）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值＝•DE•DK＝×3×（5﹣）＝，

当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积＝×D′E′×KD′＝×3×（5+）＝．
综上所述，≤S≤．
三．切线的性质（共1小题）
10．（2018•天津）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°，
（I）如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．

【解答】解：（Ⅰ）连接OD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB﹣∠BAC＝90°﹣38°＝52°，
∵D为的中点，∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝90°，
∴∠ABD＝45°；
（Ⅱ）连接OD，
∵DP切⊙O于点D，
∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°，
由DP∥AC，又∠BAC＝38°，
∴∠P＝∠BAC＝38°，
∵∠AOD是△ODP的一个外角，
∴∠AOD＝∠P+∠ODP＝128°，
∴∠ACD＝64°，
∵OC＝OA，∠BAC＝38°，
∴∠OCA＝∠BAC＝38°，
∴∠OCD＝∠ACD﹣∠OCA＝64°﹣38°＝26°．


四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2018•天津）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60．

【解答】解：如图作AE⊥CD交CD的延长线于E．则四边形ABCE是矩形，
∴AE＝BC＝78（m），AB＝CE，
在Rt△ACE中，EC＝AE•tan58°≈125（m）
在Rt△AED中，DE＝AE•tan48°，
∴CD＝EC﹣DE＝AE•tan58°﹣AE•tan48°＝78×1.6﹣78×1.11≈38（m），
答：甲、乙建筑物的高度AB约为125m，DC约为38m．

五．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
12．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．

【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，
在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，
∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，
在Rt△BCH中，
∵tan∠BCH＝，
∴CH＝＝（海里），
又∵CA＝CH+AH，
∴257＝+AH，
所以AH＝（海里），
∴AB＝≈＝168（海里），
答：AB的长约为168海里．