2022郴州高一下学期期末数学试卷含解析

郴州市2022年高一下学期期末教学质量监测试卷

数  学（试题卷）

注意事项：

 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，有四道大题，共22道小题，满分150分，考试时间120分钟

 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目．

 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．

 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，则的虚部为（       ）

A． B． C．3 D．

2．某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为2：3：5．现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（       ）

A．10 B．15 C．20 D．25

3．底面半径为2．母线长为4的圆锥的表面积为（       ）

A． B． C． D．

4．若向量（1，x），（，2）且，则x的值为（       ）

A．0 B．1 C．0或1 D．

5．△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则（       ）

A． B． C． D．

6．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，则异面直线AM与C1D1所成角的正切值为（       ）

A． B． C． D．

7．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图1是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、、兑八卦，每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），现有1人随机的从八卦中任取两卦，六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（       ）

图1

A． B． C． D．

8．如图2，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且，则的最小值为（       ）

图2

A．16 B．17 C．18 D．19

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列命题不正确的是（       ）

A．三点确定一个平面  B．两条相交直线确定一个平面

C．一条直线和一点确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面

10．若复数z满足，则（       ）

A． B．z的实部为1 C． D．

11．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（       ）

A． B． C． D．

12．如图3．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（       ）

A．三棱锥A−D1PC的体积不变

B．直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为

C．直线AP与平面ACD1所成角的大小不变

D．二面角P−AD1−C的大小不变

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．一组数1、2、4、5、6、6、7、8、9的75%分位数为________．

14．已知事件A、B互斥，且事件A发生的概率P（A）=，事件B发生的P（B）=，则事件A、B都不发生的概率是________．

15．如图4．为了测量河对岸的塔高AB．可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得CD=30米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又∠CBD=30°，则塔高AB=________米．

16．已知A、B、C是半径为3的球O的球面上的三个点，且∠ACB=120°，AB=，

AC+BC=2．则三棱锥O−ABC的体积为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

 若，，是同一平面内的三个向量，其中（3，）．

（I）若，且∥，求的坐标；

（Ⅱ）若且与垂直，求与的夹角．

18．（本小题满分12分）

 如图5，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，PB=PD，E，F分别为AB和PD的中点．

（I）求证：EF∥平面PBC：

（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC．

19．（本小题满分12分）

 郴州市某高中学校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100），得到的频率分布直方图如图6所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．

（I）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；

（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

20．（本小题满分12分）

 已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）从两个条件：①；②△ABC的面积为中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．

21．（本小题满分12分）

 如图7，已知四边形ABCD是等腰梯形，|AB|=3|CD|，高，，将它沿对称轴OO1折叠，使二面角A−OO1−B为直二面角．

（I）证明：AC⊥BO1；

（Ⅱ）求二面角O−AC−O1的正弦值．

22．（本小题满分12分）

 已知O为坐标原点，对于函数，称向量（a，b）为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．

（I）设函数，试求的伴随向量；

（Ⅱ）记向量（1，）的伴随函数为，求当且时的值；

（Ⅲ）由（I）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知A（，3），B（2，6），问在的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．