2022-2023学年湖南省郴州市高一（上）期末数学试卷（含解析）

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2022-2023学年湖南省郴州市高一（上）期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列函数是偶函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若，，则“”是“”的(    )

A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件

6.  已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  年月日时分，长征二号遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到千米秒，则至少约为结果精确到，参考数据：，(    )

A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨

8.  已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列选项中其值等于的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  下列说法正确的是(    )

A. 命题“，”的否定是“，”
B. 若正数，满足，则
C. 函数的最小正周期是
D. 半径为，圆心角为的扇形的弧长等于

11.  已知函数，则下列说法正确的是(    )

A. 函数的图象关于轴对称 B. 函数在区间上单调递增
C.  D.

12.  已知正实数，，满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知幂函数的图象经过点，则        ．

14.         ．

15.  若函数满足：
对于任意实数，，当时，都有；
，
则          答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可

16.  已知，函数，若方程恰有个实数解，则的取值范围是        ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．

18.  本小题分
已知函数．
求函数的定义域；
若函数，求的零点．

19.  本小题分
已知，求的值；
在，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．
已知为第四象限的角，_____求的值．

20.  本小题分
为全面落实“三高四新”战略定位和使命任务，推动“一极六区”建设走深走实，郴州市委市政府实施“人才兴郴”战略，加大科技创新力度，以科技创新催生高质量发展某公司研发部决定将某项最新科研技术应用到生产中，计划该技术全年需投入固定成本万元，每生产百件该产品，需另投入成本万元，且，假设该产品销售单价为万元件，且每年生产的产品当年能全部销完．
求全年的利润万元关于年产量百件的函数关系式；
试求该企业全年产量为多少百件时，所获利润最大，并求出最大利润．

21.  本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，，当时，恒成立，求实数的最大值．

22.  本小题分
已知函数为奇函数．
利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增；
若正数，满足，求的最小值；
解不等式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
根据交集的定义即可求．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：依题意可得，，分别是关于的一元二次方程的两根，
根据韦达定理可得：．
故选：．
根据已知条件，结合韦达定理，即可求解．
本题主要考查一元二次不等式及其应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：函数为非奇非偶函数；
函数为非奇非偶函数；
函数为奇函数，
函数为偶函数．
故选：．
利用常见函数的奇偶性直接判断即可得出结论．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以．
故选：．
利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值，进行判断即可．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 

5.【答案】 

【解析】解：当，则和无意义，得不出，所以充分性不成立，
当时，则，可以得出，则必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
根据对数的性质以及充分，必要条件的定义即可求解．
本题考查了充分，必要条件的定义，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题得，角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，
所以，
所以，
所以．
故选：．
根据三角函数的定义得，再运用二倍角公式解决即可．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为当时，千米秒，
所以，所以，
所以，
当吨，千米秒时，有，所以吨．
故选：．
把，千米秒，代入函数式中可得，再代入吨，千米秒，即可求得的值．
本题考查函数的实际应用，熟练掌握指数和对数的运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：令，即，解得，
所以，
当时，由在定义域内单调递减可得，
当时，由二次函数的性质可得，
综上，函数的最大值为，
故选：．
先把写成分段函数的形式，再求最大值即可．
本题考查分段函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案．
本题主要考查三角恒等变换，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：命题“，”的否定是“，”，故A错误；
，当且仅当时，等号成立，故B正确；
函数的最小正周期，故C正确；
半径为，圆心角为的扇形的弧长为，故D正确．
故选：．
根据全称命题的否定是特称命题可判断；
利用基本不等式可判断；
利用三角函数的周期公式可判断；
利用扇形的弧长公式可判断．
本题主要考查命题的真假判断，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由函数的定义可知，函数的图象不关于轴对称，故A错误；
因为函数与都是上的增函数，
则是上的增函数，所以函数在区间上单调递增，故B正确；
，故C正确；
，，故D错误．
故选：．
由函数的定义可判断；由函数与都是上的增函数可判断；计算等式的两边进行验证可判断、．
本题主要考查了函数对称性及单调性的应用，还考查了指数函数的性质，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，则，可得：，，
对于，，故A正确；
对于，因为，故，，即；，即，故B错误．
对于，，，，
因为，因为所以等号不成立，
所以，则，即，故C错误；
对于，，，，
因为，因为所以等号不成立，
所以，则，即，故D正确．
故选：．
令，得出，，选项A，根据换底公式计算即可判断；选项B，结合作差法和换底公式即可判断；选项C、，利用换底公式进行化简，再结合基本不等式即可判断．
本题主要考查对数的运算，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由于幂函数的图象经过点，
所以，
所以，，
所以．
故答案为：．
将点代入，解析式，求得的值，由此求得的值．
本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查函数值的计算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据对数换底公式及分数指数幂运算即可求得答案．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查求函数解析式，涉及函数单调性的判断，属于基础题．
根据题意，结合对数函数的性质分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，
若函数满足，则函数在区间上为增函数，
若函数满足，可以考虑为对数函数，
则可以为，
故答案为：．

16.【答案】， 

【解析】解：函数，函数图象如下图所示：

方程，若，即；若，得，；
结合图象可知：
当时，方程仅有一个实数解；
当时，方程恰有两个实数解，；
当时，方程恰有三个实数解，，；
当时，方程恰有两个实数解，；
综上，若方程恰有个实数解，则的取值范围是，．
故答案为：，．
根据分段函数，得函数图象，求得是所有可能的根，结合图象可得方程恰有个实数解时的取值范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：当时，，
因为，
所以．
，
恒成立，
，
，
则，解得：，
故实数的取值范围为． 

【解析】由交集的定义求解即可；
根据题意列出不等式组求解．
本题主要考查了集合交集运算及集合包含关系的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题意得，解得．
所以的定义域为．
令，
，
，解得，
故的零点为． 

【解析】根据函数有意义，建立不等式组，求解即可；
令，得，解方程即可．
本题考查了求函数定义域及函数零点的求解，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
 

19.【答案】解：由，得，
．
选择：，即，
为第四象限的角，
，，
又，
，
，
．
选择：，，
，
为第四象限的角，
，，
，
． 

【解析】由题意得，所求式子弦化切代入计算即可；
选择：由同角的三角函数关系式求得，，然后利用两角差的正弦计算即可；选择：利用结合角的范围求得，然后利用两角差的正弦计算即可．
本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：当时，，
当时，，
则．
若，，
则当时，万元，
若万元，
当且仅当时“”成立，
则当时，万元，
万元万元，
故当年产量为件时，所获利润最大，最大利润为万元． 

【解析】根据题意分为，两种情况，求得函数解析式；
结合二次函数的性质和基本不等式，分段讨论得出最大值．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由图像可知，周期，，
点在函数图像上，
，即，
又，，
则，即，
点在函数图像上，，即，
故函数的解析式为．
由题意可得，
设，
，，当时，恒成立，
即恒成立，
即恒成立，在区间上单调递减，
令，解得，
，，则，
故，解得，
最大值为． 

【解析】根据图象得出周期，即可根据三角函数周期计算得出，将点代入新解析式，得，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出，将点代入新解析式，即可得出，即可得出答案；
设，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出在区间上单调递减，由三角函数的单调区间解出的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查三角函数图象的平移变换，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：函数的定义域是，由题意得，解得，
则，，
为奇函数，故，
任取，，且，
则，
因为，，且，
所以，
所以，
故，
所以函数在上单调递增；
因为，为奇函数，
所以，又函数在上单调递增，
所以正实数，满足即，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
令，
因为和都是奇函数，且在上单调递增，所以是奇函数，且在上单调递增．
又，不等式．
从而，解得或．
故不等式的解集为． 

【解析】利用函数的奇偶性得出，然后利用函数单调性的定义证明即可；
由已知条件求得，即，利用“”的妙用和基本不等式求解即可；
令，易知是奇函数，且在上单调递增，又，不等式，从而，求解即可．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断及应用，属于中档提报．