2022-2023学年湖南省郴州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省郴州市高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 复数21+i=( )
A. 1+iB. 1−iC. −1−iD. −1+i
2. 已知集合A={x|x2+x−6≤0}，B={x|y=lg(1−x)}，则A∩B=( )
A. [−3,1)B. [−3,2]C. (−∞,2]D. (1,2]
3. 已知抛物线x2=8y上一点P到x轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
4. 已知数列{an}中，an2=an−1an+1(n>1,n∈N)且a7=8，a4a8=4，则an+1an=( )
A. ±2B. 2C. 4D. ±4
5. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为( )
(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.477)
A. 5B. 7C. 8D. 9
6. 若非零向量a,b满足(a+b)(a−b)=0,(2a+b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
7. 在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.71828.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.如果排列时要求2不排第一个，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为( )
A. 30B. 32C. 36D. 48
8. 已知函数f(x)=ln(ex+1)−12x，若a=f(e12),b=f(ln35),c=f(−23)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. c>b>aC. b>a>cD. a>c>b
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是( )
A. 数据1，2，3，4，5，6，8，9的第25百分位数是2
B. “事件A，B对立”是“事件A，B互斥”的充分不必要条件
C. 若随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，则P(3<ξ<4)=0.2
D. 若随机变量η，X满足η=3X−2，则D(η)=3D(X)−2
10. 将函数f(x)=sin(ωx+π3)(0<ω<2)的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 函数f(x)图象的一个对称中心是(2π3,0)
C. 函数f(x)在[−π4,π6]上单调递增
D. 函数f(x)在[π6,π]上的最小值是 32
11. 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断正确的是( )
A. A1P//平面ACD1
B. 三棱锥P−ACD1的体积为43
C. 三棱锥A−A1BC1外接球的表面积是24π
D. 直线D1P与平面ACD1所成角的正弦值的最大值为 33
12. 已知函数f(x)的定义域为R，函数f(x+1)为偶函数，且f(x+2)+f(2−x)=0.f′(x)是f(x)的导函数.则下列结论正确的是( )
A. f(x)是周期为2的周期函数
B. f′(x)的图象关于直线x=2对称
C. f(f(x))的图象关于直线x=1对称
D. f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)=0
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知双曲线x2a2−y2=1(a>0)的焦距为4，则双曲线的离心率为______ ．
14. 在二项式( x−12x)n的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中的常数项为______ ．
15. 直线l：x+y−3=0被圆C：x2+y2−6x+8y−11=0截得的弦长为______．
16. 已知函数f(x)=ax−xlnx与g(x)=e−x+1的图象上恰有两对点关于y轴对称，则实数a的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 3sinBsinC=sin2B+sin2C−sin2A.
(1)求角A；
(2)若a=2b，求csC．
18. (本小题12.0分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an+2n−5．
(1)证明：数列{an−2}为等比数列，并求出{an}的通项公式；
(2)若bn=lg2(an+1−2)，cn=an−2，求数列{bn⋅cn}的前n项和Tn．
19. (本小题12.0分)
如图，四棱锥P−ABCD中，△PAD为正三角形，AB//CD，AB=2CD=4，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点．
(1)求证：平面PAB⊥平面CDE；
(2)若三棱锥P−ACD的体积为2 33，求面ADE与面DEB的夹角的余弦值．
20. (本小题12.0分)
体育运动是增强体质的最积极有效的方法，经常进行体育运动能增强身体机能和身心健康.为给民众提供丰富的健身器材，某厂家生产了两批同种规格的羽毛球，第一批占产量的60%，次品率为0.05；第二批占产量的40%，次品率为0.04．
(1)从混合的两批羽毛球中任取1个，已知取到的是合格品，求它取自第一批羽毛球的概率；
(2)从混合的两批羽毛球中有放回地连续抽取3次，每次抽取1个，记3次抽取中，抽取的羽毛球是第二批的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
21. (本小题12.0分)
已知平面上动点E到点A(1,0)与到圆B：x2+y2+2x−15=0的圆心B的距离之和等于该圆的半径．
(1)求点E的轨迹方程；
(2)已知M，N两点的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，过点A的直线与(1)中点E的轨迹交于C，D两点(C,D与M，N不重合).证明：直线MC与ND的交点的横坐标是定值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2lnx+a2x2−(a+2)x，其中a为小于0的常数．
(1)试讨论f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有两个不相等的零点x1，x2，证明：x1+x2>2．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=2−2i2=1−i．
故选B．
直接利用复数的除法运算化简求值．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意可得两集合分别为：
A=[−3,2]，B=(−∞,1)，
∴A∩B=[−3,1)．
故选：A．
先化简，再运算，即可求解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由于抛抛物线x2=8y上的一点P到x轴的距离是6，
故点P的纵坐标为6．
再由抛物线x2=8y的准线为y=−2，
结合抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，
故点P到该抛物线焦点的距离是6−(−2)=8，
故选：C．
由题意可得点P的纵坐标为6，由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线y=−2的距离，由此求得结果．
本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：在数列{an}中，an2=an−1an+1(n>1,n∈N)且a7=8，则数列{an}为等比数列，
设等比数列{an}的公比为q，则a4a8=a62=4，可得a6=±2，
因此，q=a7a6=±4，即an+1an=±4．
故选：D．
分析可知数列{an}为等比数列，设等比数列{an}的公比为q，根据已知条件求出q的值，即可得解．
本题主要考查数列的递推式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N*)，
由题意1.2×0.8n≤0.2，即(54)n≥6，
两边取以10为底的对数可得lg(54)n≥lg6，
即nlg(5×28)≥lg2+lg3，
所以n≥lg2+lg31−3lg2，
因为lg2≈0.3，lg3≈0.477，
所以lg2+lg31−3lg2≈0.3+0.4771−3×0.3=7.77，
所以n≥7.77，
又n∈N*，
所以nmin=8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．
故选：C．
设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N*)，由题意1.2×0.8n≤0.2，两边取以10为底的对数可得n≥lg2+lg31−3lg2，根据参考数据即可求解．
本题考查了指数、对数的运算，求出关系式1.2×0.8n≤0.2是解答本题的关键，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：非零向量a,b满足(a+b)(a−b)=0,(2a+b)⊥b，
所以a2=b2，2a⋅b+b2=0，
设a与b的夹角为θ，则csθ=a⋅b|a||b|=−12b2b2=−12，
因为0≤θ≤π，
所以θ=2π3．
故选：C．
由已知结合向量数量积的性质及夹角公式即可求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①8排在第一位，则第二个数字也是8，再从剩下的4个位置中选出2个，安排两个2，最后安排7和1，
此时有C42A22=12个不同的密码；
②8不排成第一位，则第一位安排7或1，将两个8看成一个整体，与两个2和7或1中剩下的数排列，
此时有12C21A44=24个不同的密码；
则一共有12+24=36个不同的密码．
故选：C．
根据题意，分2种情况讨论：①8排在第一位，②8不排成第一位，由加法原理计算可得答案．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=ln(ex+1)−12x定义域为R，
f(−x)=ln(e−x+1)−12(−x)=ln(e−x+1)+12x，
所以f(x)+f(−x)=ln(ex+1)−12x−[ln(e−x+1)+12x]=ln(ex+1)−ln(e−x+1)−x
=ln(ex+1e−x+1)−x=lnex−x=0，
所以f(x)=f(−x)，
所以f(x)为偶函数，
f(x)=ln(ex+1)−12x=ln(ex+1)−lnex2=ln(ex+1ex2)=ln(ex2+e−x2)，
令t=ex2+e−x2，x>0，
t′=12ex2−12e−x2=12(ex2−e−x2)>0，
所以t=ex2+e−x2在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)=ln(ex2+e−x2)在(0,+∞)上单调递增，
b=f(ln35)=f(−ln35)=f(ln53)，c=f(−23)=f(23)，
令g(x)=x−lnx−1，x>1，
g′(x)=x−1x>0，
所以g(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)>g(1)=0，
所以g(53)=23−ln53>0，
所以23>ln53>0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以c>b，
又e12>1>23>ln53，
所以f(e12)>f(23)>f(ln53)，
所以a>c>b，
故选：D．
由函数奇偶性定义可得f(x)为偶函数，又f(x)=ln(ex2+e−x2)，令t=ex2+e−x2，x>0，求导分析单调性，b=f(ln35)=f(−ln35)=f(ln53)，c=f(−23)=f(23)，令g(x)=x−lnx−1，x>1，求导分析单调性可得c>b，又e12>1>23>ln53，则f(e12)>f(23)>f(ln53)，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题关键是分析函数的单调性，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，因为8×14=2，
所以数据1，2，3，4，5，6，8，9的第25百分位数是2+32=52，故A错误；
对于B，因为对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件，
所以“事件A，B对立”是“事件A，B互斥”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，若随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，
则P(3<ξ<4)=P(X≤4)−0.5=0.2，故C正确；
对于D，若随机变量η，X满足η=3X−2，则D(η)=9D(X)，故D错误．
故选：BC．
根据百分位数的定义判断A，根据互斥事件和对立事件的定义判断B，根据正态分布曲线的对称性判断C，根据方差的性质判断D．
本题主要考查了互斥事件和对立事件的定义，考查了正态分布曲线的对称性，以及百分位数的计算，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：将函数f(x)=sin(ωx+π3)(0<ω<2)的图象向左平移π6个单位长度后，
可得到函数g(x)的图象，则g(x)=sin[ω(x+π6)+π3]=sin(ωx+πω6+π3)，
因为函数g(x)为偶函数，则πω6+π3=π2+kπ(k∈Z)，解得ω=6k+1(k∈Z)，
因为0<ω<2，所以k=0，ω=1，则f(x)=sin(x+π3)，
对于A选项，函数f(x)的最小正周期为T=2π1=2π，A错；
对于B选项，因为f(2π3)=sin(2π3+π3)=sinπ=0，
所以函数f(x)图象的一个对称中心是(2π3,0)，B对；
对于C选项，当−π4≤x≤π6时，π12≤x+π3≤π2，
所以函数f(x)在[−π4,π6]上单调递增，C对；
对于D选项，当π6≤x≤π时，π2≤x+π3≤4π3，
所以函数f(x)在[π6,π]上单调递减，
则f(x)min=f(π)=sin4π3=− 32，D错．
故选：BC．
利用三角函数图象变换求出函数g(x)的解析式，根据正弦型函数的奇偶性求出ω的值，可得出函数f(x)的解析式，利用正弦型函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：如图，对于A，
连接A1B，A1C1，由正方体的结构特征可知，AA1//CC1且AA1=CC1，
得四边形AA1C1C是平行四边形，∴AC//A1C1，
又A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴A1C1//平面ACD1．
同理可得BC1//平面ACD1．
∵BC1⊂平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，A1C1∩BC1=C1，
∴平面A1BC1//平面ACD1，
而A1P⊂平面A1BC1，∴A1P//平面ACD1，故A正确；
对于B，由A知A1P//平面ACD1，得点A1到平面ACD1的距离即等于点P到平面ACD1的距离，
∴VP−ACD1=VA1−ACD1，由正方体的性质可得，CD⊥平面AA1D1，
∴VA1−ACD1=VC−AA1D=13×12×A1A×A1D1×CD=43，故B正确；
对于C，三棱锥A−A1BC1的外接球，即为正方体的外接球，半径为12 22+22+22= 3，
其表面积为4π×( 3)2=12π，故C错误；
对于D，当P与C1重合时，D1P的长度最小为2，而P到平面ACD1的距离为定值，设为h，
由分析B时可知，13×2 2×2 2× 32h=83，得h=2 33，
∴直线D1P与平面ACD1所成角的正弦值的最大值为h2= 33，故D正确．
故选：ABD．
通过证明平面A1BC1//平面ACD1，即可判断A；根据A1P//平面ACD1，结合等体积法求多面体的体积判断B；
求出多面体外接球的表面积判断C；求解线面角正弦值的最大值判断D．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，考查线面角、多面体外接球的表面积与多面体体积的求法，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f(x+1)为偶函数，即f(x)的图象关于直线x=1对称，则有f(x)=f(2−x)，
又由f(x+2)+f(2−x)=0，则有f(x+2)=−f(x)，变形可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
故f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数，A错误；
对于B，f(x+2)+f(2−x)=0，即f(x+2)=−f(2−x)，
两边同时求导可得：f′(x+2)=f′(2−x)，则f′(x)的图象关于直线x=2对称，B正确；
对于C，函数f(x+1)为偶函数，则有f(1−x)=f(1+x)，故有f(f(1−x))=f(f(1+x))，
故f(f(x))的图象关于直线x=1对称，C正确；
对于D，由A的结论，f(x+2)=−f(x)，即f(x+2)+f(x)=0，则有f(1)+f(3)=0，f(2)+f(4)=0，
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，
则有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0，D正确．
故选：BCD．
根据题意，先分析函数的周期可得A错误，将f(x+2)+f(2−x)=0变形为f(x+2)=−f(2−x)，两边同时求导，分析可得B正确，结合函数f(x+1)为偶函数，分析f(f(1−x))与f(f(1+x))的关系，可得C正确；对于D，分析可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，结合f(x)的周期性可得D正确，综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的导数计算，属于中档题．
13.【答案】2 33
【解析】解：双曲线x2a2−y2=1(a>0)的焦距为4，即2c=4，得c=2，
又b=1，∴a= c2−b2= 4−1= 3．
∴双曲线的离心率为e=ca=2 3=2 33．
故答案为：2 33．
由已知可得c与b，结合隐含条件求解a，再由双曲线的离心率公式求解．
本题考查双曲线的简单性质，是基础题．
14.【答案】154
【解析】解：因为二项式( x−12x)n的展开式中只有第4项二项式系数最大，
故二项式( x−12x)n的展开式有7项，则n=6，
故( x−12x)n的通项公式为Tr+1=C6r( x)6−r(−12x)r=(−12)rC6rx3−32r，
r=0，1，2，…，6，令3−32r=0.∴r=2，
故展开式中的常数项为(−12)2C62=154．
故答案为：154．
根据题意可确定n的值，继而求得二项展开式的通项公式，令x的指数等于0，求得r的值，即可求得答案．
本题考查二项式定理，属于基础题．
15.【答案】4 7
【解析】解：圆C的方程可化为(x−3)2+(y+4)2=36，
所以圆C的圆心为C(3,−4)，半径为r=6，
所以圆心C到直线x+y−3=0的距离为d=|3−4−3| 12+12=2 2，
则直线l被圆C截得的弦长为2 r2−d2=2 36−8=4 7，
故答案为：4 7．
化简圆C的方程为标准方程，求出圆C的圆心坐标以及半径的大小，然后求出点C到直线l的距离，最后根据弦长=2 r2−d2求解即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】(1+e,+∞)
【解析】解：因为函数f(x)与g(x)的图像上恰有两对关于y轴对称的点，
所以当x>0时，f(x)=g(−x)有两解，即ax−xlnx=ex+1有两解，
所以a=xlnx+ex+1x(x>0)有两解，
令h(x)=xlnx+ex+1x(x>0)，
由h′(x)=(ex+1)(x−1)x2，
所以当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，
所以h(x)在x=1处取得极小值，且h(1)=1+e，
因此a=xlnx+ex+1x(x>0)有两解时，实数a的取值范围为(1+e,+∞)．
故答案为：(1+e,+∞)．
由题意得f(x)=g(−x)，即ax−xlnx=ex+1有两解，构造h(x)=xlnx+ex+1x(x>0)，求导得单调性，从而得h(x)的值域，即可得a的取值范围．
本题考查了转化思想、导数的综合运用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为 3sinBsinC=sin2B+sin2C−sin2A，
由正弦定理可得b2+c2−a2= 3bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc= 32，
因为A∈(0,π)，所以A=π6．
(2)因为a=2b，由正弦定理可得sinB=12sinA=12sinπ6=14，
因为a=2b>b，则角B为锐角，故csB= 1−sin2B= 1−(14)2= 154，
所以csC=cs[π−(A+B)]=−cs(A+B)
=−cs(π6+B)=sinπ6sinB−csπ6csB
=12×14− 32× 154=1−3 58．
【解析】(1)利用正弦定理结合余弦定理求出csA的值，再结合角A的取值范围可求得角A的值；
(2)利用正弦定理可求出sinB的值，分析可知角B为锐角，求出csB的值，利用诱导公式结合两角和的余弦公式可求得csC的值．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：当n=1时，S1=a1=2a1+2−5，
解得a1=3，
当n≥2时，Sn−1=2an−1+2(n−1)−5．
可得Sn−Sn−1=2an+2n−5−[2an−1+2(n−1)−5]，
整理得an=2an−1−2，
从而an−2=2(an−1−2)(n≥2)，
又a1−2=1，
所以数列{an−2}是首项为1，公比为2的等比数列．
所以an−2=(a1−2)⋅2n−1=2n−1，
故an=2n−1+2，a1=3也适合该式，
综上，数列{an}的通项公式为an=2n−1+2．
(2)由(1)得an+1−2=2n，
所以bn=lg2(an+1−2)=n，
又cn=an−2=2n−1，
∴bncn=n⋅2n−1，
∴Tn=b1c1+b2c2+⋯+bncn
=1×20+2×21+3×22+⋯+n×2n−1，
∴2Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n，
两式相减得−Tn=1+21+22+⋯+2n−1−n×2n=1−2n1−2−n×2n=(1−n)×2n−1，
∴Tn=(n−1)×2n+1．
【解析】(1)求出a1=3，继而写出n≥2时，Sn−1=2an−1+2(n−1)−5，和已知等式相减结合an，Sn的关系可得an=2an−1−2，即可证明结论；根据等比数列的通项公式即可求得数列{an}的通项公式；
(2)由(1)结论可求出{bn⋅cn}的通项公式，利用错位相减法可求得答案．
本题考查数列递推关系的运用，考查错位相减法求和，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】(1)证明：取PA的中点F，连接DF，EF，
因为E为PB的中点，所以EF//AB//CD，即C，D，F，E四点共面，
又△PAD是正三角形，所以PA⊥DF，
因为PA⊥CD，DF∩CD=D，DF、CD⊂平面CDE，
所以PA⊥平面CDE，
又PA⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面CDE．

(2)解：因为AB//CD，∠BAD=90°，所以AD⊥CD，
又PA⊥CD，AD∩PA=A，AD、PA⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，
所以点P到底面ABCD的距离为 32AD，
因为三棱锥P−ACD的体积为2 33，
所以2 33=13⋅ 32AD⋅12AD⋅2，解得AD=2，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(4,0,0)，D(0,2,0)，P(0,1, 3)，E(2,12, 32)，
所以DE=(2,−32, 32)，AD=(0,2,0)，BD=(−4,2,0)，
设平面ADE的法向量为m=(x,y,z)，则DE⋅m=0AD⋅m=0，即2x−32y+ 32z=02y=0，
令z=4，则y=0，x=− 3，所以m=(− 3,0,4)，
同理可得，平面DEB的法向量为n=( 3,2 3,2)，
设面ADE与面DEB的夹角为θ，则csθ=|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=|−3+8| 3+16× 3+12+4=519，
故面ADE与面DEB的夹角的余弦值为519．
【解析】(1)取PA的中点F，连接DF，EF，易知C，D，F，E四点共面，再由PA⊥DF，PA⊥CD，可证PA⊥平面CDE，进而得证；
(2)先证平面ABCD⊥平面PAD，从而知点P到底面ABCD的距离为 32AD，再由棱锥的体积公式求出AD的长，然后以A为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得平面ADE与平面DEB的法向量m与n，设面ADE与面DEB的夹角为θ，由csθ=|cs|，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理，利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)记“任取一个羽毛球是合格品”为事件A，
记“产品取自第一批”为事件B，
记“产品取自第二批”为事件C，
此时Ω=B∪C且B，C互斥，
可得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.6×(1−0.05)+0.4×(1−0.04)=0.954，
则P(B|A)=P(B)P(A|B)P(A)=0.6×(1−0.05)0.954=285477；
(2)若抽取的羽毛球是第二批的个数为X，
可得X的所有取值为0，1，2，3，
此时P(X=0)=0.6×0.6×0.6=0.216，P(X=1)=C31×0.62×0.4=0.432，
P(X=2)=C32×0.6×0.42=0.288，P(X=3)=0.43=0.064，
所以X的分布列为：
则E(X)=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2．
【解析】(1)由题意，记“任取一个羽毛球是合格品”为事件A，记“产品取自第一批”为事件B，记“产品取自第二批”为事件C，根据概率公式进行求解即可；
(2)得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】解：(1)由x2+y2+2x−15=0得(x+1)2+y2=16，
∴圆B的圆心B(−1,0)，半径为4，
∴|EA|+|EB|=4，且|AB|=2<4，
∴点E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
∴2a=4，2c=2，∴b2=a2−c2=3，
∴点E的轨迹方程为：x24+y23=1；
(2)由题意得直线CD的斜率不为0，
设直线CD的方程为：x=my+1，C(x1,y1)，D(x2,y2)，
代入椭圆方程3x2+4y2=12得：(4+3m2)y2+6my−9=0，
∴y1+y2=−6m4+3m2y1y2=−94+3m2，①
又直线MC的方程：y=y1x1+2(x+2)，
直线ND的方程：y=y2x2−2(x−2)，
联立上述两直线方程得：y1x1+2(x+2)=y2x2−2(x−2)，
即x+2x−2=y2x2−2×x1+2y1=(my1+3)y2(my2−1)y1=my1y2+3y2my1y2+y1，
将①中式子代入上式得：x+2x−2=m×−94+3m2+3(−6m4+3m2−y1)m×−94+3m2−y1=3(−9m4+3m2−y1)−9m4+3m2−y1=3，
解得：x=4，
∴直线MC与ND的交点的横坐标是定值4．
【解析】(1)由题可得点E的轨迹为椭圆，再由椭圆定义求其轨迹方程即可；
(2)设直线CD的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再设出直线MC，ND的方程联立结合前面的结论可求出两直线的交点的横坐标即可证明．
本题考查利用定义求椭圆的方程和直线与椭圆的相交问题，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f′(x)=2x+ax−(a+2)=(ax−2)(x−1)x(x>0)，
因为a<0，x>0，
所以ax−2<0，
令f′(x)=0得x=1，
所以在(0,1)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(1,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．
(2)证明：由(1)知f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．
若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，则f(x)max=f(1)=−2−a2>0，
所以a<−4，
又x→0时，f(x)→−∞，且f(e2)=4−2e2+(e42−e2)a<0，
所以函数f(x)有两个不同的零点，且两零点分别位于区间(0,1)，(1,+∞)，
不妨令0F(x)=f(x)−f(2−x)=2lnx+a2x2−(a+2)x−2ln(2−x)−a2(2−x)2+(a+2)(2−x)
=2lnx−2ln(2−x)−4x+4，(0因为F′(x)=4x(2−x)−4=4(x−1)2x(2−x)>0，
所以函数F(x)在(0,1)上单调递增，
所以F(x)又因为x1∈(0,1)，
所以f(x1)又f(x2)=f(x1)，
所以f(x2)因为01，
函数f(x)在(1,+∞)上单调递减，
所以x2>2−x1，即x1+x2>2．
【解析】(1)求导得f′(x)，分析f′(x)的符号，f(x)的单调性．
(2)由(1)知f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞).若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，则f(x)max=f(1)>0，则a<−4，又x→0时，f(x)→−∞，且f(e2)<0，推出函数f(x)有两个不同的零点，且两零点分别位于区间(0,1)，(1,+∞)，不妨令0本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
X
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064