2022-2023学年湖南省郴州市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年湖南省郴州市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足z(1−i)=3+i(其中i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一780人、高二600人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高一被抽取的人数为13人，则n等于( )
A. 660B. 720C. 780D. 800
3.若一个圆锥的轴截面是一个底边长是2，腰长为π的等腰三角形，则它的侧面展开图的圆心角是( )
A. 2πB. π2C. 2D. 4
4.已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列四个说法中正确的是( )
A. 若m//n，n//α，则m//αB. 若m//n，m⊂α，n⊂β，则α//β
C. 若m⊥α，α⊥β，则m//βD. 若m⊥α，m⊥β，则α//β
5.“网红”打卡地高椅岭，位于郴州苏仙区飞天山高椅岭村，丹霞奇景集聚凸显，被称之为“被上帝遗忘的地方”.如图是高椅岭最高峰美丽坦，下面是登云天梯.现测量美丽坦的高度时，选取了与美丽坦底部B在同一平面内的两个测量基点C与D，测得∠BCD=60∘，∠CDB=80∘，CD=45m，在C点测得该美丽坦顶端的A仰角为45∘，则美丽坦的高度约为(参考数据：取sin40∘=0.6)( )
A. 72m
B. 75m
C. 90m
D. 120m
6.已知|a|=3，b=(1,1)，且a,b的夹角是π4，则b在a方向上的投影向量为( )
A. 23aB. 13bC. 13aD. 32b
7.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1∼9的一种方法.例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1∼9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是( )
A. 13B. 512C. 12D. 712
8.如图，在△ABC中，CM=2MB，过点M的直线交射线AB于点P，交AC于点Q，若AP=mAB,AQ=nAC，则m+2n的最小值为( )
A. 3
B. 83
C. 1+2 23
D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z满足iz+2+3i=0，则下列结论正确的是( )
A. z的虚部是2iB. z2=5−12i
C. z的共轭复数是3−2iD. |z|= 13
10.下列说法正确的是( )
A. 从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则p1=p2=p3
B. 若P(AB)=19,P(A−)=23,P(B)=13，则事件A与事件B相互独立
C. 一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D. 设A，B是两个随机事件，且P(A)>0，P(B)>0，则P(A∪B)=P(A)+P(B)
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则( )
A. 若|AB+AC|=|AB−AC|，则△ABC为直角三角形
B. 若a=4,B=π6符合条件的△ABC有一个，则2C. 若sinA>sinB，则a>b
D. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是BB1，C1D1的中点，则下列结论正确的是( )
A. 在平面AA1B1B内存在直线与平面AMN平行
B. 在BC1上存在点Q，使得A1Q与平面BB1C1C所成的角为60∘
C. 若点E是DD1的中点，点P是线段C1E上的动点，则三棱锥A−PMN的体积是定值
D. 过点A，M，N的截面与正方体的面的交线组成的图形是五边形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.数据24，11，12，13，15，14，17，18，20，10的第60百分位数是______.
14.在平行四边形ABCD中，E为BC的靠近B的三等分点，若AB=2，AD=6，且∠BAD=120∘，则AC⋅DE=______.
15.某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，为了获取学生身高信息，采用男、女按比例分配分层抽样的方法抽取样本50人，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的均值为170，方差为20，女生样本的均值为160，方差为30，据此估计该校高一年级学生身高的总体方差为______.
16.已知四棱锥P−ABCD的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD//BC，AB=AD=CD=4，∠ABC=π3,PA=2 2.
(1)四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为______；
(2)若M是线段AB上一点，且AM=14AB.过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a=(1,0),b=(m,1)，且|a−2b|=2.
(Ⅰ)求m及a与b的夹角的余弦值；
(Ⅱ)若a+tb与b垂直，求实数t的值.
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E为PB的中点，F为PD的中点.
(1)证明：EF//底面ABCD；
(2)已知PA=PB=2，二面角P−BC−A的平面角为60∘，求四棱锥P−ABCD的体积.
19.(本小题12分)
在锐角△ABC中，内角所A，B，C对的边分别为a，b，c，若满足csC=2a−c2b.
(1)求角B的大小；
(2)若b=1，求a+c的取值范围.
20.(本小题12分)
为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图：
(1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数；
(2)用分层随机抽样的方法从[60,70),[90,100]两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[60,70]的概率；
(3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军.已知甲在三个项目中获胜的概率分别为12,25,p，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是4750，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=a⋅b− 32,a=(sinx,csx),b=( 3sinx,sinx),x∈R.
(1)如图，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，点D为BC的中点.当x∈[π3,π2]时，b，c分别等于f(x)的最小值、最大值，且f(A)= 32，求AD的长.
(2)当x∈[0,7π12]时，关于x的方程[f(x)]2+(t−1)f(x)−t=0有三个不同的解，求实数t的取值范围.
22.(本小题12分)
如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将△ADE沿DE翻折到△SDE，△BEF沿EF翻折到△SEF.
(1)求证：平面SEF⊥平面SFD；
(2)若BF>1，连接DF，设直线SE与平面DEF所成角为θ，求θ的最大值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：复数z满足z(1−i)=3+i(其中i为虚数单位)，
由条件得z=3+i1−i=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+4i2=1+2i，
所以z在复平面内对应的点为(1,2)，在第一象限．
故选：A.
利用复数的除法运算求得z，求得z对应的坐标，得出答案．
本题考查复数的运算法则、几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意可得：13780=35780+600+n，解得n=720.
故选：B.
根据分层抽样各层抽样比相等，列出等量关系，求解即可．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意，圆锥的底面半径为r=1，母线长为l=π，
设侧面展开图的圆心角为α，则αl=2πr，可得α=2.
故选：C.
根据圆锥的底面圆周长与侧面展开图的扇形弧长相等列式求解．
本题主要考查圆锥的结构特征，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：若m//n，n//α，有可能m⊂α，故A错误；
若m//n，m⊂α，n⊂β，有可能α，β相交，故B错误；
若m⊥α，α⊥β，有可能m⊂β，故C错误；
由直线与平面垂直的性质可得，垂直于同一条直线的两个平面平行，故D正确．
故选：D.
根据线线，线面的位置关系进行判断．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：在△BCD中，由条件∠CBD=40∘，
由正弦定理：CDsin∠CBD=BCsin∠CDB，
∴BC=CDsin∠CDBsin∠CBD=45×sin80∘sin40∘=45×2sin40∘cs40∘sin40∘=90cs40∘=90× 1−sin240∘=90×0.8=72，
在Rt△ABC中，∠ACB=45∘，∴AB=BC=72.
故选：A.
在△BCD中，由正弦定理求得BC，再在Rt△ABC中，即可求出AB.
本题考查解三角形的实际应用，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，b=(1,1)，则|b|= 2，
b在a方向上的投影向量为|b|csa|a|= 2× 22a3=a3.
故选：C.
根据题意，由投影向量的计算公式计算可得答案．
本题考查投影向量的计算，涉及数量积的运算性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：1根算筹只能表示1，2根算筹可表示2和6，3根算筹可表示3和7，4根算筹可表示4和8，5根算筹可表示5和9，
因此5根算筹表示的两位数有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12个，
其中个位数与十位数之和为5的有14，41，23，32，共4个，
所以所求概率为P=412=13.
故选：A.
根据题意把5根算筹所能表示的两位数列举出来后，求出数字和为5的两位数个数作答．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，CM=2MB，
z则AM−AC=2(AB−AM)，解得AM=23AB+13AC，
由题意可知，AB=1mAP,AC=1nAQ，
因此AM=23mAP+13nAQ，
点P，M，Q共线，则23m+13n=1，
所以m+2n=(m+2n)(23m+13n)=43+4n3m+m3n≥43+2 4n3m⋅m3n=83，
当且仅当4n3m=m3n，即m=2n=43时取等号，
所以m+2n的最小值为83.
故选：B.
利用向量的线性运算，结合P，M，Q三点共线，求出m，n的关系，再利用基本不等式求最小值作答．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：由复数z满足iz+2+3i=0，可得(iz+2+3i)⋅(−i)=0，所以z=−3+2i，
对于A中，复数z=−3+2i的虚部为2，所以A不正确；
对于B中，由z2=(−3+2i)2=5−12i，所以B正确；
对于C中，由复数z=−3+2i的共轭复数为复数z=−3−2i，所以C不正确；
对于D中，由|z|=|−3+2i|= 13，所以 D正确．
故选：BD.
根据题意，求得复数z=−3+2i，结合选项，逐项判定，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：对于A，三种抽样方法，总体中每个个体被抽中的概率均为nN，A正确；
对于B，由P(A−)=23，得P(A)=13，因此P(AB)=13×13=P(A)P(B)，事件A与事件B相互独立，B正确；
对于C，“至多一次击中”的事件与“两次均未击中”的事件可以同时发生，它们不互斥，不是对立事件，C错误；
对于D，A，B是两个随机事件，且P(A)>0，P(B)>0，当A，B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，D错误．
故选：AB.
利用三种抽样方法的定义判断A；利用相互独立事件地定义判断B；利用对立事件的意义判断C；利用概率加法公式成立的条件判断D作答．
本题考查抽样定义．相互独立事件、对立事件定义以及概率加法公式，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A：因为|AB+AC|=|AB−AC|，即|AB+AC|2=|AB−AC|2，
则AB2+2AB⋅AC+2AC2=AB2−2AB⋅AC+2AC2，整理得AB⋅AC=0，
所以AB⊥AC，即△ABC为直角三角形，故A正确；
对于B：若a=4,B=π6，则asinB=4×sinπ6=2，
若符合条件的△ABC有一个，则b=2或b>4，故B错误；
对于C：若sinA>sinB，则由正弦定理可得a>b，故C正确；
对于D：若sin2A=sin2B，即sin[(A+B)+(A−B)]=sin[(A+B)−(A−B)]，
展开整理得cs(A+B)sin(A−B)=0，
∵0∴△ABC为直角三角形或等腰三角形，故D错误．
故选：AC.
对于A：根据平面向量的模长以及数量积的运算律分析运算；
对于B：利用正弦定理分析运算；
对于C：利用正弦定理可判断；
对于D：利用两角和差的正弦公式求解．
本题考查利用正余弦定理和三角恒等变换知识解三角形，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，取AA1的点F，连接B1F，
∵AF//B1M，AF=B1M，∴AFB1M为平行四边形，
∵B1F//AM，B1F⊄平面AMN，AM⊂平面AMN，∴B1F//平面AMN，故A正确；
对于B，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点Q在BC1上， 22≤B1Q≤1，
∵A1B1⊥平面BB1C1C，∠A1QB1为A1Q与平面BB1C1C所成的角，
∵tan∠A1QB1=A1B1B1Q=1B1Q，∴1≤tan∠A1QB1≤ 2< 3，
∴45∘≤∠A1QB1<60∘，故B错误；
对于C，连接EF，
则EF//AD//B1C1，EF=AD=B1C1，
则EFB1C1为平行四边形，C1E//B1F，又B1F//AM，
则C1E//AM，C1E⊄平面AMN，AM⊂平面AMN，∴C1E//平面AMN，
点P是线段C1E上，则点P到平面AMN的距离与点E到平面AMN的距离相等且为定值，
则三棱锥A−PMN的体积VA−PMN=VP−AMN=VE−AMN，为定值，故C正确；
对于D，取D1E的中点G，连接AG，GN，
则GN//C1E//AM，则G在平面AMN上，
取BM的中点S，在CC1，B1C1上分别取点T，H，且C1T=14CC1,C1H=14B1C1，
连接BT，SC1，MH，NH，则BT//SC1//MH，
又BT//AG，则AG//MH，则M在平面AMN上，
所以，过点A，M，N的截面与正方体的面的交线组成的图形是五边形AMHNG，故D正确．
故选：ACD.
对于A，取AA1的点F，得AFB1M为平行四边形，从而B1F//AM，即可判断；对于B，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则 22≤B1Q≤1，由A1B1⊥平面BB1C1C知∠A1QB1为A1Q与平面BB1C1C所成的角，求解可判断；对于C，连接EF，则EFB1C1为平行四边形，得C1E//AM，从而C1E//平面AMN，则点P到平面AMN的距离与点E到平面AMN的距离相等且为定值，结合体积转化即可判断；对于D，取D1E的中点G，在B1C1上取点H，且C1H=14B1C1，可证得过点A，M，N的截面与正方体的面的交线组成的图形是五边形AMHNG.
本题主要考查直线与平面所成的角，考查转化能力，属于难题．
13.【答案】16
【解析】解：这10个数从小到大排列为10，11，12，13，14，15，17，18，20，24，
因为10×60%=6，
所以第60百分位数是第6个数和第7个数的平均数，即15+172=16.
故答案为：16.
先对这10个数据排列，然后根据百分位数的定义求解即可．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
14.【答案】−22
【解析】解：建立以B为原点的平面直角坐标系，如图所示：
则B(0,0),C(6,0),E(2,0),A(1, 3),D(7, 3)，
∴AC=(5,− 3),DE=(−5,− 3)，
故AC⋅DE=5×(−5)+(− 3)×(− 3)=−22.
故答案为：−22.
建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标计算，即可得出答案．
本题考查平面向量的数量积和坐标运算，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】48
【解析】解：根据题意，某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，
可得总体的均值为x−=6001000×170+4001000×160=166，
则总体的方差为s2=11000{600×[20+(170−166)2]+400×[30+(160−166)2]}=48.
故答案为：48.
根据题意，由分层抽样的均值和方差的计算公式计算即可．
本题考查总体的方差计算，注意分层抽样的特点，属于基础题．
16.【答案】72π3π
【解析】解：(1)在等腰梯形ABCD中，连接AC，
∵AD//BC，AB=AD=CD=4，∠ABC=π3，
则∠BAD=∠ADC=2π3，∠CAD=π6，
∴∠BAC=π2，
取BC中点O1，连接O1A，O1D，
则O1A=O1B=O1C，
所以△AO1B，△CO1D均为正三角形，
即O1A=O1B=O1C=O1D，
即O1是梯形ABCD外接圆圆心，
而O为四棱锥P−ABCD的外接球球心，
因此O1O⊥平面ABCD，
又PA⊥平面ABCD，
则O1O//PA，
而PA是球O的弦，
则过点O垂直于PA的平面必过PA的中点E，
连接OE，OA，
于是OE⊥PA，
而O1A⊥PA，
即有O1A//OE，
则四边形O1AEO为矩形，O1O=AE=12PA= 2，
因此球O的半径R=OA= O1A2+O1O2=3 2，
即四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为S=4πR2=72π；
(2)在△BMO1中，∠ABO1=π3，BM=3，O1B=4，
则O1M2=BM2+O1B2−2BM⋅O1Bcs∠ABO1=13，
连接O1M，在Rt△O1OM中，OM2=O1M2+O1O2=15，
过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于OM，
而此截面圆半径为r= R2−OM2= 3，
则所得截面圆面积的最小值为S1=πr2=3π.
故答案为：(1)72π；(2)3π.
根据给定的四棱锥，确定外接球球心O的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作答．
本题考查了四棱锥的外接球问题，解决重点考查了点、线、面的位置关系，属中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵a=(1,0),b=(m,1)，
∴a−2b=(1,0)−(2m,2)=(1−2m,−2)，
∴|a−2b|= (1−2m)2+(−2)2=2，
∴m=12，∴b=(12,1)，
∴cs=a⋅b|a||b|=1×12+0×1 (12)2+1=12 52= 55；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a+tb=(1,0)+t(12,1)=(1+t2,t)，
∵a+tb与b垂直，∴(a+tb)⋅b=0，
∴(1+t2)×12+t×1=0，即54t=−12，
∴t=−25.
【解析】(Ⅰ)由平面向量模的坐标运算即可求m，再由平面向量夹角的公式计算即可；
(Ⅱ)由平面向量垂直的性质计算即可．
本题考查平面向量的坐标运算，夹角，模，数量积等知识，属于中档题．
18.【答案】(1)证明：连接BD，在△PBD中，E为PB的中点，F为PD的中点，
则EF//BD，
又BD⊂底面ABCD，EF⊄底面ABCD，
所以EF//底面ABCD；
(2)解：取AB的中点M，连接PM，
因为PA=PB=2，
所以PM⊥AB，
又平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩底面ABCD=AB，PM⊂平面PAB，
所以PM⊥底面ABCD，
所以PM⊥BC，
因为底面ABCD为正方形，
所以BC⊥AB，
又AB∩PM=M，AB，PM⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
∵PB⊂平面PAB，
∴BC⊥PB，
∴∠PBA是二面角P−BC−A的平面角，
∴∠PBA=60∘，
又PA=PB=2，
∴△PBA为正三角形，
∴PM= 3，
所以VP−ABCD=13×2×2× 3=4 33，
即四棱锥P−ABCD的体积为4 33.
【解析】(1)连接BD，可得EF//BD，利用线面平行的判定定理可证得结论；
(2)取AB的中点M，由面面垂直的性质可得PM⊥底面ABCD，进而得BC⊥平面PAB，∠PBA是二面角P−BC−A的平面角，可求得PM，利用棱锥的体积公式求得结果．
本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了空间几何体的体积的求法，属中档题．
19.【答案】解：(1)由余弦定理得csC=2a−c2b=a2+b2−c22ab，
整理得a2+c2−ac=b2，
又csB=a2+c2−b22ac=12，
∵B∈(0,π)，
∴B=π3；
(2)由(1)得B=π3，b=1，
由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=1sinπ3=2 3，
∴a=2 3sinA，c=2 3sinC=2 3sin(2π3−A)=1 3sinA+csA，
故a+c= 3sinA+csA=2sin(A+π6).
∵△ABC是锐角三角形，
∴0则π3又正弦函数y=sinx在(π3,π2)上递增，在(π2,2π3)上递减，
故y=sinx在(π3,2π3)上的值域为( 32,1],
故a+c=2sin(A+π6)∈( 3,2],即a+c的取值范围为( 3,2].
【解析】(1)利用余弦定理边角互化，即可得出答案；
(2)利用正弦定理，将a+c用角来表示，结合正弦函数的性质，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】(1)解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数：
x−=(65×0.01+75×0.015+85×0.045+95×0.03)×10=84.5分．
(2)解：由频率分布直方图，可得[60,70)的频率为0.1，[90,100]的频率为0.3，
所以用分层随机抽样的方法从[60,70),[90,100]两个区间共抽取出4名学生，
可得从[60,70)抽取1人，即为a，从[90,100]中抽取3人，即为1，2，3，
从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有(a,1)，(a,2)，(a,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,a)，(2,a)，(3,a)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，共有12个基本事件；
其中第二个交流分享的学生成绩在区间[60,70]的有：(1,a)，(2,a)，(3,a)，共有3个，
所以概率为P=312=14.
(3)解：甲最终获胜的可能性大．
理由如下：由题意，甲至少得(1分)的概率是4750，
可得1−(1−12)(1−25)(1−p)=4750，其中0≤p≤1，解得p=45，
则甲的(2分)或(3分)的概率为：P=12×25×(1−45)+12×(1−25)×45+(1−12)×25×45+12×25×45=35，
所以乙得分为(2分)或(3分)的概率为25，
因为35>25，所以甲最终获胜的可能性更大．
【解析】(1)根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解；
(2)根据分层抽样的分法，得到从[60,70)抽取1人，即为a，从[90,100]中抽取3人，即为1，2，3，利用列举法求得基本事件的总数和所有事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
(3)根据题意求得p=45，分别求得甲乙得到(2分)和(3分)的概率，即可得到答案．
本题考查频率分布直方图、古典概率、列举法、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：(1)由题意得，f(x)=a⋅b− 32= 3sin2x+sinxcsx− 32
= 32(1−cs2x)+12sin2x− 32=sin(2x−π3)，
当x∈[π3,π2]时，π3≤2x−π3≤2π3，
∴f(x)的值域是[ 32,1]，则b= 32,c=1，
∴f(A)=sin(2A−π3)= 32，
∵0∴−π3<2A−π3<5π3，
∴2A−π3=π3或2π3，
∴A=π3或π2，
∵AD=12(AB+AC)，
∴|AD|2=|12(AB+AC)|2=14(AB2+2AB⋅AC+AC2)=716+ 34csA，
当A=π3时，AD= 7+2 34；
当A=π2时，AD= 74；
(2)由[f(x)]2+(t−1)f(x)−t=0得，[f(x)−1]⋅[f(x)+t]=0，f(x)=1或f(x)=−t，
函数f(x)=sin(2x−π3),x∈[0,7π12]的图象如下：
由图可知，f(x)=1有一解，即x=5π12，
∴f(x)=−t有两解，即函数y=f(x)与y=−t有两个不同的交点，
∴12≤−t<1，
∴t∈(−1,−12].
【解析】(1)利用三角恒等变换化简f(x)，根据三角函数的性质求出b，c，进而由f(A)= 32求得A，利用向量的数量积运算计算|AD|2，即可得出答案；
(2)由题意f(x)=1或f(x)=−t，作出函数f(x)=sin(2x−π3),x∈[0,7π12]的图象，由图可知，f(x)=1有一解，从而f(x)=−t有两解，即函数y=f(x)与y=−t有两个不同的交点，数形结合即可得出结果．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，还考查了三角函数性质的应用，属于中档题．
22.【答案】证明：(1)因为ABCD是正方形，∴SE⊥SD，SE⊥SF，
又SD∩SF=S，SD，SF⊂面SFD，∴SE⊥面SFD，
又SE⊂平面SEF，∴平面SEF⊥平面SFD；
(2)解：设S在面AEF上的射影为O，连接EO，则∠SEO为直线SE与平面DEF所成角θ.
设BF=x(1S△DEF=4×4−12×4×2−12×2×x−12×4×(4−x)=4+x.
在△DSF中，DS=4，SF=x，DF= x2−8x+32.
可得cs∠DSF=DS2+SF2−DF22DS⋅SF=1−2x，
S△DSF=12DS⋅SF⋅sin∠DSF=4 x−1，
∵VS−DEF=VE−DSF，∴4 x−1⋅2=(4+x)⋅SO⇒SO=8 x−1x+4.∴sinθ=SOSE=4 x−1x+4，
又SE=2，∴sinθ=SOSE=4 x−1x+4，
令 x−1=t,t∈(0, 3],sinθ=4t5+t2=4t+5t,
令g(t)=t+5t,t∈(0, 3],
g(t1)−g(t2)=t1+5t1−(t2+5t2)=(t1−t2)+(5t1−5t2)=(t1−t2)t1t2−5t1t2，
当t1,t2∈(0, 3]且t10，则g(t1)−g(t2)>0，
可得g(t)在(0, 3]上单调递减，
∴当t= 3，即x=4时，sinθ最大为 32，∴θ最大值为π3.
【解析】(1)由已知SE⊥SD，SE⊥SF，可得SE⊥面SFD，由面面垂直的判定定理可得证；
(2)设S在面AEF上的射影为O，则∠SEO为直线SE与平面DEF所成角θ.设BF=x(1本题主要考查直线与平面所成的角，属于难题．