高中人教A版 (2019)2.3 直线的交点坐标与距离公式学案

2.3.3 点到直线的距离公式

2.3.4 两条平行线间距离

【学习目标】

【自主学习】

一．点到直线的距离

1.概念：过一点向直线作垂线，则该点与     之间的距离，就是该点到直线的距离．

2.公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝         ．

二．两平行直线间的距离

1.概念：夹在两条平行直线间的       的长度就是两条平行直线间的距离．

2.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝      ．

思考1：在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？

思考2：在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.(　　)

(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.(　　)

(3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为.(　　)

2.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)

A．1　   　B.        C．2       D.

3.两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　　)

A．3       B．2        C．1       D．

【经典例题】

题型一　点到直线的距离

点拨：应用点到直线的距离公式应注意的三个问题

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．

(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．

(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．

例1 求点P(3，－2)到下列直线的距离：

(1)y＝x＋；  (2)y＝6；  (3)x＝4.

【跟踪训练】1 已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)

A.   B．2－ C.－1   D.＋1

题型二　两平行线间的距离

点拨：求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝. 但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．

例2 两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．

【跟踪训练】2 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．

题型三　距离公式的综合应用

例3 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．

【跟踪训练】3求过点(3，5)的所有直线中，距原点最远的直线方程．

【当堂达标】

1.点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)

A.7              B.5　　    　C.3　　      D.2

2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(　　)

A.   B.   C.   D.

3．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为(　　)

A．5   B．2   C．5   D．10

4.(多选)若直线l1与直线l：3x－4y－20＝0平行且距离为3，则直线l1的方程为（    ）

A．3x－4y－5＝0          B．3x－4y－35＝0

C．3x－4y－23＝0         D．3x－4y－17＝0

5.已知两点A(－3，－2)和B(－1，4)到直线x＋ay＋1＝0的距离相等，则实数a为________．

6.已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．

【参考答案】

【自主学习】

垂足    公垂线段     

思考1：要求直线的方程应化为一般式．

思考2：两条平行直线的方程都是一般式，且x, y对应的系数应分别相等．

【小试牛刀】

1.(1)×　(2)√　(3)√

2. D 解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝＝.

3. C 解析：d＝＝1.

【经典例题】

例1 解：(1)把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.

(2)法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0,由点到直线的距离公式得d＝＝8.

法二：因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8.

(3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.

【跟踪训练】1  C 解析：由点到直线的距离公式得：＝＝1，∴|a＋1|＝.

∵a>0， ∴a＝－1.故选C.

例2  解析：由题意，得＝，∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，

由两平行线间距离公式，得＝＝.

【跟踪训练】2 解：∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，

根据两平行直线间的距离公式得＝3，解得b＝45或b＝－33.

所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0，或5x－12y－33＝0.

例3 解　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．

由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，

由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0.

又正方形另两边所在直线与l垂直，

∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.

∵正方形中心到四条边的距离相等，

∴＝，得a＝9或a＝－3，

∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.

∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.

【跟踪训练】3 解：设过点(3，5)的直线方程为y－5＝k(x－3)或x＝3.对于y－5＝k(x－3)，

原点(0，0)到它的距离d＝，化简整理得(9－d2)k2－30k＋25－d2＝0.

当9－d2≠0时，因k∈R，∴Δ＝(－30)2－4(9－d2)(25－d2)≥0.解得0≤d≤(且d≠3)．

对于x＝3，原点到它的距离d＝3.

因此，过点(3，5)的所有直线与原点的距离d∈[0，]．

故dmax＝，当d＝时，＝,解得k＝－.故所求直线方程为：y－5＝－(x－3)，

即3x＋5y－34＝0.

【当堂达标】

1. A 解析：直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.

2. C 解析：l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝＝.

3.C 解析：∵点A关于x轴的对称点为A′(－3，－5)，

∴|A′B|＝＝5，由光的反射理论可知，

此即为光线从A到B的距离．

4.AB 解析：设l1的方程为3x－4y＋m＝0.由题意得＝3，解得m＝－5或m＝－35，

所以l1的方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0．故选：AB.

5. 1或－ 解析：∵两点A(－3，－2)，B(－1，4)到直线l：x＋ay＋1＝0的距离相等，

∴＝，化为|2a＋2|＝|4a|.∴2a＋2＝±4a，解得a＝1或－.

6. 解：当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.

当直线l的斜率存在时，

设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，由d＝＝2，

得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.