人教A版 (2019)2.2 直线的方程学案设计

这是一份人教A版 (2019)2.2 直线的方程学案设计，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【自主学习】
一．直线的一般式方程
1.定义：关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2.适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
3.系数的几何意义：
①当B≠0时，则－eq \f(A,B)＝k(斜率)，－eq \f(C,B)＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－eq \f(C,A)＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
思考：当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？
【小试牛刀】
思辨解析(对的打“√”，错的打“×”).
(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( )
(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点．( )
(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( )
(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( )
(5)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A·B≠0.( )
【经典例题】
题型一 直线的一般式方程与其他形式转化
点拨：对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．
已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－eq \f(4,3)，求直线的点斜式和一般式方程．
【跟踪训练】1 (1)直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________．
(2)直线eq \r(3)x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( )
A.eq \r(3) B．－5 C.eq \f(9,5) D．－3eq \r(3)
题型二 含参数的直线的一般式方程
点拨：含参数的一般式的处理方法
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距；令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
例2 (1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．
(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.
【跟踪训练】2 若直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m的值
为( )
A． eq \f(6,5) B．－6 C．－ eq \f(6,5) D．6
题型三 利用一般式解决直线平行与垂直问题
点拨：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
例3已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
【跟踪训练】3 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
【当堂达标】
1.（多选）关于直线l： eq \r(3) x－y－1＝0，下列说法正确的有( )
A．过点( eq \r(3) ，－2) B．斜率为 eq \r(3)
C．倾斜角为60° D．在y轴上的截距为1
2.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
3.已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为( )
A．－6 B．6 C．－eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)
4.过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
5.直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为45°，则实数a＝________.
6.设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为－1；
(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
【参考答案】
【自主学习】
Ax＋By＋C＝0
思考：(1)若A＝0，则y＝－eq \f(C,B)，表示与y轴垂直的一条直线．
(2)若B＝0，则x＝－eq \f(C,A)，表示与x轴垂直的一条直线．
(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．
【小试牛刀】
(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×
【经典例题】
例1 解：经过点A(6，－4)，斜率等于－eq \f(4,3)的直线的点斜式方程是y＋4＝－eq \f(4,3)(x－6)．
化成一般式，得4x＋3y－12＝0.
【跟踪训练】1 (1)－eq \f(2,3) 解析：设P(m,1)，则Q(2－m，－3)，
∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2,1)，∴k＝eq \f(1＋1,－2－1)＝－eq \f(2,3).
D 解析： 令y＝0，则x＝－3eq \r(3).
例2 解： (1)m≠－3若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋5m＋6＝0，,m2＋3m＝0，))得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线．
(2) －1 －eq \f(1,2)或2 解析：因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，
所以－eq \f(2m2＋m－3,m2－m)＝1，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－m≠0，,2m2＋m－3＝－（m2－m），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠0且m≠1，,m＝－1或m＝1.))所以m＝－1.
因为已知直线在x轴上的截距为1，令y＝0得x＝eq \f(4m－1,2m2＋m－3)，所以eq \f(4m－1,2m2＋m－3)＝1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m2＋m－3≠0，,4m－1＝2m2＋m－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠1且m≠－\f(3,2)，,m＝－\f(1,2)或m＝2.))所以m＝－eq \f(1,2)或m＝2.
【跟踪训练】2 B 解析：依题意知直线过点(3，0)，代入直线方程得3(m＋2)＝2m，解得
m＝－6.
例3 解：(1)将与直线l平行的方程设为3x＋4y＋C1＝0，又过点A(2,2)，
所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，又过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，所以直线方程为4x－3y－2＝0.
【跟踪训练】3 解：l的方程可化为y＝－eq \f(3,4)x＋3，∴l的斜率为－eq \f(3,4).
法一 (1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq \f(3,4).又∵l′过点(－1，3)，由点斜式知方程为y－3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为eq \f(4,3)，又l′过点(－1，3)，由点斜式可得方程为y－3＝eq \f(4,3)(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.
法二 (1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1，3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将(－1，3)代入上式得n＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
【当堂达标】
1.BC解析：对于直线l： eq \r(3) x－y－1＝0，当x＝ eq \r(3) 时，y＝2，故A错误；
当x＝0时，y＝－1，即直线在y轴上的截距为－1，故D错误；
化直线方程为斜截式：y＝ eq \r(3) x－1，可得直线的斜率为 eq \r(3) ，故B正确；
设其倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)，则tan θ＝ eq \r(3) ，θ＝60°，故C正确．
2. D 解析：方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
3.B 解析：由(a－2)×3－a×2＝0得a＝6，且当a＝6时两直线平行，故选B.
4. A 解析：过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为eq \f(1,2)，由点斜式求得直线的方程为y－3＝eq \f(1,2)(x－2)，化简可得x－2y＋4＝0，故选A.
5.－ eq \f(2,3) 解析：依题意可知k＝tan 45°＝1，所以－ eq \f(2a2－7a＋3,a2－9) ＝1，且a2－9≠0.
解得a＝－ eq \f(2,3) 或a＝3(舍去).
6. 解：(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－eq \f(2,k－3)x＋2，由题意得－eq \f(2,k－3)＝－1，解得k＝5.
(2)直线l的方程可化为eq \f(x,k－3)＋eq \f(y,2)＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.课程标准
学科素养
1.掌握直线的一般式方程(重点).
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化(重、难点)．
1、直观想象
2、数学运算
3、数形结合