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    2.2.3 直线的一般式方程(学案)-2022-2023学年高二数学教材(人教A版2019选择性必修第一册)
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    人教A版 (2019)2.2 直线的方程学案设计

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    这是一份人教A版 (2019)2.2 直线的方程学案设计,共8页。学案主要包含了学习目标,自主学习,小试牛刀,经典例题,跟踪训练,当堂达标,参考答案等内容,欢迎下载使用。

    【自主学习】
    一.直线的一般式方程
    1.定义:关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
    2.适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示.
    3.系数的几何意义:
    ①当B≠0时,则-eq \f(A,B)=k(斜率),-eq \f(C,B)=b(y轴上的截距);
    ②当B=0,A≠0时,则-eq \f(C,A)=a(x轴上的截距),此时不存在斜率.
    思考:当A=0或B=0或C=0时,方程Ax+By+C=0分别表示什么样的直线?
    【小试牛刀】
    思辨解析(对的打“√”,错的打“×”).
    (1)二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线.( )
    (2)当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示的直线过原点.( )
    (3)当B=0,A≠0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与y轴平行.( )
    (4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.( )
    (5)若方程Ax+By+C=0表示直线,则A·B≠0.( )
    【经典例题】
    题型一 直线的一般式方程与其他形式转化
    点拨:对于直线方程的一般式,一般做如下约定:一般按含x项、含y项、常数项顺序排列;x项的系数为正;x,y的系数和常数项一般不出现分数;无特殊要求时,求直线方程的结果写成一般式.
    已知直线经过点A(6,-4),斜率为-eq \f(4,3),求直线的点斜式和一般式方程.
    【跟踪训练】1 (1)直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于P、Q两点,线段PQ中点是(1,-1),则l的斜率是________.
    (2)直线eq \r(3)x-5y+9=0在x轴上的截距等于( )
    A.eq \r(3) B.-5 C.eq \f(9,5) D.-3eq \r(3)
    题型二 含参数的直线的一般式方程
    点拨:含参数的一般式的处理方法
    (1)若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为0.
    (2)令x=0可得在y轴上的截距;令y=0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在,可将一般式化为斜截式.
    (3)解分式方程要注意验根.
    例2 (1)若方程(m2+5m+6)x+(m2+3m)y+1=0表示一条直线,则实数m满足________.
    (2)已知方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1表示直线.当m=____________时,直线的倾斜角为45°;当m=____________时,直线在x轴上的截距为1.
    【跟踪训练】2 若直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m在x轴上的截距为3,则实数m的值
    为( )
    A. eq \f(6,5) B.-6 C.- eq \f(6,5) D.6
    题型三 利用一般式解决直线平行与垂直问题
    点拨:已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.
    (1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0.
    (2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
    例3已知A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求:
    (1)过点A和直线l平行的直线方程;
    (2)过点A和直线l垂直的直线方程.
    【跟踪训练】3 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l′的方程:
    (1)过点(-1,3),且与l平行;
    (2)过点(-1,3),且与l垂直.
    【当堂达标】
    1.(多选)关于直线l: eq \r(3) x-y-1=0,下列说法正确的有( )
    A.过点( eq \r(3) ,-2) B.斜率为 eq \r(3)
    C.倾斜角为60° D.在y轴上的截距为1
    2.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件为( )
    A.A≠0 B.B≠0C.A·B≠0 D.A2+B2≠0
    3.已知直线(a-2)x+ay-1=0与直线2x+3y+5=0平行,则a的值为( )
    A.-6 B.6 C.-eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)
    4.过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为( )
    A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0
    5.直线(2a2-7a+3)x+(a2-9)y+3a2=0的倾斜角为45°,则实数a=________.
    6.设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下列条件分别确定k的值:
    (1)直线l的斜率为-1;
    (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
    【参考答案】
    【自主学习】
    Ax+By+C=0
    思考:(1)若A=0,则y=-eq \f(C,B),表示与y轴垂直的一条直线.
    (2)若B=0,则x=-eq \f(C,A),表示与x轴垂直的一条直线.
    (3)若C=0,则Ax+By=0,表示过原点的一条直线.
    【小试牛刀】
    (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×
    【经典例题】
    例1 解:经过点A(6,-4),斜率等于-eq \f(4,3)的直线的点斜式方程是y+4=-eq \f(4,3)(x-6).
    化成一般式,得4x+3y-12=0.
    【跟踪训练】1 (1)-eq \f(2,3) 解析:设P(m,1),则Q(2-m,-3),
    ∴(2-m)+3-7=0,∴m=-2,∴P(-2,1),∴k=eq \f(1+1,-2-1)=-eq \f(2,3).
    D 解析: 令y=0,则x=-3eq \r(3).
    例2 解: (1)m≠-3若方程不能表示直线,则m2+5m+6=0且m2+3m=0.
    解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2+5m+6=0,,m2+3m=0,))得m=-3,所以m≠-3时,方程表示一条直线.
    (2) -1 -eq \f(1,2)或2 解析:因为已知直线的倾斜角为45°,所以此直线的斜率是1,
    所以-eq \f(2m2+m-3,m2-m)=1,所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2-m≠0,,2m2+m-3=-(m2-m),))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠0且m≠1,,m=-1或m=1.))所以m=-1.
    因为已知直线在x轴上的截距为1,令y=0得x=eq \f(4m-1,2m2+m-3),所以eq \f(4m-1,2m2+m-3)=1,
    所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m2+m-3≠0,,4m-1=2m2+m-3,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠1且m≠-\f(3,2),,m=-\f(1,2)或m=2.))所以m=-eq \f(1,2)或m=2.
    【跟踪训练】2 B 解析:依题意知直线过点(3,0),代入直线方程得3(m+2)=2m,解得
    m=-6.
    例3 解:(1)将与直线l平行的方程设为3x+4y+C1=0,又过点A(2,2),
    所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14.所求直线方程为3x+4y-14=0.
    (2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0,又过点A(2,2),所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2,所以直线方程为4x-3y-2=0.
    【跟踪训练】3 解:l的方程可化为y=-eq \f(3,4)x+3,∴l的斜率为-eq \f(3,4).
    法一 (1)∵l′与l平行,∴l′的斜率为-eq \f(3,4).又∵l′过点(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-eq \f(3,4)(x+1),即3x+4y-9=0.
    (2)∵l′与l垂直,∴l′的斜率为eq \f(4,3),又l′过点(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=eq \f(4,3)(x+1),即4x-3y+13=0.
    法二 (1)由l′与l平行,可设l′的方程为3x+4y+m=0.将点(-1,3)代入上式得m=-9.
    ∴所求直线的方程为3x+4y-9=0.
    (2)由l′与l垂直,可设l′的方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.∴所求直线的方程为4x-3y+13=0.
    【当堂达标】
    1.BC解析:对于直线l: eq \r(3) x-y-1=0,当x= eq \r(3) 时,y=2,故A错误;
    当x=0时,y=-1,即直线在y轴上的截距为-1,故D错误;
    化直线方程为斜截式:y= eq \r(3) x-1,可得直线的斜率为 eq \r(3) ,故B正确;
    设其倾斜角为θ(0°≤θ<180°),则tan θ= eq \r(3) ,θ=60°,故C正确.
    2. D 解析:方程Ax+By+C=0表示直线的条件为A,B不能同时为0,即A2+B2≠0.
    3.B 解析:由(a-2)×3-a×2=0得a=6,且当a=6时两直线平行,故选B.
    4. A 解析:过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线的斜率为eq \f(1,2),由点斜式求得直线的方程为y-3=eq \f(1,2)(x-2),化简可得x-2y+4=0,故选A.
    5.- eq \f(2,3) 解析:依题意可知k=tan 45°=1,所以- eq \f(2a2-7a+3,a2-9) =1,且a2-9≠0.
    解得a=- eq \f(2,3) 或a=3(舍去).
    6. 解:(1)因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化为y=-eq \f(2,k-3)x+2,由题意得-eq \f(2,k-3)=-1,解得k=5.
    (2)直线l的方程可化为eq \f(x,k-3)+eq \f(y,2)=1,由题意得k-3+2=0,解得k=1.课程标准
    学科素养
    1.掌握直线的一般式方程(重点).
    2.理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示直线.
    3.会进行直线方程的五种形式之间的转化(重、难点).
    1、直观想象
    2、数学运算
    3、数形结合
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