2021-2022学年江苏省无锡市惠山区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市惠山区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列调查中，适合用全面调查方法的是(    )

A. 了解一批电视机的使用寿命 B. 了解我市居民的年人均收入
C. 了解我市中学生的近视率 D. 了解某校数学教师的年龄状况

2. 下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 明天会下雨
B. 打开电视机，正在播放广告
C. 任意画一个三角形，其内角和为
D. 抛一枚硬币，正面朝上

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 为了检查某口罩厂生产的一批口罩的质量，从中抽取了只进行质量检查，在此问题中数目是(    )

A. 样本 B. 样本容量 C. 总体 D. 个体

5. 已知四边形是平行四边形，下列条件中不能判定这个平行四边形为矩形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如果反比例函数是常数的图象在第一、三象限，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是(    )

A. 条形图 B. 扇形图 C. 折线图 D. 频数分布直方图

8. 如图，在四边形中，，，，，其中，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，菱形的对角线，交于点，，，将沿点到点的方向平移，得到，当点与点重合时，点与点之间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，点在第三象限的双曲线上，过点作轴交双曲线于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11. 函数的图象经过点，则的值为______．
12. 某校九年级班名学生的血型统计如表：

则该班学生型血的有______名．

13. 在一个不透明的口袋里，装有个除颜色外其余都相同的小球，其中个红球，个白球，个黑球．搅匀后一次任意摸出个球，当______时，摸出的红球、白球、黑球至少各有一个为必然事件．
14. 一只不透明的布袋中有三种小球除颜色外没有任何区别，分别是个红球，个黄球和个蓝球，每一次只摸出一只小球，观察后放回搅匀，在连续次摸出的都是蓝球的情况下，第次摸出蓝球的概率是______．
15. 一个正五角星绕着它的中心至少旋转______ 度能与自身重合．
16. 如图，菱形的面积为，正方形的面积为，则菱形的边长为______．

17. 如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别交，于点、若四边形的面积为，则的值为______．

18. 如图，在矩形中，，，点、、、分别在、、、上，且，，点是直线、之间任意一点，连接、、、，则和的面积和等于______．

三、解答题（本大题共9小题，共74.0分）

19. 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，如果，那么四边形是平行四边形吗？为什么？

20. 如图，双曲线．
    点在这个函数的图象上吗？请说明理由；
    点在该函数图象上，连结．
    若将线段沿着轴翻折得到线段，求经过点的双曲线的表达式；
    若将线段绕点逆时针旋转得到线段，求经过点的双曲线的表达式．

21. 如图，在平面直角坐标系中，、、
    以点为旋转中心，画绕点顺时针旋转的，并写出坐标______；
    画关于点对称的，并写出以，，，四点为顶点的四边形的面积______．

22. 某校为了解全校学生下学期参加社区活动的情况，学校随机调查了本校名学生参加社区活动的次数，并将调查所得的数据整理如下：
    参加社区活动次数的频数、频率分布表

根据以上图表信息，解答下列问题：
表中______，______；
请把频数分布直方图补充完整画图后请标注相应的数据；
若该校共有名学生，请估计该校在下学期参加社区活动超过次的学生有多少人？

23. 我们不妨约定，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”根据该约定，完成下列各题．
    在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中画“”，不是“函数”的画“”．
    ______；
    ______；
    ______；
    ______．
    若与是关于的“函数”的一对“点”，求的值．
24. 如图，为矩形对角线的交点，，．
    
    试判断四边形的形状，并说明理由；
    若，，求四边形的面积．
25. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在的延长线上，轴，垂足为，与反比例函数的图象相交于点，连接，．
    求该反比例函数的解析式；
    若点的横坐标为，
    求点的坐标；
    求线段的长；
    求．

26. 在正方形的边延长线上取一点，以为一边向右作正方形，连接，过点作交于点．
    
    如图，试判断四边形的形状，并说明理由；
    如图，连接，探索与之间的关系，并说明理由；
    如图，连接，若，分别为，的中点，连接，，，求的长；
    如图，当时，连接，，，试判断的形状，并说明理由．
27. 如图，在中，，延长到，使得，以、为邻边作平行四边形，连接交于点．
    求证：四边形为菱形；
    如图，点是射线上一动点不与点、、重合，设，连接并延长，延长线交直线于点．
    以、、、四点围成的四边形面积记为，求与的函数关系式；
    当为等腰三角形时，求的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、调查具有破坏性，必须抽查，选项错误；
B、人数较多，合适抽查；
C、人数较多，合适抽查；
D、人数不多，容易调查，适合全面调查，选项正确．
故选：．
要选择调查方式，需将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来具体分析
本题考查的是普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
 

2.【答案】 

【解析】解：、明天会下雨，是随机事件，故A不符合题意；
B、打开电视机，正在播放广告，是随机事件，故B不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和为，是必然事件，故C符合题意；
D、抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据三角形的内角和定理，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可判断．
本题考查了三角形的内角和定理，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：为了检查某口罩厂生产的一批口罩的质量，从中抽取了只进行质量检查，在此问题中数目是样本容量．
故选：．
样本容量则是指样本中个体的数目，根据定义即可判断．
本题考查了样本容量的定义，关键是明确具体问题中的总体、个体、样本、样本容量．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

5.【答案】 

【解析】解：、四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，
选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B符合题意；
C、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
D、，
，
平行四边形是矩形，故选项D不符合题意；
故选：．
由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：反比例函数是常数的图象在第一、三象限，
，
．
故选：．
反比例函数图象在一、三象限，可得．
本题运用了反比例函数图象的性质，关键要知道的决定性作用．
 

7.【答案】 

【解析】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，
故选：．
根据统计图的特点判定即可．
本题考查了统计图的选择，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，分别是，，，的中点，
，，，，
四边形的周长，
故选：．
根据三角形中位线定理分别求出、、、，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
沿点到点的方向平移，得到，点与点重合，
，，，
，
；
故选：．
由菱形的性质得出，，，由平移的性质得出，，，得出，由勾股定理即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设点，
如图所示，过点作轴的垂线交于点，过点过轴的平行线交于点，过点作轴于点，

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
同理≌，
，则点，，
，解得：，
故点，，，
则点，，
，
故选：．
证明≌、≌得到：，而，解得：，即可求解．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，需要两次证明三角形全等，综合性较强，难度较大．
 

11.【答案】 

【解析】解：设函数的解析式为：，
图象经过点，
，
故答案为．
设，直接把点代入求解．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，因为只有一个待定系数，所以只需知道经过的一点即可求得反比例函数的解析式．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
名，
答：该班学生型血的有名；
故答案为：．
根据频数和频率的定义求解即可．
此题考查了频数和频率的知识，属于基础题，掌握频数和频率的概念是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：摸出的红球、白球、黑球至少各有一个为必然事件，
，
故答案为：．
根据必然事件的定义解答即可．
本题考查了随机事件，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：共有个小球，个蓝球，
第次摸出蓝球的概率是：．
故答案为：．
根据概率的意义解答．
本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

15.【答案】 

【解析】解：该图形被平分成五部分，旋转度的整数倍，就可以与自身重合，因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转度能与自身重合．
故答案为：
该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，因而旋转度的整数倍，就可以与自身重合．
本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
 

16.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，
，
菱形的面积为，
，
菱形的边长．
故答案为：．
根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
此题考查正方形和菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意得：、、位于反比例函数图象上，则，，
过点作轴于点，作轴于点，则，
又为矩形对角线的交点，则矩形，
由于函数图象在第一象限，
，则，
．
本题可从反比例函数图象上的点、、入手，分别找出、、▱的面积与的关系，列出等式求出值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接、；
，，，
≌，；
同理可证：≌，；
，，即四边形是平行四边形；
且；
过作、的垂线，交于，于；
则．
故答案为：．
连接、，易证得≌，≌，即可得、，由此可证得四边形是平行四边形，可过作、的垂线，可发现所求的两个三角形的面积和实际等于平行四边形面积的一半，按此思路进行求解即可．
此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及图形面积的求法，能够判断出四边形是平行四边形是解答此题的关键所在．
 

19.【答案】解：四边形是平行四边形．
理由：四边形是平行四边形，
，，
，
，且，
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质可得，，由可得，即可证四边形是平行四边形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练运用平行四边形的判定是本题的关键．
 

20.【答案】解：点在这个函数的图象上，
理由：把代入得，
故点在这个函数的图象上；
设，
点在该函数图象上，
，
将线段沿着轴翻折得到线段，
，
设经过点的双曲线的表达式为，
，
经过点的双曲线的表达式为；
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
过作轴于，过作轴于，
，
≌，
，，
，
设经过点的双曲线的表达式为，
，
经过点的双曲线的表达式为． 

【解析】把代入，的值是否为即可；
设，可得根据和关于轴对称求出点的坐标，即可得到经过点的双曲线的表达式；
过，分别作轴，轴，利用得到两三角形全等，由全等三角形对应边相等及反比例函数的几何意义确定出所求即可．
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法及反比例函数的几何意义是解本题的关键．
 

21.【答案】
    

【解析】解：如图，为所作，点坐标为；
如图，为所作，以，，，四点为顶点的四边形的面积．

故答案为；
利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点即可；
根据关于原点对称的点的坐标写出，，的坐标，再描点即可得到，然后通过计算的面积得到四边形的面积．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

22.【答案】   

【解析】解：由题意可得：人，
，
；
故答案为：，；

如图所示：


由题意可得，该校在上学期参加社区活动超过次的学生有：人，
答：该校在上学期参加社区活动超过次的学生有人．
根据频率频数总人数及频数之和等于总人数求解可得；
根据所求数据可补全图形；
利用样本估计总体思想求解可得．
此题主要考查了频数分布直方图以及利用样本估计总体，正确将条形统计图和表格中数据相联系是解题关键．
 

23.【答案】       

【解析】解：的图象是经过原点的一条直线，
的图象关于原点对称，
函数是“函数”，
故答案为：．
的图象平行于直线，且的图象是经过原点的一条直线，
的图象不关于原点对称，
函数的图象上不存在两点关于原点对称，
函数不是“函数”，
故答案为：．
的图象是双曲线，而双曲线关于原点对称，
函数是“函数”，
故答案为：．
的图象是双曲线，而双曲线关于原点对称，
函数是“函数”，
故答案为：．
与是关于的“函数”的一对“点”，
，，
．
判断函数图象是否关于原点对称即可得到结果；
由“点”的定义得到关于和的方程，求得和的值，然后得到结果．
本题以新定义为背景，考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟知关于原点对称的两点的坐标之间的关系．
 

24.【答案】解：四边形是菱形．
，，
四边形是平行四边形，
又在矩形中，，
四边形是菱形．
连接由菱形得：，
又，
在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，
又，
四边形是平行四边形；

． 

【解析】首先可根据、判定四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得，由此可判定四边形是菱形．
连接，通过证四边形是平行四边形，得；根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形的面积．
本题主要考查矩形的性质，平行四边形、菱形的判定，菱形面积的求法；
菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
定义；
四边相等；
对角线互相垂直平分．
 

25.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数；
答：反比例函数的关系式为：；
过点作，垂足为，连接，
设直线的关系式为，将代入得，，
直线的关系式为，
点的横坐标为，
点，把代入，得：，把代入，得：，
，即，
，即，
，
；
；
． 

【解析】把点代入反比例函数，即可求出函数解析式；
直线的关系式可求，由于点，可以表示点、的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论．
考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．
 

26.【答案】解：四边形是平行四边形，理由如下：
四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形；
，，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
≌，
，，
，
，
，
又，
；
如图，连接，

，，
，，
，
，
点，分别为，的中点，
；
如图，连接，，，

设，
，，
，，，
，
，
是直角三角形． 

【解析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形；
由“”可证≌，可得，，由余角的性质可证；
由勾股定理可求的长，由三角形的中位线定理可求解；
由勾股定理可求，，，由勾股定理的逆定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

27.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形；

解：分三种情况：
Ⅰ点在线段上时，过作交于，则，

四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，四边形是梯形，
在和中，
，
≌，
，






；
Ⅱ点在线段上时，

同Ⅰ可得：四边形的面积为；
Ⅲ点在线段的延长线上时，以、、、四点围成的四边形为梯形，

，，
，
在和中，
，
≌，
，


；
综上，与的函数关系式为；
解：为等腰三角形，分三种情况：
Ⅰ时，如图，点不在射线上，故此种情况不存在；

Ⅱ时，如图，

，，
，
，，
的值为或；
Ⅲ时，如图，过点作于，

，，，
，
，
，
，
即的值为；
综上，的值为或或． 

【解析】证明四边形为平行四边形，根据菱形的判定得出即可；
分三种情况：Ⅰ点在线段上时，首先过作交于，则，证出≌，利用，得出四边形的面积为定值；Ⅱ点在线段上时，同Ⅰ可得四边形的面积为定值；Ⅲ点在线段的延长线上时，根据梯形的面积公式求解即可；
分三种情况：Ⅰ时，Ⅱ时，Ⅲ时，利用等腰三角形的性质即可求解．
此题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定以及梯形面积求法，等腰三角形的性质等知识，分类思想的应用是解题的关键．