2021-2022学年江苏省无锡市东林教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市东林教育集团八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列图形中，是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 要反映嘉兴市一天内气温的变化情况宜采用

A. 条形统计图 B. 扇形统计图
C. 折线统计图 D. 频数分布直方图

3. 某市有名学生参加考试，为了了解考试情况，从中抽取名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，有下列三种说法：
   名学生是总体的一个样本；
   名学生是总体；
   样本容量是．
   其中正确的说法有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

4. 下列各式：，，，，其中是分式的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 如果把分式中的，都扩大倍，则该分式的值

A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 不变 D. 扩大倍

6. 不论取何值，下列分式中一定有意义的是

A.  B.  C.  D.

7. 下列说法中，正确的是

A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的矩形是正方形
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形

8. 如图，已知点、分别是四边形的边、的中点，、分别是对角线、的中点，要使四边形是菱形，则四边形需满足的条件是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在正方形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，其中交直线于点若，则当，时，正方形的边长为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；点与的距离为；；；其中正确的结论是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 分式，，的最简公分母是______．
12. 若分式的值为，则的值为______．
13. 已知，______．
14. 已知▱中，，则______度．
15. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，交于点，连接若的周长为，则平行四边形的周长为______．
     

16. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为______．
    
     

17. 如图，在以为斜边的两个直角和中，，，，则______．
    
     

18. 如图，，是正方形的边上两个动点，满足连接交于点，连接交于点若正方形的边长为，则线段长度的最小值是______．
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

19. 计算：
    
    
    先化简，再求值：，其中，；
20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，每个方格的边长均为个单位长度．
    请画出关于原点对称的图形，并写出，，三点的坐标．
    将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的．
    利用格点图，画出边上的高，并求出的长，______．

21. 如图，、分别为的边、的中点，延长至点，使得，连接、、．
    求证：四边形是平行四边形．
     

22. 国家实施“双减”政策后，为了解学生学业负担的减轻情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，调查设置“显著”，“一般”，“略有”，“未有”四个减轻程度的等级．根据收集到的数据绘制不完整的条形统计图和扇形统计图．
    
    本次共调查了______名学生；
    补全条形统计图；
    若该校共有名学生，请根据抽样调查结果，估算该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的总人数．
23. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接、．
    求证：四边形为矩形；
    若菱形的边长为，，则______．

24. 一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为阶奇异矩形．如图，矩形中，若，，则称矩形为阶奇异矩形．
    
    判断与操作：如图，矩形长为，宽为，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．
    探究与计算：已知矩形的一边长为，另一边长为，且它是阶奇异矩形，请画出矩形及裁剪线的示意图，并在图的下方写出的值．
    归纳与拓展：已知矩形两邻边的长分别为，，且它是阶奇异矩形，则： ______ 写出所有值．
25. 对于长方形，，，为平面直角坐标系的原点，，，点在第三象限．
    直接写出点的坐标______，______；
    如图，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线移动，
    当点移动了秒时，直写出此时点的坐标______，______；
    当点到轴距离为个单位长度时，求出点移动的时间．
    如图，若过点的直线与长方形的边交于点，且将长方形的面积分为：两部分，求点的坐标；
    如图，为轴负半轴上一点，且，点是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点，在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、不是中心对称图形，不合题意；
故选：．
直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了统计图的选择有关知识，根据统计图的特点进行分析可得：折线统计图表示的是事物的变化情况，可得答案．
【解答】
解：要反映嘉兴市一天内气温的变化情况宜采用折线统计图，
故选 C ．   

3.【答案】

【解析】解：抽取的名学生的成绩是一个样本，故错误；
名学生的考试成绩是总体，故错误；
因为从中抽取名学生的成绩，所以样本容量是，故正确．
故选：．
根据总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量分别进行分析即可．
此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，关键是掌握各个量的定义．
 

4.【答案】

【解析】解：，，，， 其中是分式的有：，共个．
故选：．
直接利用分式的定义分析得出答案．
此题主要考查了分式的定义，正确把握定义是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，
，都扩大倍，该分式的值不变．
故选：．
把、分别换成、然后约分化简整理即可得解．
本题考查了分式的基本性质，把、分别换成、进行约分即可，比较简单．
 

6.【答案】

【解析】解：、当时，该分式无意义，故本选项错误；
B、当即时，该分式无意义，故本选项错误；
C、当即时，该分式无意义，故本选项错误；
D、在实属范围内，无论取何值，，该分式总有意义，故本选项正确．
故选：．
分式有意义，分母不等于零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

7.【答案】

【解析】解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B.对角线相等的四边形不一定是矩形，，故原命题错误，不符合题意；
C.有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故原命题正确，符合题意；
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
故选：．
利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．
 

8.【答案】

【解析】解：点、分别是四边形的边、的中点，、分别是对角线、的中点，
，，
当时，四边形是菱形，
当时，四边形是菱形．
故选：．
由点、分别是四边形的边、的中点，、分别是对角线、的中点，根据三角形中位线的性质，可得，，又由当时，四边形是菱形，即可求得答案．
此题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：如图所示，连接、、，
点关于直线的对称点为，
，，
，，
，
在正方形中，，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
正方形的边长．
故选：．
根据对称的性质可知，，，推出，推出，求出即可解决问题．
本题考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是发现是直角三角形，属于中考常考题型．
 

10.【答案】

【解析】解：由题意可知，，，
又，，
≌，又，
可以由绕点逆时针旋转得到，
故结论正确；
如图，连接，
，且，
是等边三角形，
．
故结论正确；
≌，．
在中，三边长为，，，这是一组勾股数，
是直角三角形，，
，
故结论正确；
，
故结论错误；
如图所示，将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点．
易知是边长为的等边三角形，是边长为、、的直角三角形，
则，
故结论正确．
综上所述，正确的结论为：．
故选：．
证明≌，又，所以可以由绕点逆时针旋转得到，故结论正确；
由是等边三角形，可知结论正确；
在中，三边长为，，，这是一组勾股数，故是直角三角形；进而求得，故结论正确；
，故结论错误；
如图，将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将转化为，计算可得结论正确．
本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数、、所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论时，将向不同方向旋转，体现了结论结论解题思路的拓展应用．
 

11.【答案】

【解析】解：由、、可知：
最简公分母为：
故答案为：
根据最简公分母的求法即可求出答案．
本题考查最简公分母的定义，解题的关键是熟练运用最简公分母的求法，本题属于基础题型．
 

12.【答案】

【解析】解：由分式的值为零的条件得，，
由，得，或，
由，得，，综上，得，即的值为．
根据分式的值为零的条件可以求出的值．
若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 

13.【答案】

【解析】解：，
，
，
原式

．
故答案为：．
根据条件变形得到，整体代入到代数式求值即可．
本题考查了分式的加减法，分式的值，考查了整体思想，将整体代入到代数式求值是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
首先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再由条件可计算出的度数，然后再计算出的度数，进而可得的度数．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行，两组对角分别相等．
 

15.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长为，
，
，
平行四边形的周长是，
故答案为：．
由平行四边形性质可得，，又由，可得，继而可求得的周长为，根据三角形的周长求得平行四边形的周长即可．

此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
 

16.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
菱形的面积，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：如图所示，取的中点，连接，，

，
，
又，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，，
即，，
，
中，，
故答案为：．
取的中点，连接，，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到是等边三角形，进而得出，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，即可得到的度数．
本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是利用三角形外角性质得到，．
 

18.【答案】

【解析】解：在正方形中，，，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
如图，取的中点，连接、，

则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当、、三点共线时，的长度最小，
最小值．
故答案为：．
根据正方形的性质可得，，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而得到，然后求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：


；




；


，
当，时，原式．

【解析】根据同分母分式的减法计算即可；
先通分，然后根据分式的减法计算即可；
先化简，然后将、的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．
 

20.【答案】

【解析】解：如图，即为所求，，，；
如图，即为所求；
，
，
．
故答案为：．

利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用面积法求三角形的高．
本题考查作图旋转变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会用面积法求高．
 

21.【答案】证明：、分别为的边、的中点，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．

【解析】由已知可得：是的中位线，则可得，，又由，易得，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形．
此题考查了平行四边形的判定有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及三角形中位线的性质三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半解题的关键是仔细分析图形，注意数形结合思想的应用．
 

22.【答案】

【解析】解：总人数名，
故答案为：；
一般的人数名，
条形图如图所示：

名．
根据“未有”的人数和百分比求出总人数即可；
求出一般的人数，画出条形图即可；
利用总人数“显著”和“一般”减轻的百分比可得结论．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】

【解析】证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
由得：四边形为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
先证是等边三角形，得，再由勾股定理得，则，然后由矩形的性质得，，最后由勾股定理即可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形性质，证明四边形为矩形是解题的关键．
 

24.【答案】，，，，，，，

【解析】解：矩形是阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：


裁剪线的示意图如下：


：的值为，，，，，，，．
规律如下：第次操作前短边与长边之比为：；
第次操作前短边与长边之比为：；
第次操作前短边与长边之比为：；
第次操作前短边与长边之比为：，，，，，，，．
根据已知操作步骤画出即可；
根据已知得出符合条件的有种情况，画出图形即可；
根据题意得出第次操作前短边与长边之值为，，，，，，，，最终得出长边和短边的比是：，即可进行操作后得出正方形．
此题主要考查了新定义的操作探究性，动手实践．操作画图，寻找规律，主要考查学生的变换能力和了解能力，注意：要进行分类讨论．
 

25.【答案】     

【解析】解：在长方形中，，，，，
，
点在第三象限，
，
故答案为：；
点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线移动，
当点移动了秒时，运动了个单位，此时在上，
，
，
；
故答案为：；
点到轴距离为个单位长度，
点在或上，
当在上时，，此时秒，
当在上时，此时运动了个单位，秒，
当点在上时，设，
：：，
，
即，
解得，
；
当点在上时，设，
：：，
，
即，
解得，
，
综上所述，点坐标为或；
的值不会变化，理由如下：
延长至点，如图，

四边形为长方形，
，
，，
，
，
过点作交于点，
，，
又平分，
，
，
，
．
根据长方形的性质即可得出点的坐标；
根据点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线移动，确定长度和运动时间；
分类讨论：当点在上时，设，根据题意得，则；当点在上时，设，根据题意得，则，然后分别解方程即可得到点坐标；
延长至点，如图，由得，，利用得到，过点作交于点，根据平行线得性质得，，加上，于是可得，，所以，即有．
本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了平行线的性质和三角形面积公式．