2021-2022学年江苏省无锡市江阴市澄西片八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市江阴市澄西片八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在，，，，中，其中是分式的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 若分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 将中的、都扩大倍，则分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 扩大倍 C. 扩大倍 D. 不变

5. 下列调查中，适合用抽样调查的是(    )

A. 了解报考军事院校考生的视力
B. 旅客上飞机前的安检
C. 在新冠肺炎防控期间，了解全体师生入校时的体温情况
D. 了解全市中小学生每天的零花钱

6. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(    )

A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分

7. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

8. 已知四边形的对角线、互相垂直，且，，那么顺次连接四边形各边中点所得到的四边形面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图有两张等宽的矩形纸片，矩形不动，将矩形按如下方式缠绕：如图所示，先将点与点重合，再先后沿、对折，点、点所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后点刚好与点重合，则图中，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，、、规定“把▱先沿轴翻折，再向左平移个单位”为一次变换．如此这样，连续经过次变换后，▱的顶点的坐标变为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 的最简公分母是______ ．
12. 已知平行四边形中，，则______度．
13. 在不透明袋子里装有颜色不同的个球，这些球除颜色外完全相同．每次从袋子里摸出个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，估计袋中白球有______个．
14. 关于的方程有增根，则的值是______．
15. 菱形的面积是，一条对角线的长为，则菱形的另一条对角线的长为______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴和轴上，并且，若把矩形绕着点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的坐标为______．

17. 如图，将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，，，则边的长度等于______．

18. 如图，将正方形置于平面直角坐标系中，其中，，边在轴上，直线：与正方形的边有两个交点、，当时，的取值范围是______．

三、计算题（本大题共3小题，共19分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 解分式方程：．
21. 先化简，再求值：，再从中选一个合适的整数作为的值，代入求值．

四、解答题（本大题共6小题，共47分）

22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，的三个顶点，，．
    将以点为旋转中心旋转，得到，请画出的图形．
    平移，使点的对应点坐标为，请画出平移后对应的的图形．
    若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标______．

23. 学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查把学习态度分为三个层级，级：对学习很感兴趣；级：对学习较感兴趣；级：对学习不感兴趣，并将调查结果绘制成图和图的统计图不完整请根据图中提供的信息，解答下列问题：
    此次抽样调查中，共调查了______名学生；
    将图补充完整；
    求出图中级所占的圆心角的度数；
    根据抽样调查结果，请你估计我市近名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标达标包括级和级？
     

24. 如图，在▱中，、分别在、的延长线上，且．
    求证：
    ≌；
    四边形是平行四边形．

25. 新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进、两种消毒液，购买种消毒液花费了元，购买种消毒液花费了元，且购买种消毒液数量是购买种消毒液数量的倍，已知购买一桶种消毒液比购买一桶种消毒液多花元．
    求购买一桶种、一桶种消毒液各需多少元？
    为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资，其中、两种消毒液准备购买共桶且购买种消毒液数量不多于购买种消毒液数量，恰逢商场对两种消毒液的售价进行调整，种消毒液售价比第一次购买时提高了，种消毒液按第一次购买时售价的折出售，那么学校此次如何购买消毒液才能使学校此次购买、两种消毒液的总费用最少？最少费用是多少？
26. 如图矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于、两点，点是线段上的一个动点．
    则的长为______；
    连接，若的面积为，求点的坐标；
    在的条件下，设点是轴上一动点，点是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．
     

27. 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
    
    【提出问题】
    如图，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”；
    【类比探究】
    如图，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是，，的中点，连接，，试判定的形状，并证明；
    【综合运用】
    如图，四边形是“等垂四边形”，，，则边长的最小值为______ ．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，中的分母中含有字母，属于分式．
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题考查的是分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
 

3.【答案】 

【解析】解：当分母，即时，分式有意义．
故选：．
分式有意义，分母不等于零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

4.【答案】 

【解析】解：、都扩大倍，
，
分式的值不变．
故选：．
依据分式的性质进行计算即可．
本题主要考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：了解报考军事院校考生的视力，宜采用全面调查，故A不符合题意；
B.旅客上飞机前的安检，宜采用全面调查，故B不符合题意；
C.在新冠肺炎防控期间，了解全体师生入校时的体温情况，宜采用全面调查，故C不符合题意；
D.了解全市中小学生每天的零花钱，宜采用抽样调查，故D符合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

6.【答案】 

【解析】解：菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选：．
由菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；即可求得答案．
此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
由题意得：且，
解得：且，
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为求出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，四边形的对角线、互相垂直，
K、、、分别为四边形各边的中点，
四边形为矩形，
，且，
，
，
同理，
则四边形的面积为．
故选：．
根据四边形的对角线、互相垂直，、、、分别为四边形各边的中点，求证四边形为矩形和的长，然后即可求出四边形的面积．
此题主要考查中点四边形和三角形的面积，注意三角形中位线定理这一知识点的灵活运用，此题难易程度适中，是一道典型的题目．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，

矩形纸片等宽，
，
，
，
，
≌，
，
由折叠性质可得：
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
设，，
，，
中，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
通过证明≌，结合折叠性质确定为等边三角形，再证明≌，可得，设，，可得，，在中，，可得，即可得到，，由可得，可求出，即可求解．
本题考查折叠的性质，解题的关键是理解题中的折叠过程，找到对应边的关系，确定为等边三角形．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，、、，
，
把▱先沿轴翻折，再向左平移个单位后，
，
观察，发现规律：，，，，，
，
对于横坐标，每次变换减一，
对于纵坐标，奇数次变换为，偶数次变换为，
经过次变换后，．
故选：．
先利用平行四边形的性质求出点的坐标，再将前几次变换后点的坐标求出来，观察规律即可求解．
本题考查翻折变换，点的坐标规律性，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是先求出的坐标，再利用变换的规律求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：的分母分别是、、，故最简公分母是．
故答案为．
确定最简公分母的方法是：
取各分母系数的最小公倍数；
凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母或含字母的整式为底数的幂的因式都要取最高次幂．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
解得：，

故答案为：．
由平行四边形的性质得出，再由已知条件，即可得出的度数，进而可求出的度数．
本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设袋中白球有个，根据题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
故袋中白球有个．
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：原方程有增根，
最简公分母，
解得，
方程两边都乘，
得：，
当时，，
解得，
故答案为：．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

15.【答案】 

【解析】解：菱形的面积计算公式、为对角线的长度，
已知，，
则，
故答案为．
根据菱形的面积计算公式、为对角线的长度，已知一条对角线的长度和菱形的面积即可计算另一条对角线的长度．
本题考查了菱形的面积计算公式，考查了菱形对角线互相垂直的性质，本题中正确利用面积计算公式求另一条对角线长是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质得：，
四边形是矩形，
，
，
的坐标为．
故答案为：．
由旋转的性质得，由勾股定理求出，即可得出的坐标为．
此题考查了矩形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图所示，

将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，
，，，，，
，
，
，
同理，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
由翻折的规律证明四边形是矩形及，再由矩形的性质结合已知条件求出的长度，即可求出的长度．
本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，掌握翻折变换的规律，矩形的判定与性质，勾股定理，等积法是解决问题的关键．
 

18.【答案】或 

【解析】解：当时，
当时，
，
，
根据勾股定理，得，

将点坐标代入，
得，
，，
，
正方形的边长为，
，
当与重合时，，
当时，的取值范围是，
当时，
，
，
当时，的取值范围是，
综上，的取值范围是：或，
故答案为：或．
当时，分别求出和点与点重合时的边界；当时，求出点与点重合时的情况，即可确定的取值范围．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】根据同分母分式减法运算法则进行计算；
根据分式除法运算法则进行计算．
本题考查分式的混合运算，掌握分式加减法和分式乘除法运算法则以及完全平方公式是解题关键．
 

20.【答案】解：原方程变形得，
解得，
经检验是原方程的根．
原方程的解为．
两边同时乘以，得，，
解得．
经检验是原方程的增根．
原分式方程无解． 

【解析】本题考查解分式方程的能力，观察方程可得最简公分母是：，可得最简公分母是：，两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
 

21.【答案】解：原式

，
，，
且，
又，且为整数，
可以取，
当时，原式，． 

【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再结合分式有意义的条件选取合适的的值，代入求值．
本题考查分式的化简求值，理解分式有意义的条件，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；
旋转中心的坐标．
故答案为：．
根据旋转的性质即可将以点为旋转中心旋转，得到；
根据平移的性质即可画出平移后对应的的图形；
根据旋转的性质即可得旋转中心的坐标．
本题考查了作图旋转变换，作图平移变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

23.【答案】；
级人数为人，
条形统计图如下：

级所占圆心角度数：；
达标人数约有人． 

【解析】

解：此次抽样调查中，共调查了名学生，
故答案为：；
见答案；
见答案；
见答案．
【分析】
根据级人数除以级所占的百分比，可得抽测的总人数；
根据抽测总人数减去级、级人数，可得级人数，根据级人数，可得答案；
根据圆周角乘以级所占的百分比，可得答案；
根据学校总人数乘以级与级所占百分比的和，可得答案．
本题考查了条形统计图，观察统计图获得有效信息是解题关键．  

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌；
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由证明≌即可；
由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：设购买一桶种消毒液需元，则购买一桶种消毒液需元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一桶种消毒液需元，购买一桶种消毒液需元．
设学校此次购买桶种消毒液，桶种消毒液，费用为元，
依题意，得：，
，
，
，
最的增大而减小，
当时，的值最小元，
此时，
答：学校此次购买桶种消毒液，桶种消毒液才能使学校此次购买、两种消毒液的总费用最少，最少费用是元． 

【解析】设购买一桶种消毒液需元，则购买一桶种消毒液需元，根据数量总价单价结合用元购买种消毒液的数量是用元购买种消毒液数量的倍，列出分式方程，解方程即可；
设学校此次购买了桶种消毒液，则购买了桶种消毒液，费用为元，依题意得：，再由题意：购买种消毒液数量不多于购买种消毒液数量，得，解得，然后由一次函数的性质求解即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
轴，
，，
点的横坐标为，
一次函数的图象过点，
当时，，
，
，
故答案为：；
一次函数的图象交轴于点，
当时，，
，
，
的面积为，
，
，
当时，，
；
，
，
如图，当为菱形的边长时，轴，，
或；


如图，当是菱形的对角线时，轴于点，，
；

如图，当是菱形对角线时，轴，，
设，
，
，
解得：，
；


综上所述，点的坐标为：或或或．
把点的横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标得到的长度，进而得到的长度；
根据的面积为列方程求解即可；
画出菱形，找到点的位置，根据菱形的性质分情况分别计算即可．
本题考查一次函数综合题，考查分类讨论的思想，画出菱形，找到点的位置，根据菱形的性质分情况分别计算是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：如图，延长，交于点，

四边形与四边形都为正方形，
，，．
．
≌．
，．
，
，
即，
．
．
又，
四边形是“等垂四边形”．
是等腰直角三角形．
理由如下：如图，延长，交于点，

四边形是“等垂四边形”，，
，，

点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，．
．
是等腰直角三角形．
延长，交于点，分别取，的中点，连接，，，

则，
由可知．
最小值为，
故答案为：．
延长，交于点，先证≌，得，结合，知，即可得从而得证；
延长，交于点，由四边形是“等垂四边形”，知，，从而得，根据三个中点知，，，，，据此得，，由可得答案；
延长，交于点，分别取，的中点，连接，，，由及可得答案．
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点．