河南省信阳市息县2021-2022学年上学期八年级期末数学试卷（含答案）

2021-2022学年河南省八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. “低碳环保”入人心，共享单车已成出行新方式，下列图标中，是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

2. 若一粒米的质量约是，将数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 若分式有意义，则的取值范围是

A.  B.  C. 且 D. 一切实数

4. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于

A.
B.
C.
D.

5. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，测河两岸，两点的距离时，先在的垂线上取，两点，使，再过点画出的垂线，当点，，在同一直线上时，可证明≌，从而得到，测得的长就是，的距离，判定≌的依据是

A.  B.  C.  D.

7. 有一段全长为米的公路，路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的功效比原计划增加，结果提前天完成这一任务，设原计划每天整改米，则下列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使≌，不能添加的一组条件是

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
 

9. 如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形如图，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于，的恒等式为

A.  B.
C.  D.

10. 如图，点，，分别在的边，，上不与顶点重合，设，若≌，则，满足的关系是

A. B. C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 计算：______．
12. 一个多边形的内角和是它的外角和的倍，这个多边形是______边形．
13. 在平面直角坐标系中，已知，，，若≌，则点的坐标为______．
14. 已知，，则______．
15. 如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算或因式分解：
    计算：；因式分解：．
    
    
     
17. 已知：如图，点、、、在一条直线上，交于点，，．
    求证：≌；
    若，，求的度数．
    
    
    
     
18. 先化简，再求值：，从，，中选一个值，代入求值．
    
    
     
19. 如图，平面直角坐标系中，，．
    作出关于轴对称的图形，并写出各顶点的坐标；
    求的面积．

20. 已知的两边长和满足．
    若第三边长为，求的取值范围．
    若是等腰三角形，求的周长．
    
    
    
    
     
21. 探究：我们小学时学过乘法分配律．
    下面我们用等积法证明乘法分配律：
    如图，方法一：长方形的一边长为，另一边长为，所以长方形的面积为；
    方法二，长方形的面积为，长方形的面积为，所以长方形的面积为，所以．
    我们把这种用两种不同的方式表示同一图形面积的方法称为等积法．
    应用
    请你用等积法，画出图形，并仿照上面的说理方法证明：；
    拓展请直接写出______．

22. 要在规定天数内修筑一段公路，若让甲队单独修筑，则正好在规定天数内按期完成；若让乙队单独修筑，则要比规定天数多天才完成．现在由乙队单独修筑其中一小段，用去了规定时间的一半，然后甲队接着单独修筑天，这段公路还有一半未修筑．若让两队共同再修筑天，能否完成任务？
    
    
    
     

23. 如图，，，，、相交于点，连接．
    求证：；
    用含的式子表示的度数直接写出结果；
    当时，取，的中点分别为点、，连接，，，如图，判断的形状，并加以证明．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
 

2.【答案】
 

【解析】解：；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．
本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】
解：若分式有意义，则，即，
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：，
，
故选：．
利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可．
本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】
解：、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，，
，
，，
根据“”可判断≌．
故选：．
先根据垂直的定义得到，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设原计划每天铺设米管道，则实际施工每天铺设米管道，
根据题意列得：．
故选：．
设原计划每天铺设米管道，根据实际施工时，每天的工效比原计划增加，表示出现在每天铺设的米数，根据现在比原计划提前天即可列出所求的方程．
此题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找出题中的等量关系是解本题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：、已知，再加上条件，，可利用证明≌，故此选项不符合题意；
B、已知，再加上条件，，不能证明≌，故此选项符合题意；
C、已知，再加上条件，，可利用证明≌，故此选项不符合题意；
D、已知，再加上条，可利用证明≌，故此选项不合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可得到答案．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

9.【答案】
 

【解析】解：第一个图形的阴影部分的面积，
第二个图形面积，
则．
故选：．
分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
故选：．
由，得，根据≌，即有，，故，从而，即可答案．
本题考查全等三角形的性质及应用，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
 

11.【答案】
 

【解析】解：原式，
故答案为：．
根据负整数指数幂以及零指数幂的意义即可求出答案．
本题考查负整数指数幂以及零指数幂，解题的关键是正确理解负整数指数幂以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
 

12.【答案】十
 

【解析】解：设这个多边形有条边．
由题意得：，
解得．
则这个多边形是十边形．
故答案为：十．
一个多边形的内角和是它的外角和的倍，而外角和是，则内角和是边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数．
本题考查了多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
 

13.【答案】或
 

【解析】解：如图所示，有个三角形和全等，

，，，
的坐标是，的坐标是，
故答案为：或．
先根据题意画出符合的三角形，再根据全等三角形的性质和点、点、点的坐标得出点的坐标即可．
本题考查了等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质等知识，熟记全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：把两边平方得：
，
整理得：，
将代入得：，
则．
故答案为：．
把两边平方，利用完全平方公式化简，将代入计算即可求出所求．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是轴对称最短路线问题，作出辅助线，根据角平分线的性质求解是解答此题的关键．
过点作于点，交于点，过点作于，则即的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．
【解答】
解：过点作于点，交于点，过点作于，

平分，于点，于，
，
的最小值．
三角形的面积为，，
，
．
即的最小值为，
故答案为．  

16.【答案】解：原式

；
原式

．
 

【解析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了分式的乘除法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则及分解因式的方法是解本题的关键．
 

17.【答案】证明：，
，
，
，
即，
在与中，
，
≌；
解：≌，
，，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】首先利用平行线的性质得出，根据即可得出，进而得出≌解答即可；
根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．根据已知得出≌是解题关键．
 

18.【答案】解：

，
，，
，，
取，
当时，原式．
 

【解析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，

，即为所求作的图形，
，，．
的面积为：
．
 

【解析】根据轴对称性质作出关于轴对称的图形，并写出各顶点的坐标即可；
根据点的坐标即可求的面积．
本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确画图．
 

20.【答案】解：，
，，
解得，，
，
即；
当腰长为时，
此时三角形的三边为、、，满足三角形三边关系，周长为；
当腰长为时，
此时三角形的三边长为、、，，不满足三角形三边关系．
综上可知，的周长为．
 

【解析】利用非负数的性质可求得、的值，根据三角形三边关系可求得的范围；
分腰长为或两种情况进行计算；
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键．
 

21.【答案】
 

【解析】解：如图，画出一边长为，另一边长为的长方形，

则长方形的面积为：；
长方形的面积为，长方形的面积为，长方形的面积为，长方形的面积为，
长方形的面积为：．
．
画出一个一边长为，另一边长为的长方形，如图，

利用等积法可得：．
故答案为：．
利用中的方法，画出图形，利用等积法证明即可；
画出图形，利用等积法解答即可．
本题主要考查了整式的乘法，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的方法解答问题是解题的关键．
 

22.【答案】解：设甲队天完成任务，则乙队天完成任务，
由题意得：，
解得：，
检验得：是原方程的根，
则，
答：若让两队再共同修筑天，不能完成任务．
 

【解析】设甲队天完成任务，则乙队天完成任务，由题意：利用乙队单独修筑其中的一小段，用去了规定时间的一半，然后由甲队单独修筑天，这段公路还有一半没有修筑，列出分式方程，解方程，进而得出答案．
此题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，，
，
在和中，
，
≌，
；
如图，≌，
，
中，，
，
中，
；
为等腰直角三角形．
证明：如图，由可得，，
，的中点分别为点、，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，且，
又，
，
，
为等腰直角三角形．
 

【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
由，，，利用即可判定≌；
根据≌，得出，再根据三角形内角和即可得到；
先根据判定≌，再根据全等三角形的性质，得出，，最后根据即可得到，进而得到为等腰直角三角形．