2021-2022学年河南省信阳市息县八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年河南省信阳市息县八年级上学期期中数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A．笛卡尔爱心曲线B．蝴蝶曲线
C．费马螺线曲线D．科赫曲线
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．25cm，24cm，7cmB．2cm，5cm，8cm
C．3cm，3cm，6cmD．1cm，2cm，3cm
3．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．40°B．60°C．30°D．50°
5．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过C作EF∥BC
B．延长AC到F，过C作CE∥AB
C．作CD⊥AB于点D
D．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC
6．如图，∠C＝∠F＝90°，下列条件中，不能判定△ACB与△DFE全等的是（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DEB．AC＝DF，BC＝EF
C．AB＝DE，BC＝EFD．∠A＝∠D，∠B＝∠E
7．点A（3，4）与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（4，3）
8．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
9．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
10．如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6cmB．8cmC．9cmD．10cm
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图是第四套人民币1角硬币，该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 °．
12．如图，点B在AE上，∠C＝∠D，要能证△ABC≌△ABD，只需再补充一个条件： ．
13．如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D
两地，此时可以判断C，D到B的距离相等，用到的数学道理是 ．
14．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AC上一点，AD＝BD，BC＝DC，则∠A的大小是 ．
二、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BE是△ABC的角平分线，BD是边AC上的高．
（1）求∠CBE的度数；
（2）求∠DBE的度数．
17．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D，∠B＝60°．
（1）试说明：△ABC≌△AED；
（2）求∠AED的度数．
18．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，FB∥EA交EC于H点，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若CH＝BC，∠A＝50°，求∠D的度数．
19．人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）在作图过程中创造了什么条件？
（2）依据作图过程及其产生的条件证明△A′B′C′≌△ABC．
20．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：
已知：线段a，b．
求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为b．
小涛的作图步骤如下：
如图
（1）作线段BC＝a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC
于点D；
（3）在MN上截取线段DA＝b，连接AB，AC．
所以△ABC即为所求作的等腰三角形．
老师说：“小涛的作图步骤正确”．
请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：
① ；
② ．
21．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小．
22．在等边△ABC中，D为AC的中点，延长BC至点E，使CE＝DC，连接ED并延长交AB于点F．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）DF与DE有怎样的数量关系？请说明理由．
23．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A．笛卡尔爱心曲线B．蝴蝶曲线
C．费马螺线曲线D．科赫曲线
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．25cm，24cm，7cmB．2cm，5cm，8cm
C．3cm，3cm，6cmD．1cm，2cm，3cm
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
解：根据三角形的三边关系，得
A.7+24＞25，能组成三角形，故此选项符合题意．
B.2+5＜8，不能组成三角形，故此选项不合题意；
C.3+3＝6，不能组成三角形，故此选项不合题意；
D.2+1＝3，不能组成三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
3．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用全等图形的概念可得答案．
解：A．两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
B．两个图形能够完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；
C．两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
D．两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．40°B．60°C．30°D．50°
【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠3，再利用平行线的性质求出∠B．
解：∵∠2+∠3＝90°，∠2＝∠1＝40°，
∴∠3＝50°．
∵EF∥AB，
∠B＝∠3＝50°．
故选：D．
5．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过C作EF∥BC
B．延长AC到F，过C作CE∥AB
C．作CD⊥AB于点D
D．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意．
B．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠∠A+∠B+∠ACB＝180°，故B不符合题意．
C．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故C符合题意．
D．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故C不符合题意．
故选：C．
6．如图，∠C＝∠F＝90°，下列条件中，不能判定△ACB与△DFE全等的是（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DEB．AC＝DF，BC＝EF
C．AB＝DE，BC＝EFD．∠A＝∠D，∠B＝∠E
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ACB≌△DFE，故本选项不符合题意；
B．AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ACB≌△DFE，故本选项不符合题意；
C．AB＝DF，BC＝EF，∠C＝∠F＝90°，符合直角三角形全等的判定定理HL，能推出△ACB≌△DFE，故本选项不符合题意；
D．∠A＝∠D，∠C＝∠F，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ACB≌△DFE，故本选项符合题意；
故选：D．
7．点A（3，4）与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（4，3）
【分析】根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
解：由题意，得A（3，4）与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标是（﹣3，4），
故选：A．
8．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【分析】依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论．
解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，
∴A的说法不正确，不符合题意；
∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，
∴B的说法正确，符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，
∴C的说法不正确，不符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，
∴D的说法不正确，不符合题意；
综上，B的说法正确．
故选：B．
9．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；
解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
10．如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6cmB．8cmC．9cmD．10cm
【分析】根据垂直平分线的性质可得AM＝CM，即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为AD的长，根据面积求出AD的长，即可解决问题．
解：连接AM，
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，
∴AM＝CM，
∴CM+DM＝DM+AM，
即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为AD的长，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，CD＝BC＝2cm，
∵等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，
∴AD＝8cm，
∴△CDM周长的最小值为AD+CD＝10cm，
故选：D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图是第四套人民币1角硬币，该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 40 °．
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数．
解：∵正多边形的外角和是360°，
∴360°÷9＝40°．
故答案为：40．
12．如图，点B在AE上，∠C＝∠D，要能证△ABC≌△ABD，只需再补充一个条件： ∠CAB＝∠DAB ．
【分析】根据全等三角形的判定定理加条件．
解：在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD（AAS）
故答案为：∠CAB＝∠DAB．
13．如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D
两地，此时可以判断C，D到B的距离相等，用到的数学道理是 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ．
【分析】先根据题意得到AB垂直平分CD，然后根据线段垂直平分线的性质可判断C，D到B的距离相等．
解：∵AB⊥CD，AC＝AD，
∴AB垂直平分CD，
∴BC＝BD，
即C，D到B的距离相等．
故答案为：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
14．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 18 cm．
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．
解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝18cm，
故答案为：18
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AC上一点，AD＝BD，BC＝DC，则∠A的大小是 （）° ．
【分析】由AD＝BD，BC＝DC可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A＝∠ABD＝x，则∠CDB＝∠CBD＝2x，又由AB＝AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC中，用内角和定理列方程求解．
解：∵AD＝BD，BC＝DC，
∴△ABD，△BCD为等腰三角形，
设∠A＝∠ABD＝x，则∠CDB＝∠CBD＝2x，
又∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
即x+3x+3x＝180°，
解得x＝（）°，
即∠A＝（）°．
故答案为：（）°．
二、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BE是△ABC的角平分线，BD是边AC上的高．
（1）求∠CBE的度数；
（2）求∠DBE的度数．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线的定义求出∠CBE；
（2）根据直角三角形的性质求出∠DBC，结合图形计算，得到答案．
解：（1）∵∠A＝75°，∠C＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠CBE＝∠ABC＝30°；
（2）在Rt△BDC中，∠C＝45°，
∴∠DBC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DBE＝∠DBC﹣∠CBE＝45°﹣30°＝15°．
17．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D，∠B＝60°．
（1）试说明：△ABC≌△AED；
（2）求∠AED的度数．
【分析】（1）由∠1＝∠2得出∠BAC＝∠EAD，进而根据已知条件证明△ABC≌△AED（AAS）；
（2）由（1）证得△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠B，进而得出结果．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD．
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS）．
（2）解：由（1）证得△ABC≌△AED，
∵∠B＝60°，
∴∠AED＝∠B＝60°．
18．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，FB∥EA交EC于H点，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若CH＝BC，∠A＝50°，求∠D的度数．
【分析】（1）首先利用平行线的性质得出∠A＝∠FBD，根据AB＝CD即可得出AC＝BD，进而得出△ACE≌△BDF解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵FB∥EA，
∴∠A＝∠FBD，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△ACE与△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△BDF，
∴∠A＝∠FBD，∠D＝∠ACE，
∵∠A＝50°，
∴∠FBD＝50°，
∵CH＝BC，
∴∠FBD＝∠BHC＝50°，
∴∠BCH＝180°﹣∠FBD﹣∠BHC＝80°，
∴∠D＝80°．
19．人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）在作图过程中创造了什么条件？
（2）依据作图过程及其产生的条件证明△A′B′C′≌△ABC．
【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可．
（2）根据SSS证明三角形全等．
【解答】（1）解：在作图过程中创造的条件：A′B′＝AB，A′C′＝AC；
（2）证明：在△A′B′C′和△ABC中，
，
∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．
20．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：
已知：线段a，b．
求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为b．
小涛的作图步骤如下：
如图
（1）作线段BC＝a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC
于点D；
（3）在MN上截取线段DA＝b，连接AB，AC．
所以△ABC即为所求作的等腰三角形．
老师说：“小涛的作图步骤正确”．
请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：
① 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ；
② 有两条边相等的三角形是等腰三角形 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断AB＝AC，AD⊥BC，然后根据等腰三角形的定义可判断△ABC是等腰三角形．
解：得到△ABC是等腰三角形的依据是：
①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
②有两条边相等的三角形是等腰三角形．
故答案为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形．
21．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线DE对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据轴对称确定最短路线问题连接A1C与DE的交点即为所求点Q．
解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）点Q如图所示．
22．在等边△ABC中，D为AC的中点，延长BC至点E，使CE＝DC，连接ED并延长交AB于点F．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）DF与DE有怎样的数量关系？请说明理由．
【分析】（1）连接BD，根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝60°，得到∠DBC＝30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝60°，求得∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝30°，推出DE＝BD，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠E＝∠DBC，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）解：DE＝2DF．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
23．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF＝2，BC＝1，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
证法1：如图，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），
又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．
∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．
证法2：如图，
∵∠A＝76°，∠B＝59°，
且∠ACD＝135°（量角器测量所得）
又∵135°＝76°+59°（计算所得）
∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．
已知：△ABC．
求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C′＝BC；
（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；
（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．
证法1：如图，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），
又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．
∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．
证法2：如图，
∵∠A＝76°，∠B＝59°，
且∠ACD＝135°（量角器测量所得）
又∵135°＝76°+59°（计算所得）
∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．
已知：△ABC．
求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C′＝BC；
（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；
（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．