2021-2022学年湖南省衡阳八中教育集团成章联校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省衡阳八中教育集团成章联校七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 下列方程为一元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若代数式与的值互为相反数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 用不等式表示如图的解集，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下面四个图形中，线段是的高的图是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 下列方程的变形中，正确的是(    )

A. 方程，移项得
B. 方程，去括号得
C. 方程，可化为
D. 方程，方程两边都乘以，得

6. 若三角形三个内角度数之比为 ：：，则这个三角形一定是(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

7. 若单项式与是同类项，则，的值分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8. 用加减法解方程组，下列解法正确的是(    )

A. ，消去 B. ，消去
C. ，消去 D. ，消去

9. 下列不等式变形正确的是(    )

A. 由，得
B. 由，且，得
C. 由，得
D. 由得

10. 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包元，酒精湿巾每包元，共用了元钱两种物品都买，小明的购买方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

11. 某出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了，付了元；盼盼乘坐这种出租车走了，付了元．设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 如图，正方形的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在处，乙在处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，已知正方形轨道的边长为，则乙在第次追上甲时的位置(    )

A. 上 B. 上 C. 上 D. 上

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 已知方程，则 ______ ．
14. 若是方程的一个解．则______．
15. 如图，，是的外角，，则是______度．

16. 某商品的成本是元，打折售出后，可以获利，则该商品的标价为______元．
17. 已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______ ．
18. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，下面说法中正确的有______请填写序号．
    ；；．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19. 解方程组：
    ；
    ．
20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
21. 如图，在中，平分，，若，，求的度数．

22. 用“”定义一种新运算：规定，如：．
    若，求的值；
    若，求的值．
23. “疫情就是命令、防控就是责任”长沙市岳麓区某公司在疫情复工准备工作中，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元；若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元．
    甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？
    该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有哪几种购买方案？若花费为，请求出的最小值及其应对方案．
24. 关于，的二元一次方程组．
    若方程组的解也是二元一次方程的解，求的值；
    若方程组的解满足，求的取值范围，并写出的最大负整数解．
25. 如图，在中，与的角平分线相交于点，与的外角平分线相交于点．
    若，求的度数；
    写出与之间的数量关系，并证明；
    如图，在中，设，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，直接写出的度数______用含的代数式表示．
     

26. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”．
    下列方程是不等式组的“相伴方程”的是______；填序号
    
    
    
    若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围；
    若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：未知数的最高次数是，不是整式方程，含有两个未知数，
它们都不符合一元一次方程的定义．
只有符合一元一次方程的定义．
故选：．
根据一元一次方程的定义，逐个排除得结论．
本题考查了一元一次方程的定义．掌握一元一次方程的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
移项合并得：，
解得：，
故选：．
利用相反数性质列出方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：用不等式表示如图的解集为：．
故选：．
根据图中数轴上所表示的不等式的解集，即可得到答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意：不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项中，与不垂直；
选项中，与不垂直；
选项中，与不垂直；
线段是的高的图是选项．
故选：．
根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断．
本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
 

5.【答案】 

【解析】解：、方程，移项得：，不符合题意；
B、方程，去括号得：，不符合题意；
C、方程，可化为，符合题意；
D、方程，方程两边都乘以，得，不符合题意．
故选：．
各方程整理得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的方法是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：三角形三个内角度数之比为 ：：，
可以假设三个内角分别为，．
，
，
三角形的三个内角分别为，，，
是直角三角形．
根据三角形内角和定理，构建方程即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，一元一次方程等知识，解题的关键是学会与方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：单项式与是同类项，
，
解得：，，
故选：．
利用同类项的定义列出方程组，求出方程组的解即可得到与的值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．根据加减消元法求解方法判断即可．
【解答】
解：用加减法解方程组，
，消去，
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：、时，，故A错误；
B、时，，故B错误；
C、时错误，故 C错误；
D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D正确；
故选：．
根据不等式的性质性质，可得答案．
本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

10.【答案】 

【解析】解：设可以买包口罩，包酒精湿巾，
依题意得：，

又，均为正整数，
或或，
小明共有种购买方案．
故选：．
设可以买包口罩，包酒精湿巾，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
根据津津乘坐这种出租车走了，付了元；盼盼乘坐这种出租车走了，付了元可列方程组．
【解答】
解：设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，
则所列方程组为，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：设乙在第次追上甲时的时间为，
依题意得：，
解得：，
甲走了．
又，
乙在第次追上甲时的位置在边上．
故选：．
设乙在第次追上甲时的时间为，利用二者的路程之差为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，利用路程速度时间，可求出甲走的路程，再结合正方形的边长为，即可得出乙在第次追上甲时的位置在边上．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
直接移项、系数化为即可．
本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
则，
故答案为：．
先由是方程的一个解，得出，然后把化为，再整体代入即可．
此题考查的知识点是二元一次方程组的解，解题关键是把方程的解代入原方程，得出，然后整体代入．
 

15.【答案】 

【解析】解：，是的外角，，
．
故答案为：．
直接利用三角形的外角性质进行求解即可．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质并灵活运用．
 

16.【答案】 

【解析】解：设该商品的标价为元，
依题意得：，
解得：．
故答案为：．
设该商品的标价为元，利用利润售价成本，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：方程，
解得：，
由题意得：，
解得：．
故答案为：．
把看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

18.【答案】 

【解析】解：是中线，
；
正确；
，
，
是高，
，
，
是角平分线，
，
，
，
正确；
，，
，
是角平分线，
，
．
正确；
综上所述：．
根据等底同高得出面积相等；根据等角的余角相等求出，根据角平分线的定义得出，再根据等角的余角相等求出，等量代换后得出．
本题主要考查了三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高的综合应用，其中用等角的余角相等求出相等的角及用三角形面积公式是解题关键．
 

19.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化成得：；
，
由得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
原方程组的解为． 

【解析】利用解一元一次方程的一般步骤进行计算，即可得出答案；
利用代入法把二元一次方程组化成关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值，进而求出的值，即可得出方程组的解．
本题考查了解一元一次方程及解二元一次方程组，掌握解一元一次方程的一般步骤和代入消元法是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集是，
在数轴上表示不等式组解集是：
． 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】求出的度数，利用即可求出的度数．
本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：，而，，
，，
解得，，
；
，
，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为，可得：． 

【解析】根据绝对值和偶次方的非负数性质可得、的值，再按规定的运算程序运算求值即可；
根据新运算，先把方程转化为一元一次方程，再求的值．
本题考查了解一元一次方程，能根据新运算展开是解此题的关键，注意：解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成．
 

23.【答案】解：设甲品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元，
依题意得：，
解得：．
答：甲品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元．
设购买甲品牌消毒液瓶，则购买乙品牌消毒液瓶，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为，，，，
该公司共有种购买方案，
方案：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶；
方案：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶；
方案：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶；
方案：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶．
花费为，
．
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值元，
的最小值为元，其应对方案为：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶． 

【解析】设甲品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元，根据“若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元；若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买甲品牌消毒液瓶，则购买乙品牌消毒液瓶，利用总价单价数量，结合“可用于购买这两种商品的资金不超过元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出各购买方案，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

24.【答案】解：解方程组得，
代入，得，
解得：；
由得，
代入，得，
解得．
故的最大负整数解是． 

【解析】把看作已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出的值．
把和用含有的式子表示，代入，得到关于的一元一次不等式，解之即可．
本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：正确找出等量关系列出关于的一元一次方程，根据不等量关系列出关于的一元一次不等式．
 

25.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，平分，
，
；
证明：，，
，，
平分，平分，
，，
，
；
解：由可知：
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用求出，再利用角平分线的性质求出，即可求解；
利用三角形的外角性质得出，，从而可得，，再利用角平分线的性质，即可证明；
先求出，再求出，观察规律，即可求解．
本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质．
 

26.【答案】 

【解析】解：解不等式组得，
解方程得：；
解方程得：；
解方程得：，
，，，
是不等式组的“相伴方程”，
故答案为：；

解不等式组得：，
解方程得：，
关于的方程是不等式组的“相伴方程”，
，
解得：，
即的取值范围是；

解方程得，
解方程得，
方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，，
所以分为两种情况：当时，不等式组为，
此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；
当时，不等式组的解集是，
所以根据题意得：，
解得：，
所以的取值范围是．
先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可；
先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去吃不等式组的解集即可；
分别求出方程的解，分为两种情况：当时，求出不等式组的解集，再判断即可；当时，求出不等式组的解集，再判断即可．
本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于和的不等式组是解此题的关键．