2021-2022学年湖南省衡阳八中教育集团成章联校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省衡阳八中教育集团成章联校八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共36分）

1. 当前新冠肺炎疫情仍处于全球大流行状态，进入冬季后报告病例数不断上升．近日我国部分省区发现新冠病毒奥密克戎变异株．南非专家称，奥密克戎毒株致人再感染新冠病毒的风险是其他毒株的倍．奥密克戎毒株的半径约为米，将数用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

2. 如果分式的值为，那么的值为

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式中的变形，错误的是

A.  B.  C.  D.

4. 在圆的周长计算公式中，对于变量和常量的说法正确的是

A. 是常量，，，是变量 B. ，是常量，，是变量
C. ，，是常量，是变量 D. ，，是常量，是变量

5. 如图，这是一所学校的平面示意图，在同一平面直角坐标系中，教学楼的坐标为，实验楼的坐标为，则图书馆的坐标为

A.
B.
C.
D.

6. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为

A.  B.  C.  D.

7. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 关于的方程的解为正数，则的取值范围是

A.  B.
C. 且 D. 且

9. 对于反比例函数，下列说法不正确的是

A. 图象分布在第二、四象限
B. 图象关于原点对称
C. 图象经过点
D. 若点，都在该函数图象上，且，则

10. 已知两个函数与的图象如图所示，其中，，则不等式的解集为

A. 或
B. 或
C.
D. 或
 

11. 如图，过▱对角线的交点，交于点，交于点，则：
    ；
    图中共有对全等三角形；
    若，，则；
    ；
    其中正确的结论有

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在长方形中，，，，动点从点出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

13. 函数中，自变量的取值范围是______ ．
14. 若函数是关于的一次函数，则______．
15. 如图，反比例函数的图象上有一点，过点作轴于，，则______．
    
    
    
     

16. 平面直角坐标系中两直线与如图，则方程组的解是______．

17. 已知关于的分式方程有增根，则这个增根的值是______．
18. 某医院研究所开发了一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量微克随时间小时的变化情况如图所示，如果每毫升血液中的含药量微克或微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有______小时．

三．解答题（本题共8小题，共66分）

19. 计算：．
20. 解方程：．
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 如图，在平行四边形中，点、分别在边和上，且．
    证明：≌；
    若平分，求证：．

23. 如图，已知一次函数的图象与直线平行，与轴交于点．
    求与的值；
    若一次函数的图象与轴交于点求的面积．

24. 春节临近，各家各户将会准备置办年货，为满足顾客的需求，某超市计划用不超过元购进甲、乙两种商品共件进行销售．甲、乙两种商品的进价分别为每件元、元，甲种商品每件的售价是乙种商品每件售价的倍，若用元在超市可购买甲种商品的件数比用元购买乙种商品的件数少件．
    甲乙两种商品的售价分别为每件多少元？
    超市为了让利顾客，决定甲种商品售价每件降低元，乙种商品售价每件降低元，问超市应如何进货才能获得最大利润？假设购进的两种商品全部销售完
25. 如图，已知一条笔直的公路上有，，三地，地位于、两地之间．甲车从地出发，驶向地，同时乙车从地出发驶向地，到达地并停留了小时后，按原路返回地．两车沿公路匀速行驶，甲车的速度比乙车的速度慢千米时，设两车行驶时间为小时．图中线段和折线分别表示甲、乙两车各自到地的距离千米与行驶的时间小时的函数图象，请结合图象信息，解答下列问题：
    
    、两地之间的路程为______千米，乙车的速度是______千米时；
    求乙车从地返回地时线段的路程千米与时间小时之间的函数关系式不需要写出自变量的取值范围；
    出发多少小时后，行驶中的两车之间距离等于千米？
26. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，连接．
    ______；______；
    若点在第三象限内，是否存在点使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    如图，点是线段上一点不与、重合，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图象于点，连接、、，若四边形的面积为，求点的坐标；
    将第小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上如图，请求出点的对应点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法以及近似数与有效数字．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】

【解析】解：分式的值为，
且，
解得：．
故选：．
直接利用分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的分母不为零是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：在圆的周长计算公式中，和是变量，、是常量，
故选：．
常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．
此题主要考查了常量和变量，关键是掌握变量和常量的定义．
 

5.【答案】

【解析】解：如图所示：图书馆的坐标为．
故选：．
直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：点关于轴对称点的坐标为．
故选：．
根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

7.【答案】

【解析】解：一次函数的图象经过第二、三、四象限，
，
．
故选：．
由一次函数的图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出，解之即可得出的取值范围．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：原分式方程可化为：，
解得，
解为正数，，
，
，
且，
故选：．
原分式方程可化为：，求出解，再根据解为正数，，列不等式，求出公共的解集．
本题考查了分式方程解、解一元一次不等式，掌握解分式方程的步骤及最简公分母不为，列出不等式是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：、，它的图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
B、图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意；
C、时，，点在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；
D、，在每一个象限内，随的增大而增大，
当，时，则，故本选项错误，符合题意，
故选：．
根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，随的增大而增大．
 

10.【答案】

【解析】解：函数与的图象相交于点，，
函数与的图象：或，
故选：．
不等式的解集，在图象上即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
 

11.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
≌，
；故正确，
由平行四边形的中心对称性，全等三角形有：≌，≌，≌，≌，≌，≌共对，故错误；
，
，
，
，故正确；
≌，
；
故正确；
故选：．
根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到；故正确，根据全等三角形的判定和性质得到错误，正确．根据三角形三边关系得到，故正确；
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：由题意可知
当时，，
当时，，
当时，．
根据函数解析式，可知D正确．
故选：．
根据题意找到点到达、前后的一般情况，列出函数关系式即可．
本题为动点问题的函数图象探究题，考查列函数关系式以及函数图象性质，解答关键是确定动点到达临界点前后的图形变化规律．
 

13.【答案】

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：函数是关于的一次函数，
，，
解得：．
故答案为：．
直接利用一次函数的定义分析得出答案．
此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．
 

15.【答案】

【解析】解：轴，
，
，
．
故答案是：．
根据反比例函数中比例系数的几何意义得到，然后根据反比例函数性质确定得值．
本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为．
 

16.【答案】

【解析】解：一次函数与的图象交于点，
二元一次方程组的解是，
故答案为：．
一次函数图象的交点就是两函数组成的方程组的解，据此求解即可．
此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程组与一次函数的关系．
 

17.【答案】．

【解析】解：分式方程有增根，
，
，
故答案为：．
根据题意可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根意义是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：设时，正比例函数解析式为，把代入得，，
当时，与之间的函数关系式是；
设时，一次函数解析式为，
在函数解析式上，
，
解得，
当时，与之间的函数关系式是；
把代入得，；
把代入得，，
有效时间为，
如果每毫升血液中的含药量微克或微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有小时．
故答案为：．
求出时，与之间的函数关系式，时，与之间的函数关系式，把代入所得的两个函数解析式，看得到的相应时间，较大的数减较小的数即为有效时间．
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，由自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
 

19.【答案】解：原式
．

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及乘方的意义，熟练掌握各自的性质及运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：去分母得：，
移项，合并同类项得：，
解得．
检验：当时，，
是原分式方程的解．

【解析】去分母将分式方程转化为整式方程，求出解再检验即可．
本题考查解分式方程，解题关键是去分母转化为整式方程求解，注意解完之后要检验．
 

21.【答案】解：原式

，
当时，
原式．

【解析】括号内先通分进行分式的加减，再将除法转化为乘法进行计算，最后代入求值即可．
本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的运算法则并能准确化简．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
≌；
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．

【解析】根据平行四边形的性质得出，，根据证出≌；
根据角平分线的定义和平行四边形的性质得出，进而解答即可．
本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出≌是证此题的关键．
 

23.【答案】解：的图象与直线平行，
，
的图象与轴交于点，
．
由可得一次函数的解析式为，
令得，
解得  ，
点的坐标是，即．
．

【解析】由一次函数的图象与直线平行，可得的值，再将点坐标代入解析式求解．
由一次函数解析式可得点坐标，进而求解．
本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握一次函数图象与系数的关系．
 

24.【答案】解：设乙商品的售价为元，甲商品的售价为元，
由题意可得：
解得：，
经检验，是原方程的解，
元，
答：乙商品的售价为元，甲商品的售价为元，
设利润为元，甲商品件，乙商品件，
由题意可得：，

，
随的增大而增大，
时，最大值为元．
答：甲商品进件，乙商品进件才能获得最大利润．

【解析】设乙商品的售价为元，甲商品的售价为元，由用元在超市可购买甲种商品的件数比用元购买乙种商品的件数少件，列出方程，即可求解；
由用不超过元购进甲、乙两种商品共件进行销售．列出不等式求出的范围，列出与的关系式，由一次函数的性质可求解．
本题主要考查一次函数的应用，分式方程的应用，熟练掌握一元一次不等式的求解是解答本题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：由图甲车到地的距离千米与行驶的时间小时的函数图象可知，之间的路程为千米，
甲的行驶速度为千米时，
乙的行驶速度为千米时，
故答案为：；；
乙的行驶速度为千米时，
地到地的距离千米，
，，
乙的速度不变，
，
设，
将代入得，
，
解得：，
乙车从地返回地时，函数关系式为；
甲的速度为千米时，
，
乙的速度为千米时，段经过，
，
，
解得：，
两车经过时相遇，
当时，乙从向地行驶，
，
解得：，
当时，乙在点，甲在距离点千米处，
此时距离差为千米，
当时，，
解得：，
当时，由于乙的速度大于甲的速度，
乙距离甲越来越近，
，
解得：，
综上，出发时或时或时，两车相距千米．
根据甲车到地的距离千米与行驶的时间小时的函数图象可知之间的路程，进而算出甲的行驶速度，即可得到乙的行驶速度；
根据乙的速度求出地到地的距离，即可得到点的坐标，根据到达地并停留了小时，即可得到点的坐标，根据中求得的乙的速度即可求得乙车从地返回地时线段的路程千米与时间小时之间的函数关系式；
根据运动过程，可以求得甲车路程千米与时间小时之间的函数关系式，乙车从地到地时线段的路程千米与时间小时之间的函数关系式，进而求得辆车相遇的时间，然后分种情况讨论，分别为相遇前种情况和相遇后两种情况，然后根据各自时间段的函数解析式进行计算，并注意每一种情况的取值范围．
本题考查了一次函数的实际应用行程问题，解题的关键是结合函数图像分析运动过程，理解各个节点的意义，进而列出方程求解．
 

26.【答案】 

【解析】解：在反比例函数的图象上，
，
，
过点，
，
．
故答案为：，；
存在，理由如下：若是以为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论：
当点为直角顶点，过点作且，
分别过点，作轴的垂线，垂直于点，，
，，
，
，
≌，

，，
；
当点为直角顶点，连接，
四边形是正方形，
且，
．
综上，点的坐标为或．
点在直线上，
设点，则点，
则，
解得或舍去，
点；
由的函数表达式知，直线与轴负半轴的夹角为，
设沿射线方向向左平移个单位，则向上平移个单位，则点，
将点的坐标代入得，，解得舍去负值，
点的坐标为．
用待定系数法即可求解；
需要分两种情况讨论，当点为直角顶点，当点为直角顶点，分别求解即可；
由，即可求解；
直线与轴负半轴的夹角为，设沿射线方向向左平移个单位，则向上平移个单位，则点，进而求解．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图形的平移、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．