2021-2022学年湖南省长沙市华鑫教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省长沙市华鑫教育集团七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列四个数中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列命题中是真命题的是(    )

A. 同位角相等 B. 若，则
C. 等角的补角相等 D. 两条直线不相交就平行

3. 已知点在第四象限，那么在第几象限(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 如图，已知直线、相交于点，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 对角线长为的正方形，边长是多少(    )

A.  B.  C.  D.

8. 随着张吉怀高铁在年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程一一湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为米，高度为米．现在用卡车将土方运送到公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的正方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米取(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若平面上条直线两两相交，且无三线共点，无四线共点，则一共有多少对同旁内角(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到，而后它接着按图所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位长度，那么在分钟后，这个粒子所处位置为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11. 的平方根是______．
12. 把“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式是：______．
13. 平面上三条直线交于同一点，过点有______对对顶角．
14. 已知第四象限有一点，距离横轴个单位，距离纵轴个单位，的坐标是______．
15. 如图，已知，，则图中与互补的角有______个．

16. 如图所示，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是______．

17. 如图，一条长度为的线段绕着点旋转一周，当与数轴重合时，点表示的数为______．

18. 如图，已知，，，，，，，按这样的规律，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 计算下列各式．
    ．
    ．
20. 解下列方程．
    ．
    ．
21. 已知：如图，，分别交、于点、，平分，平分求证：．
    证明：已知，
    ______
    平分，平分______，
    ______，
    ______角平分线定义．
    ____________，
    ______

22. 如图，将三角形先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到对应的三角形．
    画出三角形；
    写出点、、的坐标．
    求的面积．

23. 如图，，交于点，，平分，求的度数．

24. 已知的算术平方根是，的立方是，求．
    的整数部分是，小数部分是，求的值．
    求代数式的最小值．
25. 已知，，请探究：
    如图，，和有何种关系？请证明．
    如图，，和有何种关系？请证明．
    如图，，和有何种关系？请直接写出结果，无需证明．
     

26. 已知在平面直角坐标系中，，、，其中、、满足．
    求的面积；
    将线段向右平移至点对应点，点对应点．
    当点为轴上任意点不与原点重合，、分别平分与，若，，试用含的代数式表示；
    点为线段上一点不与点、重合，的横坐标为，连接、，交轴于点，交于点，若与的面积分别为，，试用含的代数式表示．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是整数，是分数，这些都属于有理数；
是无理数．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像相邻两个中间依次多个，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：两直线平行，同位角相等，故A是假命题，不符合题意；
若，则或，故B是假命题，不符合题意；
等角的补角相等，故C是真命题，符合题意；
在同一平面内，两条直线不相交就平行，故D是假命题，不符合题意；
故选：．
根据平行线性质，补角、平行线、平方等定义逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握补角、平方运算、平行线等定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
，，
，，
点在第一象限．
故选：．
首先得出第四象限点的坐标性质，进而得出点的位置．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
故选：．
利用平角、余角、对顶角的定义计算即可．
本题考查的是平角、余角、对顶角的定义，解题的关键是从图中找到互余的两角、互补的两角及对顶角．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
先根据“同旁内角互补，两直线平行”证出，然后根据平行线的性质求解即可．
本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握“同旁内角互补，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由点平移后可得坐标的变化规律是：横坐标，纵坐标，
点的对应点的坐标．
故选：．
由点平移后可得坐标的变化规律，由此可得点的对应点的坐标．
本题运用了点的平移的坐标变化规律，关键是由点平移后可得坐标的变化规律，由此可得点的对应点的坐标．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图：

由已知得：正方形中，，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
画出图形，由等腰直角三角形性质即可得答案．
本题考查正方形性质，解题的关键是掌握正方形对角线将正方形分成两个等腰直角三角形及等腰直角三角形三边的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：圆锥形土方的底面直径为米，高度为米，
圆锥的体积为立方米，
用卡车将土方运送到公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的正方体，并且土方刚好填满垃圾池，
垃圾池的底面边长大约是米．
故选：．
先计算圆锥的体积，再利用立方根的定义即可求得答案．
本题考查了立方根和圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的体积的计算方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：条直线两两相交，共有个点；任意两条直接被第三条截有对同旁内角，首先条里面取两条，剩下条，得到对同旁内角，且又互相重复，所以可得，
所以把代入得：．
故答案为：．
根据条直线两两相交，共有个点；任意两条直接被第三条截有对同旁内角，再计算得出条直线两两相交于不同点，同旁内角的对数．
本题考查了同旁内角的定义．注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题知表示粒子运动了分钟，
表示粒子运动了分钟，将向左运动，
表示粒子运动了分钟，将向下运动，
表示粒子运动了分钟，将向左运动，
，
于是会出现：
点粒子运动了分钟，此时粒子将会向下运动，
在第分钟时，粒子又向下移动了个单位长度，
粒子的位置为，
故选：．
根据题意依次写出第一象限角平分线上整数点的坐标及对应的运动分钟数，通过分析发现，点，运动时间分钟，为奇数，运动方向向左，为偶数，运动方向向下，找到规律后，将写成，可以看作点向下运动个单位长度，进而求出答案．
本题考查了点的坐标的规律变化，解决此类问题的关键是找到特殊点与变化序号之间的关系．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平方根及算术平方根和平方根的知识．
先求的的值，再求的平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
【解答】

解：，
的平方根是．
故答案为：．

 

12.【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等 

【解析】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“它们相等”，
命题“对顶角相等”写成“如果那么”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么它们相等”．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
先找到命题的题设和结论，再写成“如果那么”的形式．
本题考查了命题的条件和结论的叙述，注意确定一个命题的条件与结论的方法是首先把这个命题写成：“如果，那么”的形式．
 

13.【答案】 

【解析】解：两条直线相交于一点形成对对顶角，
三条直线相交于一点可看成是三种两条直线相交于一点的情况，故形成对对顶角．
故答案为：．
两条直线相交于一点形成对对顶角，三条直线相交于一点可看成是种两条直线相交于一点的情况，再乘以，即可得对顶角的对数．
本题主要考查对顶角，理解对顶角的概念、根据题意找出规律是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点位于第四象限，且距离横轴个单位长度，距离纵轴个单位长度，
点的纵坐标为，横坐标为，即点的坐标是．
故答案为：．
根据到轴的距离即为纵坐标的绝对值、到轴的距离即为横坐标的绝对值，再由第四象限点的坐标符号特点可得答案．
本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握到轴的距离即为纵坐标的绝对值、到轴的距离即为横坐标的绝对值及四个象限内点的坐标的符号特点．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，，，，，，
，，，
故与互补的角有个．
故答案为：．
利用两直线平行，同旁内角互补，找出与互补的角，再计算个数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图：
，，
，
，
故答案为：．
先根据直角三角板的性质得出的度数，再根据平行线的性质求出的度数即可．
本题考查了平行线的性质的应用，能求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．
 

17.【答案】或 

【解析】解：当与数轴重合时，点到原点的距离是，
当点在原点的右侧，点表示的数是．
当点在原点的右侧，点表示的数是．
综上所述，点表示的数是或，
点到原点的距离加上性质符号，就是点表示的实数．
本题考查的是数轴上的点，解题的关键是算出点到原点的距离，加上性质符号就是表示的实数．
 

18.【答案】 

【解析】解：观察发现，每个点形成一个循环，
，
，
，
点的位于第个循环组的第个，
点的横坐标为，其纵坐标为：，
点的坐标为．
故答案为：．
观察发现，每个点形成一个循环，再根据点的坐标及所得的整数及余数，可计算出点的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．
本题考查了平面直角坐标系中的点的规律问题，发现题中的规律并正确计算出点所处的循环组是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；

原式

． 

【解析】直接利用立方根的性质和二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案；
直接利用绝对值的性质以及立方根的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：移项得，
合并同类项得，
由平方根的定义得，
即或；
整理得，
移项，合并同类项得，
由立方根的定义得，，
即． 

【解析】根据等式的性质以及平方根的定义得出答案即可；
根据等式的性质和立方根的定义进行计算即可．
本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是解决问题的前提．
 

21.【答案】两直线平行，内错角相等  已知          内错角相等，两直线平行 

【解析】证明：已知，
两直线平行，内错角相等，
平分，平分已知，
，
，角平分线定义，
，
内错角相等，两直线平行．
故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；；；，；内错角相等，两直线平行．
，利用两直线平行，内错角相等得，再由与为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到，利用内错角相等两直线平行即可得证．
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解本题的关键．
 

22.【答案】解：如图，即为所求；
，，；
的面积
 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
根据点的位置写出坐标即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．
 

23.【答案】解：平分，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用邻补角、余角、角平分线的定义来计算即可．
本题考查了邻补角、余角、角平分线的定义，解题的关键是熟练找到互余的两个角、互补的两个角、以及相等的两个角．
 

24.【答案】解：的算术平方根是，的立方是，
，，



；
，
，
，，



；
，，，
，
当时，代数式有最小值，
当时，原式

． 

【解析】根据算术平方根，立方根的定义求出，的值，代入代数式求值即可；
估算无理数的大小得到，的值，代入代数式求值即可；
根据二次根式有意义的条件得到，当时，代数式有最小值，把代入代数式求值即可．
本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
证明：过点作，如图，

，
，
，，
，
即；
，
证明：过点作，如图，
，
，
，，
，
即；
图中，延长交于点，
，
，
是的外角，
，
即；
图中，
，
，
是的外角，
，
即． 

【解析】过点作，则有，从而得，，即可有；
过点作，则有，从而得，，即可有；
图中，延长交于点，由平行线的性质得，再由三角形的外角性质即可求解；
令与的交点为，由平行线的性质得，再由三角形的外角性质即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
 

26.【答案】解：如图中，

，
又，，，
，，，
，，，
，，，
，
．

如图中，当点在射线上时，

理由：，
，
，，
．

当点在线段上时，如图中，．

理由：，
，，
，，，
，
，
，
，
．

当点在线段的延长线上时，如图中，．

理由：：，
，
，，
，
．

如图中，设．

由题意：，，，，
，
，
，
． 

【解析】利用非负数的性质求出，，即可解决问题．
分三种情形：如图中，当点在射线上时，当点在线段上时，如图中，当点在线段的延长线上时，如图中，分别利用平行线的性质求解即可．
如图中，设根据，求出与的关系，再根据求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了平移变换，非负数的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用面积法构建关系式解决问题，属于中考常考题型．