2023年湖南省衡阳市八中教育集团中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年湖南省衡阳市八中教育集团中考一模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省衡阳市八中教育集团中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．﹣3的绝对值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．- D．
2．下列新冠疫情防控标识图案中，中心对称图形是（    ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（    ）
A．若点，都在反比例函数的图象上，则
B．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定
C．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件
4．下列计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
5．年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为人以上．数据用科学记数法表示应为（    ）
A． B． C． D．
6．若关于x的方程有实数根，则实数m的取值的范围是（    ）
A． B． C． D．
7．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（    ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（    ）

A．8 B．6 C．5 D．4
9．如图，在中，，，以为圆心任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，若，则的长是（    ）

A． B． C． D．
10．某班学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为，下列方程正确的是（   ）
A． B． C． D．
11．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
12．如图，Rt△ABC中，AB=4，BC=2，正方形ADEF的边长为2，F、A、B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（    ）

A． B．
C． D．

二、填空题
13．二次根式中字母x的取值范围是__________．
14．因式分解：2a2＋4a＋2＝___________．
15．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的面积为_____
16．计算：__________．
17．一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为________海里．（参考数据：，，）

18．如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．


三、解答题
19．计算：．
20．先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
21．某校开展禁毒防艾知识竞赛，政教处随机抽取九年级部分学生成绩进行统计，将统计结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格相关数据统计、整理如下：

等级
A级
B级
C级
D级
人数
6
12
a
8
(1)本次抽样测试的学生人数是 名，a= ；
(2)扇形统计图中表示A级的扇形的圆心角的度数是 ；
(3)该校九年级共有学生1000名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为 名；
(4)某班有4名优秀的同学（其中一名男生三名女生），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求恰好选到两名女生的概率．
22．如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
  
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若AE=4，CF=2，求菱形的边长．
23．某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
(1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
(2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
24．如图，在中，为的直径，点E在上，D为的中点，连接并延长交于点C．连接，在的延长线上取一点F，连接，使．

(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径．
25．如图，在四边形中，，，，，，，点以秒的速度在线段上由A向B匀速运动，E点同时以秒的速度在线段上由向匀速运动，设运动时间为秒．

(1)求的长；
(2)当t为何值时，的面积最大？求出t的值及的面积最大值．
(3)试探究：可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
26．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点，D为顶点．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
(4)点H是直线上一点，该抛物线的对称轴上一动点G，连接，则两线段的长度之和的最小值等于 ，此时点G的坐标为 （直接写出答案．）

参考答案：
1．B
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案．
【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．
【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2．A
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．C
【分析】根据反比例函数的图象与性质、方差的意义及随机事件的概念，可进行求解．
【详解】解：A、由反比例函数可知：，则在每个象限内，y随x的增大而减小，由，得；故该选项不正确；
B、若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定；该选项说法不正确；
C、了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，该选项说法正确；
D、“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是不可能事件；故该选项不正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查随机事件、方差及反比例函数的图象与性质，熟练掌握随机事件、方差及反比例函数的图象与性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；    
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；    
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，正确的计算是解题的关键．
5．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：数据用科学记数法表示应为．
故选：B.
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
6．C
【分析】根据一元二次方程有实数根，列不等式求解即可．
【详解】解析：关于x的方程有实数根，
，
解得，
故选C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解答此题的关键．
7．A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，
由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．C
【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可．
【详解】∵，平分，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
9．A
【分析】根据角平分线的作法可知平分，再根据角所对的直角边是斜边的一半即可求得．
【详解】解：根据题意可知是的角平分线
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，角所对的直角边是斜边一半，熟记直角三角形的性质是解题的关键．
10．D
【分析】根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系，可得出汽车的速度为，利用时间路程速度，结合汽车比骑车学生少用，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：骑车学生的速度为，且汽车的速度是骑车学生速度的2倍，
汽车的速度为．
依题意得：，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．B
【分析】先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：B.
【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
12．B
【分析】分三种情况分析：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M；当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN；当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN．分别写出每一部分的函数解析式，结合排除法，问题可解．
【详解】设AD交AC于N，交AC于M，
当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M，

∵Rt△ABC中，AB=4，BC=2，正方形ADEF的边长为2，
，
∴tan∠CAB=，
∴A'M=x，
其面积y==x•x=x2，
故此时y为x的二次函数，排除选项D；
当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN，

，，
同理：A'M=x，，
其面积y=-=x•x﹣（x﹣2）•（x﹣2）=x﹣1，
故此时y为x的一次函数，故排除选项C．
当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN，

AF'=x﹣2，F'N=（x﹣2），F'B=4﹣（x﹣2）=6﹣x，BC=2，
其面积y= [（x﹣2）+2]×（6﹣x）=﹣x2+x+3，
故此时y为x的二次函数，其开口方向向下，故排除A；
综上，只有B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象以及三角函数的知识，数形结合并运用排除法，是解答本题的关键．
13．
【分析】根据二次根式成立的条件可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
，解得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
14．2（a＋1）2
【分析】先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解.
【详解】2a2＋4a＋2=2（a2＋2a＋1）=2（a＋1）2
故答案为：2（a＋1）2
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握提公因式法和公式法是解题关键.
15．
【分析】根据圆锥的侧面积等于计算即可．
【详解】∵圆锥的底面半径为，母线长为，
∴侧面展开图的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算，熟练掌握锥的侧面积等于计算公式是解题的关键．
16．/
【分析】根据分式的加法运算法则可进行求解．
【详解】解：原式

；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的加法运算法则和通分，是解题的关键．
17．50
【分析】根据题意得出∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，由角度得出∠B=37°，∆PAB为直角三角形，利用正弦函数求解即可．
【详解】解：如图所示标注字母，

根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形，
∴，
∴BP=，
故答案为：50．
【点睛】题目主要考查方位角及正弦函数的应用，理解题意，熟练掌握正弦函数的应用是解题关键．
18．
【分析】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的位置，进而求出点P的运动路径长．
【详解】解：为的直径，




∴
∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，
如图，记以AB为直径的圆的圆心为，连接交于点，连接


∴当点三点共线时，即点P在点处时，CP有最小值，
∵
∴
在中，
∴∠
∴
∴两点距离最小时，点P的运动路径长为
【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P的路径是解答本题的关键．
19．3
【分析】先计算乘方和化简二次根式，并把特殊三角函数值代入，再合并同类二次根式，即可求解．
【详解】解：原式=2+4×-2+1
=2+2-2+1
=3．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂与零指数幂运算法则，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
20．
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式＝
；
a＝-，b＝+，
∴原式

【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
21．(1)40，4
(2)54°
(3)150
(4)

【分析】（1）根据级的人数和所占的百分求出抽样调查的总人数，即可解决问题；
（2）由乘以级的人数所占的比例即可；
（3）由该校九年级共有学生人数乘以优秀的人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选到两名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次抽样测试的学生人数是：（名，
则，
故答案为：40，4；
（2）扇形统计图中表示级的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：；
（3）估计优秀的人数为：（名，
故答案为：150；
（4）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好选到两名女生的结果有6种，
恰好选到两名女生的概率为．
【点睛】此题考查了树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22．(1)见解析
(2)5

【分析】（1）利用AAS即可证明△ABE≌△ADF；
（2）设菱形的边长为x，利用全等三角形的性质得到BE=DF=x−2，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD（菱形的四条边相等），∠B=∠D（菱形的对角相等），
∵AE⊥BC   AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定义），
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF(AAS)；
（2）解：设菱形的边长为x，
∴AB=CD=x，CF=2，
∴DF=x−2，
∵△ABE≌△ADF，
∴BE=DF=x−2（全等三角形的对应边相等），
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AE2+BE2=AB2（勾股定理），
∴42+(x−2)2=x2，
解得x=5，
∴菱形的边长是5．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23．(1)买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元
(2)至少买乙种快餐37份

【分析】（1）设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据题意列出方程组，解方程即可求解；
（2）设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据题意得，

解得
答：买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元；
（2）设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据题意得，

解得
至少买乙种快餐37份
答：至少买乙种快餐37份．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
24．(1)证明见解析；
(2)3；

【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，由等弧对等角可得∠BAD=∠CAD=∠BAC，再进行等量代换可得∠ABF=90°便可证明；
（2）连接AD、BE，由圆周角定理可得∠AEB=90°，∠BOD=2∠BAD，于是∠BOD=∠BAC，由△OBF∽△AEB可得OB∶AE=OF∶AB，再代入求值即可；
【详解】（1）证明：如图，连接AD，

AB是圆的直径，则∠ADB=90°，
D为的中点，则∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵，
∴∠CBF=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABF=∠ABD+∠CBF=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD、BE，

AB是圆的直径，则∠AEB=90°，
∵∠BOD=2∠BAD，∠BAC=2∠BAD，
∴∠BOD=∠BAC，
又∵∠ABF=∠AEB=90°，
∴△OBF∽△AEB，
∴OB∶AE=OF∶AB，
∴OB∶4=∶2OB，OB2=9，
OB＞0，则OB=3，
∴的半径为3；
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键．
25．(1)
(2)当时，的面积最大，最大值为5
(3)当为等腰三角形时，的值为秒或秒或秒

【分析】（1）先根据勾股定理求出，由（1）知，，得出，即可得出结论；
（2）过点E作于点H，由题意易得，则，然后可得，进而根据三角形面积公式及二次函数的性质可进行求解；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴在中，，
，
，
又，，
，
，
，
即，
解得：；
（2）解：过点E作于点H，如图所示：

由题意可知，则，
由（1）可得，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值为；
（3）解：能．由题意知，，，
若为等腰三角形，可分如下三种情况：
①当时，，解得秒．
②当时，如图，过点作的垂线，垂足为，

则．此时
，即，
解得：；
③当时，如图2，过点作的垂线，垂足为，

则．此时
，即，
解得：，
综上所述：当为等腰三角形时，的值为秒或秒或秒．
【点睛】本题主要考查三角函数、二次函数的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数、二次函数的性质、相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26．(1)
(2)存在，，理由见解析
(3)或或．
(4)，

【分析】（1）直接将、分别代入求得a、b、c即可解答；
（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可求出点P的坐标；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标、点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出的长，可得出是直角三角形，且；再根据相似三角形的性质可得出和的比例，进而求得点M的坐标即可．
（4）如图：根据抛物线的对称性可知：点H关于对称轴的对称点L在直线上，由轴对称和两点之间直线最短可知当O、G、L三点共线时，存在最小值；然后再求出直线的解析式为；设点，根据两点间距离公式可得，即当时，有最小值，有最小值，进而得到，然后在求出直线的解析式为，最后令即可解答．
【详解】（1）解：将、分别代入可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：存在，，理由如下：
  
∵，
∴，
∴如图：点A，C，B，P四点共圆，所示，
∵、
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（3）解：存在，理由如下：
∵，
∴，
由抛物线的对称性可得：，
∵，
∴，
同理：，
∴，
∴是直角三角形，且，．
∵点M在直线l下方的抛物线上，
  
∴设，则或．
∴,
若与相似，则或，
∴或，
解得（舍）或或3或（舍）或，
∴M的坐标为或或．
综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与相似，此时点M的坐标为或或．
（4）解：如图：根据抛物线的对称性可知：点H关于对称轴的对称点L在直线上，
∴,
∴，
∴当O、G、L三点共线时，存在最小值，
设直线的解析式为，
则有：，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
∴，
∴当时，有最小值，有最小值为，
∴，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为，
∴当时，，
∴．
故答案为：，．
  【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、圆内四边形的性质、相似三角形的性质与判定、分类讨论思想、根据轴对称和二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解题关键．