湖南省衡阳八中教育集团联校2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷（含解析）

湖南省衡阳八中教育集团联校2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共36分）

1. 下列实数中是无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 为阻断新冠疫情传播，我国政府积极开展新冠疫苗接种工作．截止到年月日，全国接种疫苗累计超过亿剂次．把用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，已知直线，，则等于

A.
B.
C.
D.

6. 已知点与点关于轴对称，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 如图，已知是的直径，、是圆周上两点．若，则

A.
B.
C.
D.

9. 八年级学生去距学校的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为，则可列方程为

A.  B.  C.  D.

10. 某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡时间，统计结果如表：

这些学生睡眠时间的众数、中位数是

A. 众数是，中位数是 B. 众数是，中位数是
C. 众数是，中位数是 D. 众数是，中位数是

11. 如图，在中，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，与边，分别交于，两点，连接，，若，则的周长为

A.
B.
C.
D.

12. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：
    ；
    ；
    ；
    若点、为函数图象上的两点，则；
    为任意实数；
    其中，正确结论的个数是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

13. 在函数中，自变量的取值范围是______．
14. 把多项式分解因式的结果是______．
15. 圆锥体的高为，圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为______．
16. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是：______．
17. 如图是大坝的横断面，斜坡的坡比：，，若坡面的长度为米，则斜坡的长度为______米．

18. 如图，，，，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，，都在轴上，点，，，，都在反比例函数的图象上，则点的坐标为______用含有正整数的式子表示

三．解答题（本题共8小题，共66分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 先化简再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，已知，，．
    求证：；
    若，，求的度数．
    
    
    
    
    
    
     
22. 年是中国共产党建党周年华诞“五一”后某校组织了八年级学生参加建党周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：
    
    请根据图中提供的信息解答下列问题：
    根据给出的信息，将这两个统计图补充完整不必写出计算过程；
    该校八年级有学生人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？
    “优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量件与每件售价元之间符合一次函数关系，如图所示．
    求与之间的函数关系式；
    该商场销售这种商品要想每天获得元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
    设商场销售这种商品每天获利元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，四边形中，，，，，以为圆心，为半径作圆，延长交于点，延长交于点，连接，交于点．
    求证：为的切线；
    求的值；
    求线段的长．

25. 如图，在中，，，，点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回；同时点从点出发沿以相同的速度向点匀速运动，当点到达点时两点同时停止运动．伴随着、的运动，保持垂直平分线段，且交于点，交折线于点设点的运动时间是秒．
    用含的代数式表示线段的长．
    在点从点向点运动的过程中，当四边形为矩形时，求的面积．
    当经过点时，请求出的值．
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．
    求二次函数解析式；
    如图，点在线段上方的抛物线上运动不与、重合，过点作，交于点，作，交于点，交于点，求的周长的最大值；
    在的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
    如图，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是整数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，熟记实数的分类是解答本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】
 

【解析】解：选项A：，所以不符合题意；
选项B：，所以符合题意；
选项C：，所以不符合题意；
选项D：，所以不符合题意；
故选：．
A、根据积的乘方的进行计算即可判断；
B、先计算乘方，再根据同底数幂的乘法计算即可判断；
C、根据完全平方公式进行计算即可判断；
D、根据合并同类项法则进行计算即可确定答案．
本题考查了完全平方公式、合并同类项以及幂的乘方、积的乘方等知识，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：用科学记数法表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】
 

【解析】解：如图，

，
，
．
故选：．
根据平行线的性质可得的度数，再根据平角的定义可得答案．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
．
故选：．
利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案．
此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
 

7.【答案】
 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
．
故选：．
由是的直径，可得，即可得出的度数，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
设骑车学生的速度为，则乘车学生的速度为，根据时间路程速度结合骑车的学生比乘车的学生多用即，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【解答】
解：设骑车学生的速度为，则乘车学生的速度为，
依题意，得：．
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】解：抽查学生的人数为：人，
这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是，
将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：根据作图过程可知：是垂直平分，
，点是的中点，，
，
，
，
在中，，
，
的周长为，
故选：．
根据作图过程可得是垂直平分，然后根据含度角的直角三角形可得的长，进而可得的周长．
本题考查了作图基本作图，线段的垂直平分线性质，含度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
 

12.【答案】
 

【解析】解：由函数图象可得，，，
对称轴为直线，
，
，即，故正确；
，故正确，
由图可知，二次函数与轴有两个交点，
，即，故正确；
函数图象开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
若点、为函数图象上的两点，则，故正确，
由图可知，当时，取得最大值，
，即，故错误．
故选：．
根据函数图象和题意，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式分母不为是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
先提出公因式，再利用平方差公式因式分解．
本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
 

15.【答案】
 

【解析】解：底面周长是，
母线长是：，
则圆锥的侧面积是：，
故答案是：．
首先求得底面的周长、面积，利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式即可求得圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．解题的关键是牢记公式，难度不大．
 

16.【答案】且
 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解决问题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：过点作于，过点作于，
则四边形为矩形，
，
，
米，
斜坡的坡比：，
，
由勾股定理得：米，
故答案为：．
过点作于，过点作于，根据等腰直角三角形的性质求出，根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

18.【答案】，
 

【解析】解：过作轴于，如图所示：

是等腰直角三角形，
是的中点，且，
设，代入反比例函数解析式，
得，
解得，
，
同理可得的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
故答案为：
过作轴于，根据等腰直角三角形的性质，可知是的中点，且，求出的坐标，同理，求出的坐标，的坐标即可．
本题考查了反比例函数的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出坐标之间的规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：


．
 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：
．
．
．
原式．
 

【解析】本题需先根据整式的混和运算顺和法则分别进行计算，再把所得的结果进行合并，最后把的值代入即可．
本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要注意混合运算的顺序和结果的符号是本题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，，
，
≌，
．
 

【解析】利用平行线的性质得，再利用等式的性质得，从而利用证明≌，可得结论；
根据三角形内角和定理得，再利用全等三角形的性质可得答案．
本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】解：抽取的学生人数为：人，
则达到“良好”的学生人数为：人，达到“合格”的学生所占的百分比为：，
达到“优秀”的学生所占的百分比为：，
将两个统计图补充完整如下：

人，
答：估计成绩未达到“良好”及以上的有人；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有种，
抽到甲、乙两人的概率为．
 

【解析】由“不及格”的学生人数除以所占百分比去抽取的人数，即可解决问题；
由该校八年级学生人数乘以成绩未达到“良好”及以上的学生所占的百分比即可；
画树状图，共有种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法、条形统计图和扇形统计图．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，
解得，
故与的函数关系式为；

根据题意，得：，
整理，得：，
解得：或不合题意，舍去，
答：每件商品的销售价应定为元；

，


，
当时，，
售价定为元件时，每天最大利润元．
 

【解析】利用待定系数法求解即可；
根据“每件利润销售量总利润”列出一元二次方程，解之可得；
根据以上相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数性质求解可得．
本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
，
为的切线；

解：如图，过点作于，
，
由知，，
，
四边形为矩形，
，
矩形是正方形，
，
在中，，根据勾股定理得，，
，
，
，
；

如图，
过点作于，则，，
在中，，，
，
，
，
，
∽，
，
由知，，
，
，
，
在中，．
 

【解析】利用两直线平行，同旁内角互补求出，再用，即可得出结论；
过点作于，判断出四边形为正方形，得出，再利用勾股定理求出，进而求出，再判断出，即可得出结论；
过点作于，则，，利用三角函数求出，进而得出，再判断出∽，得出，进而求出，最后用勾股定理求解，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，平行线的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数．
 

25.【答案】解：当时，，
当时，；
如图，当时，且，则四边形为矩形，

，
∽，
，
即，
，
，，
，
；
点由向运动，经过点，
连接，作于点，

，
，
同理，
，
．
，
是的中垂线，
，
，
，
；
点由向运动，经过点，
如图，连接，作于点，
点由向运动，
，
同理可得，
，
，
，
综上，或．
 

【解析】分或，分别表示的长；
根据∽，求得，从而得出，的长，利用勾股定理可得，从而求出面积；
分点由向运动或点由向运动，连接，作于点，利用三角函数表示出，，利用勾股定理表示出的长，根据列出方程即可；
本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，化动为静，同时注意分类是解决动点问题常用的方法．
 

26.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，．
抛物线经过、两点，
，
解得．
二次函数的解析式为：．
，．
，，
．
，
，
，，
，
∽，
：：：：：：，
设的横坐标为，则，
，

的周长为：，
当时，的周长的最大值为．
存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：

由可知，，点的横坐标为，
由知，
当为边，且点在点的左侧时，有，
，即，

当点在点右侧时，，
，即，
；
当为对角线时，，
，即，

综上，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或
如图，在轴的正半轴取，使得，连接，

，，
，
，
∽，
：：，
，
，
当，，三点共线时，的值最小．
此时．
的最小值为．
 

【解析】由直线可求出点和点的坐标，代入抛物线，可得二次函数解析式；
根据题意可知∽，设点的横坐标为，则可表达点的坐标，由此可得出的长，进而表达的周长，利用二次函数的性质可得出结论；
在的基础上可求出点的坐标，点和点是定点，线段可以是边也可以是对角线，进行讨论，利用点的平移求解即可；
在轴正半轴截取，使，连接，可证得∽，把进行转化，可知，当，，三点共线时，的值最小．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数背景下三角形最值问题，平行四边形存在性问题，最值问题等内容，是道综合性比较强的题目，在解题时注意需要分类讨论，求最值问题的关键是构造出对应的线段．