2021-2022学年甘肃省兰州第一中学高二下学期期中考试数学理科试题（解析版）

兰州一中2021-2022-2学期高二年级期中考试试卷

数学（理科）

说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上.交卷时只交答题卡.

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1. 复数（i为虚数单位）的共轭复数的虚部为（       ）

A. －1 B. 1 C.  D. i

【答案】B

【解析】

【分析】先求出共轭复数，再求出虚部即可.

【详解】由题意知：，则虚部为1.

故选：B.

2. 在用反证法证明“已知，，且，则，中至多有一个大于0”时，假设应为（    ）

A. ，都小于0 B. ，至少有一个大于0

C. ，都大于0 D. ，至少有一个小于0

【答案】C

【解析】

【分析】反证法，应假设命题结论的否定.

【详解】“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“，都大于0”．

故选：C

3. 函数y＝x2cos 2x的导数为（    ）

A. y′＝2xcos 2x－x2sin 2x

B. y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x

C. y′＝x2cos 2x－2xsin 2x

D. y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x

【答案】B

【解析】

【分析】利用复合函数的导数运算法则计算即可．

【详解】y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x

故选：B

4. 函数的单调递减区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出函数的定义域，利用导数研究函数的单调性，从而得解.

【详解】函数的定义域为，

，

，解得，

所以函数的单调递减区间为.

故选：C.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.函数与导数的问题中，要注意定义域优先法则的应用.

5. 用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：先将阴影部分的面积用定积分表示∫bcf（x）dx﹣∫abf（x）dx，然后根据定积分的意义进行选择即可．

详解：

由定积分的几何意义知

区域内的曲线与X轴的面积代数和．

即∫bcf（x）dx﹣∫abf（x）dx

选项D正确．

故选D．

点睛：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．注意积分并不等于面积，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数.

6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（    ）

A. 7种 B. 12种 C. 种 D. 种

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得每封信都有4种投法，再由分步乘法计数原理可求出结果

【详解】由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，

所以由分步乘法计数原理可得共有种投法，

故选：D

7. 设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.

【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.

【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.

8. 已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将题目转化为函数的图像与的图像只有一个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出的取值范围.

【详解】由函数只有一个零点，等价于函数的图像与的图像只有一个交点，

，求导，令，得

当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；故当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值；

作出函数图像，如图所示，

由图可知，实数的取值范围是

故选：B

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种

【答案】B

【解析】

【分析】先将5名志愿者分为4组，然后再将4组分到4个项目，再根据分布乘法原理即可得解.

【详解】先将5名志愿者分为4组，有种分法，

然后再将4组分到4个项目，有种分法，

再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有种.

故选：B.

10. （1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为

A. 12 B. 16 C. 20 D. 24

【答案】A

【解析】

【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．

【详解】由题意得x3的系数为，故选A．

【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．

11. 下列说法正确的是：

①设函数可导，则；

②过曲线外一定点做该曲线的切线有且只有一条；

③已知做匀加速运动的物体的运动方程是米，则该物体在时刻秒的瞬时速度是米秒；

④一物体以速度（米/秒）做直线运动，则它在到秒时间段内的位移为米；

⑤已知可导函数，对于任意时，是函数在上单调递增的充要条件．

A. ①③ B. ③④ C. ②③⑤ D. ③⑤

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了导数的概念，导数的几何意义，以及导数的单调性，根据条件逐项判断即可．

【详解】对于选项①，设函数则，故①错．

对于选项②，过曲线外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．

对于选项③，已知做匀速运动物体的运动方程为，则，所以，故③正确．

对于选项④，一物体以速度做直线运动，则它在到时间段内的位移为，故④正确．

对于选项⑤，已知可导函数，对于任意时，是函数在上单调递增的充分不必要条件，例如，故⑤错．

故选B．

【点睛】本题考查了导数的概念，导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

12. 已知，，若成立，则实数取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由奇偶性的定义得出函数为偶函数，利用导数知函数在区间上为增函数，由偶函数的性质将不等式变形为，利用单调性得出，从而可解出实数的取值范围.

【详解】函数的定义域为，关于原点对称，

，函数为偶函数，

当时，，，

则函数在上为增函数，

由得，

由偶函数的性质得，

由于函数在上为增函数，则，即，

整理得，解得，因此，实数的取值范围是.

故选：B.

二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）

13. ___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据定积分的几何意义及性质计算即可.

【详解】，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，

所以，

而，

所以．

故答案为：.

14. 在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______．

【答案】243

【解析】

【分析】由二项式系数的性质可求，再利用赋值法求各项系数和.

【详解】因为二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，

所以，故，

取可得二项式的展开式中各项系数和为，即243.

故答案为：243.

15. 若函数在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意，，…，都有，若函数在区间上是凸函数，则在△中，的最大值是______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据题设凸函数的性质可得即可求最大值，注意等号成立条件.

【详解】由题设知：，

∴，当且仅当时等号成立.

故答案为：.

16. 在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.

【答案】.

【解析】

【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.

【详解】设点，则.又，

当时，，

点A在曲线上的切线为，

即，

代入点，得，

即，

考查函数，当时，，当时，，

且，当时，单调递增，

注意到，故存在唯一的实数根，此时，

故点的坐标为.

【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

17. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【详解】分析： 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根．求出的导数，当 时，直接验证；当时，利用导数研究函数 的单调性可得，要使 有两个不同解，只需要

解得即可．

详解： 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根．

当 时， ，则函数 在区间单调递增，因此 在区间上不可能有两个实数根，应舍去．
当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，此时函数单调递增；
令 ，解得 ，此时函数单调递减．
∴当时，函数取得极大值．要使在区间上有两个实数根，
则，解得．
∴实数 的取值范围是（.

点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

三．解答题（共5小题，满分65分）

18. 设为虚数单位，，复数，.

（1）若是实数，求的值；

（2）若是纯虚数，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用复数的乘法化简，再根据是实数求解；

（2）先利用复数的除法化简，再根据是纯虚数求解.

【小问1详解】

解：，

因为是实数，

则，

解得.

【小问2详解】

，

因为为纯虚数，

则，

解得.

所以.

19. 用分析法证明．

【答案】见证明

【解析】

【分析】用分析法证明，直到推出显然成立的结论，即可.

【详解】证明：要证，只要证

只要证

只要证

只要证

只要证显然成立，故原结论成立．

【点睛】本题主要考查分析法证明不等式，只需熟记分析法的一般步骤即可，属于常考题型.

20. 数列满足，.

（1）试求出，，；

（2）猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.

【答案】（1）,,

（2），证明见详解.

【解析】

【分析】（1）由题意得,在中分别令可求结果；

（2）由数列前四项可猜想运用数学归纳法可证明.

【详解】解：（1）,

当时,,,

当时,,,

当时,,,

所以,,

（2）猜想下面用数学归纳法证明：

假设时,有成立,

则当时,有,

故对成立.

【点睛】该题考查由数列递推式求数列的项、通项公式,考查数学归纳法,考查学生的运算求解能力.

21. 已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值

【解析】

【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.

试题解析：（Ⅰ）因为，所以.

又因为，所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）设，则.

当时，，

所以在区间上单调递减.

所以对任意有，即.

所以函数在区间上单调递减.

因此在区间上的最大值为，最小值为.

【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.

22. 设函数，e为自然对数的底数．

（1）求f（x）的单调区间：

（2）若ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立，求正实数a的取值范围．

【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为，；（2）0＜a．

【解析】

【分析】（1）求导得，求得、的解集即可得解；

（2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立⇔x﹣lnx，由（1）可得当x＝1时，函数y取得极大值，令g（x）＝x﹣lnx,(x>0)，利用导数研究其单调性即可得出x﹣lnx≥1．进而得出a的取值范围．

【详解】（1）函数，e为自然对数的底数，

则，

令可得，，

∴当，时，，单调递减；

当时，，单调递增；

∴的单调增区间为，单调减区间为，；

（2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立⇔x﹣lnx，x∈(0,+∞),

由（1）可得当x=1函数y取得极大值，

令g(x)= x﹣lnx,(x>0)，g′(x)= 1，

可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．

∴x﹣lnx≥g(1)=1，

当时，即为函数y的最大值，

∴x﹣lnx成立⇔1，解得a；

当时，，不合题意；

综上所述，0<a．

【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．