甘肃省会宁县第一中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题 Word版含解析

会宁一中2020届高三级第一次月考

数学（理科）试题

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合是1～20以内的所有素数，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．

【详解】A＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，B＝{x|﹣8≤x≤8}；

∴A∩B＝{2，3，5，7}．

故选B．

【点睛】本题考查素数的定义，列举法、描述法表示集合的定义，以及交集的运算．

2.下列函数中，在区间上为增函数是(     )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

选项A、B可利用复合函数的单调性判断，选项C利用分段函数进行单调性判断，选项D为对勾函数，直接利用其性质即可判断其单调性

【详解】选项A中，函数在上为减函数，不符合题意；

选项B中，函数在上为增函数，符合题意；

选项C中，函数在上为减函数，在上为增函数，不符合题意；

选项D中，函数在上为减函数，在上为增函数，不符合题意．

故选B．

【点睛】规律方法：复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同增异减”．

3.命题“” 的否定是（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由全称命题否定是特称命题即可得到答案．

【详解】由于全称命题的否定是特称命题，所以命题“” 的否定是“”；

故答案选B

【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特殊命题的否定关系，属于基础题．

4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选A.

【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.

5.函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】 是奇函数，故 ；又 是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.

【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为

，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.

6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用指数函数与对数函数的单调性即可比较大小.

【详解】，

∴

故选A

【点睛】本题考查实数的大小比较，考查单调性的应用，涉及指数与对数函数的单调性，属于基础题.

7.设，则“”是“”的（   ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

根据指数函数的单调性可证明充分性与必要性均成立.

【详解】在上递减，

若充分性成立，

若，则，

必要性成立，

即“”是“”的充要条件，故选C.

【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

8.函数在区间（0，3）上的最大值为（    ）

A.  B. 1 C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

求导判断单调性求最值即可

【详解】，

当 ，

则在（0，e）上单调递增,在（e,3）上单调递减.

故极大值点，又在区间（0，3）上有唯一极大值点，故为最大值点，所以最大值为

故选A

【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，准确计算是关键，是基础题

9.若函数的最小值为，则实数的取值范围为（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得恒成立，可解得a的范围．

【详解】当时，f（x）＝，单调递减，∴f（x）最小值为f(2)=1，

当x＞2时，f（x）＝单调递增，若满足题意，只需恒成立，

即恒成立，

∴，∴a≥0，

故选D．

【点睛】本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，考查了指对函数的单调性，属于中档题．

10.在同一直角坐标系中，函数且图象可能是（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.

【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.

11.已知函数若存在实数满足，其中，则的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由二次函数的性质可得，数形结合求出的取值范围，可得的取值范围，从而可得结果.

【详解】

画出 图象，如图，

，

由二次函数的性质可得，

由图可知，，

，

，

，

，

即的取值范围是，故选B.

【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查了二次函数指数函数的性质以及数形结果思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

12.设min{m，n}表示m，n二者中较小的一个，已知函数f(x)＝x2＋8x＋14，g(x)＝(x>0)，若∀x1∈[－5，a](a≥－4)，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则a的最大值为

A. －4 B. －3 C. －2 D. 0

【答案】C

【解析】

【分析】

先求得函数的解析式，并求出它的值域.根据二次函数图像的特点，对分成和两类讨论，求出使得的值域是值域的子集成立的的范围，由此求得的最大值.

【详解】令，解得，故当时，，当时，，所以.所以当时，函数的值域为，当时，的值域为，所以的值域为.函数，它的图像开口向上，对称轴为，则当时，函数在上的值域为，是的子集，符合题意.当时，函数在上的值域为，它是的子集，故，解得.综上所述，满足题意的的取值范围是.所以的最大值为，故选C.

【点睛】本小题主要考查新定义最小值函数的理解，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于中档题.

二、填空题。

13.已知扇形的圆心角为，半径为，则圆心角所对的弧长为____

【答案】3

【解析】

【分析】

直接利用弧长公式即可计算．

【详解】由弧长得：

故答案为3

【点睛】本题考查了扇形弧长的应用，根据公式代入求出是解题关键，属于基础题．

14.已知函数，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

由时，得到函数是周期为1的函数，可得，即可求解．

【详解】由函数，可得当时，满足，

所以函数是周期为1的函数，所以．

【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，以及函数的周期性的应用，其中解答中得到函数的周期性，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

15.设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

【答案】    (1). -1;    (2). .

【解析】

【分析】

首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.

【详解】若函数为奇函数,则，

对任意的恒成立.

若函数是上的增函数,则恒成立,.

即实数的取值范围是

【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.

16.已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____．

【答案】4038.

【解析】

【分析】

由函数图象的对称性得：函数图象与函数图象的交点关于点对称，则，,即，得解．

【详解】由知：

得函数的图象关于点对称

又函数的图象关于点对称

则函数图象与函数图象的交点关于点对称

则

故，

即

本题正确结果：

【点睛】本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知

(1)求的值;

(2)求的值;

【答案】（1）8；（2）

【解析】

试题分析：(1)利用三角函数基本关系式，弦化切，求值计算；(2)先利用三角函数诱导公式，化简代数式，然后利用同角三角函数基本关系式，求值计算.

试题解析：(1)===,

(2)====

18.已知集合，集合.

(1)若，求实数的取值范围；

(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）不存在实数，使得.．

【解析】

试题分析：（1）依据题设中的集合包含关系分或类建立不等式进行求解；（2）依据集合相等建立方程组求解．

解：(1)因为，所以集合可以分为或两种情况来讨论：

当时，.

当时，得.

综上，.

(2)若存在实数，使，则必有，无解.

故不存在实数，使得.

19.已知函数，.

（1）若，求函数的单调减区间；

（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的范围.

【答案】（1）（2）a≥﹣2

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函的递减区间即可；

（2）问题等价于在x∈（0，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．

【详解】解（1）f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a）

由f'（x）＜0且a＜0得：

∴函数f（x）的单调减区间为

（2）依题意x∈（0，+∞）时，不等式2xlnx≤f'（x）+a2+1恒成立，

等价于在x∈（0，+∞）上恒成立．

令

则

当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增

当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减

∴当x＝1时，h（x）取得最大值h（1）＝﹣2

故a≥﹣2

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．

20.已知，且，设函数在上单调递减，函数在上为增函数，为假，为真，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】

【分析】

当命题分别为真时，分别求出的范围，由条件得到为一真一假，再根据集合运算求实数的取值范围.

【详解】当真时，；当为真时，，

因为为假，为真，所以或

所以或

所以.

【点睛】本题考查复合命题的真假判断及应用，解题时要认真审题，注意指数函数和二次函数性质的灵活运用.

21.已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；

【答案】(1) ； (2)

【解析】

【分析】

（1）求函数的导数，利用导数的几何意义求切线方程即可．（2）求函数的导数确定f（x）在x＝1处取得极值，则在区间（m，m）内，建立不等式关系进行求解即可．

【详解】（1）

故切线的斜率为，又

∴切线方程为：，即

（2）当时，当时，

在（0，1）上单调递增,在（1.+）上单调递减．

故在处取得极大值．

∵在区间上存在极值，

∴且，解得

【点睛】本题主要考查导数的几何意义，函数的极值，求函数的导数，利用函数与导数之间的关系是解决本题的关键．

22.已知函数．

（1）若函数与的图象上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；

（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）先根据原点对称，将问题等价为方程在有解，令，，利用导数研究函数的单调性以及最值即可得出结果．（2）等价于，再根据极值点条件列函数关系式，最后利用导数研究对应函数的单调性，即可得证.

【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点，

即的图像与函数的图像有交点，

即在上有解.

即在上有解.

设，（），则

当时，为减函数；当时，为增函数，

所以，即.

（2）证明：．

可得，

，，

∵在上存在两个极值点，，且，

∴，在上存在两个零点，，且，

∴，．

∴，．

∴，

令，则，

要证明：．即证明：，

即证明：．

令，．

．

∴函数在上单调递增．

∴，即，成立．

∴成立．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分析法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．