2021-2022学年甘肃省兰州市城关区树人中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年甘肃省兰州市城关区树人中学七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共36分）

1. 下列算式中，正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列说法正确的是

A. 有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
B. 平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 同一平面内两条不平行的线段一定相交
D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等

3. 华为作为世界顶级科技公司，设计的麒麟芯片，拥有领先的制程和架构设计，用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，下面哪个条件能判断的是

A.
B.
C.
D.
 

5. 如果一个角的补角是，那么这个角的余角的度数是

A.  B.  C.  D.

6. 将一块直角三角尺按如图所示的方式放置，其中点、分别落在直线、上，若，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为

A.  B.  C.  D.

8. ，括号内应填

A.  B.  C.  D.

9. 某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是表中的数据：

设鸭的质量为千克，烤制时间为估计当千克时，的值约为

A.  B.  C.  D.

10. 若，则的值为

A.  B.  C.  D.

11. 如图，矩形的周长是，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么矩形的面积是

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在长方形中，点从点出发沿着四边按方向运动，开始以每秒个单位匀运动，秒后变为每秒个单位匀速运动，秒后又恢复为每秒个单位匀速运动．在运动过程中，的面积与运动时间的关系如图所示．则的值为

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共4小题，共12分）

13. 若，，则______．
14. 已知是完全平方式，则______．
15. 如图，点是线段上的一点，且，分别以、为边作正方形，设，这两个正方形的面积之和，则关于的关系式为______．
    
     

16. 如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是______．

三．解答题（本题共12小题，共72分）

17. 计算：．
18. 计算：．
19. 用乘法公式简便运算：
    ；
    ．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 尺规作图：如图，已知点为直线外一点，求作直线，使不写作法，保留作图痕迹
22. 如图，点，分别在，上，，垂足为点，，求证：．

23. 贾老师在上代数式的化简求值这节课时，在上打出这样一道题：已知代数式，且，求该式的值，一部分同学一看题纳闷了，只给了的值的值不知道怎么求呀？一同学经过化简后立即反驳到：“此式的取值与无关”，你觉得这位同学说得对吗？请说明理由．
24. 完成下列证明：
    如图，已知：平分，，，
    求证：平分．
    证明：平分已知
    角平分线的定义
    已知
    ____________
    ______
    已知
    ____________
    ______
    ______等量代换
    平分______

25. 如图，，，，平分，求的大小．
    
     

26. 小明准备和他的父亲一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，父亲先跑当小明出发时，父亲已经距起点米了，他们距起点的距离米与小明出发的时间秒之间的关系如图所示不完整根据图中所给的信息，解答下列问题：
    在上述变化过程中，自变量是______ ，因变量是______ ．
    小明在第一次追上父亲前，父亲的速度为______ 米秒，小明的速度为______ 米秒．
    当小明第一次追上父亲时，求小明距起点的距离．

27. 阅读材料我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决些图形问题．
    在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形．并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图所示的一个大正方形．
    理解应用
    观察图，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
    拓展升华
    利用中的等式解决下列问题．
    已知，，求的值；
    已知，求的值．

28. 已知，点为平面内一点，于．
    如图，直接写出和之间的数量关系；
    如图，过点作于点，求证：；
    如图，在的条件下，点、在上，连接、、，平分，平分，若，，求的度数．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．
直接利用分式的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了分式的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、有公共顶点并且相等的两个角不一定是对顶角，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，故此选项符合题意；
C、同一平面内两条不平行的线段不一定相交，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：．
分别利用对顶角的定义、垂线的性质、平行线的判定和性质分别分析得出即可．
此题主要考查了对顶角的定义、垂线的性质、平行线的判定和性质，正确把握相关知识是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】

【解析】解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故选：．
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】本题考查余角和补角的概念，和为 度的两个角互为余角，和为 度的两个角互为补角．根据互余和互补的概念计算即可．
【解答】解： ，
那么这个角的余角的度数是 ．
故选 B ．   

6.【答案】

【解析】解：如图，
，
，
，
．
故选：．
根据平行线的性质得出，进而利用互余解答即可．
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
 

7.【答案】

【解析】解：每升高千米温度下降，
当高度为时，降低，
气温与高度千米之间的关系式为．
故选：．
气温地面温度降低的气温，把相关数值代入即可．
此题主要考查了一次函数关系式；得到某一高度气温的表示方法是解决本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，
应填：．
故选：．
根据平方差公式的逆用找出这两个数写出即可．
本题主要考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：从表中可以看出，烤鸭的质量每增加千克，烤制的时间增加分钟，由此可知烤制时间是烤鸭质量的一次函数．
设烤制时间为分钟，烤鸭的质量为千克，与的一次函数关系式为：，
，
解得，
所以．
当千克时，，约为，
故选：．
观察表格可知，烤鸭的质量每增加千克，烤制时间增加分钟，由此可判断烤制时间是烤鸭质量的一次函数，设烤制时间为分钟，烤鸭的质量为千克，与的一次函数关系式为：，取，代入，运用待定系数法求出函数关系式，再将千克代入即可求出烤制时间．
本题考查了的是函数关系式，解题的关键是根据题目的已知及图表条件得到相关的信息．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了代数式求值和完全平方公式： ，要注意把 看成一个整体．根据完全平方公式的逆用，先整理出完全平方公式的形式，再代入数据计算即可．
【解答】
解：原式 ，
，
，
．
故选 A ．   

11.【答案】

【解析】解：设，，
正方形和的面积之和为
，
矩形的周长是
，
，
，
，
矩形的面积为：，
故选：．
设，，根据题意列出方程，，利用完全平方公式即可求出的值．
本题考查正方形与矩形的性质，解题的关键是设，，利用完全平方公式求出的值．
 

12.【答案】

【解析】解：从图象可知，当时，面积不变，
即时，点从点运动到点，且这时速度为每秒个单位，
，
，
当时点运动到点，，
，即，
，
长方形的长为，宽为，
当时，，
即点此时在的中点处，
，
，
，
，
，
当时，，
，，
，
故选：．
由图象可知，的长度，当时，，求出的长；当时，，则点此时在的中点处，从而得出和的值，当时，，从而求得的值．
本题是动点问题的函数的综合题，重点考查了动点问题的函数图象，考查了学生观察图象的能力，解题的关键是函数图象对应动点的位置关系．
 

13.【答案】

【解析】解：当，时，
．
故答案为：．
利用同底数幂的除法的法则进行求解即可．
本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

14.【答案】或

【解析】解：是完全平方式，
而，
或，
或．
故答案为：或．
由于是完全平方式，而，然后根据完全平方公式即可得到关于的方程，解方程即可求解．
本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
 

15.【答案】

【解析】解：设，则，由题意得，
，
故答案为：，
根据正方形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查函数的表示方法，掌握正方形的面积的计算方法是解决问题的前提．
 

16.【答案】

【解析】解：过点作，如图，

，
，
，
．
，
．
故答案为：．
过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可求，根据平角的定义可求，根据直角三角形的性质可求，再根据两直线平行，同旁内角互补可求．
考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
 

17.【答案】解：

．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的减法，有理数的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式．

【解析】原式第一项利用平方差公式计算，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项利用完全平方公式化简，去括号合并即可．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式


．

【解析】运用平方差公式计算即可；
运用完全平方公式计算即可．
本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟记相关公式的结构特点是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：


，
，
，，
，，
当，时，
原式

．

【解析】先根据完全平方公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，算除法，求出、的值，最后代入求出答案即可．
本题考查了绝对值、偶次方的非负性，整式的化简求值等知识点，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

21.【答案】解：如图，直线即为所求作．
 

【解析】作直线交于，作即可．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：已知，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
已知，
垂直的定义，
等量代换，
平角的定义，
等式性质，
已知，
同角或等角的余角相等，
内错角相等，两直线平行．

【解析】先证得，由得，利用平角定义得出，结合可以得出，从而得证．
本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．
 

23.【答案】解：这位同学说的对，
理由：



，
此式的取值与无关，
这位同学说的对．

【解析】先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

24.【答案】  两直线平行，内错角相等  等量代换    两直线平行，内错角相等  两直线平行，同位角相等    角平分线的定义

【解析】证明：平分已知
角平分线的定义
已知
两直线平行，内错角相等
 等量代换
   已知  
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同位角相等
等量代换
平分  角平分线的定义 
故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义．
根据平行线的性质和平行线的判定及等量代换等来完成解答即可．
本题考查了平行线的性质和平行线的判定在几何证明中的应用，明确相关性质及定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，
，
平分，
，
，
，
．

【解析】求出，根据角平分线定义求出，根据平行线性质得出，即可求出答案．
本题考查了角平分线定义和平行线性质的应用，注意；两直线平行，同旁内角互补．
 

26.【答案】小明出发的时间  距起点的距离  

【解析】解：观察函数图象可得出：自变量为小明出发的时间，因变量为距起点的距离．
故答案为：小明出发的时间；距起点的距离；
父亲的速度为：米秒；
小明的速度为：米秒．
故答案为：；；
设秒时，小明第一次追上父亲，
根据题意得，解得，
则米，
所以当小明第一次追上父亲时，小明距起点的距离为米．
观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变量；
根据速度路程时间，即可分别算出父亲以及小明的速度；
设秒时，小明第一次追上父亲，利用路程相等得到，解方程求出，然后计算即可．
本题考查了函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．会利用函数图象获取信息．
 

27.【答案】解：图中阴影部分的面积，
图中阴影部分的面积，
．
当，时，代入中的等式，
得，
解得．
，且，
根据中的等式，
得，
．

【解析】图中阴影部分面积大正方形的面积减去两个长方形的面积，阴影部分的面积又两个正方形的面积的和，即可得到等式；
根据中的公式，将，代入即可；
根据中的公式，将，且代入即可．
本题考查了完全平方公式，灵活运用该公式是解决本题的关键．
 

28.【答案】解：如图，与的交点记作点，
，
，
，
，
；
如图，过点作，
，
，即，
又，
，
，
，，
，
，
；
如图，过点作，
平分，平分，
，，
由可得，
，
设，，则
，，，，
，
，，
，
由，可得
，
由联立方程组，解得，
，
．

【解析】根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
先过点作，根据同角的余角相等，得出，再根据平行线的性质，得出，即可得到；
先过点作，根据角平分线的定义，得出，再设，，可得，根据，可得，最后解方程组即可得到，进而得出．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角补角相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．