第七讲  平行四边形的判定

【知识梳理】

（一）平行四边形的判定

⒈平行四边形的判定方法：

注意：（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形。

（2）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形。

（3）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形。                     

（二）三角形的中位线

      1.三角形中位线的定义

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

注意：（1）三角形的中位线与中线的区别：三角线的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形一个顶点和其对边中点的线段。

（2）任意一个三角形都有3条中线和3条中位线。

2.三角形中位线定理

【经典例题】

【题型一、三角形中位线定理应用】

【例1】如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则四边形ADEF的周长为（   ）

A.8     B.10     C.12     D.16

【例2】如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N。求证：四边形PQMN是平行四边形。

【题型二、平行四边形的判定】

【例1】如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC.

(1)  求证：△ABC≌△DFE；

(2)  连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形。

【题型三、平行四边形性质与判定的综合应用】

【例1】如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D、E、G分别在BC、AB、AC上，且EG//BC，DE//AC，延长GE至点F，使得BE=BF.

（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；

（2）当∠C=45°，BD=2时，求D、F两点间的距离。

【当堂检测】

1、如图，点D、E分别是△ABC的边BA、BC的中点，AC=3，则DE的长为（  ）

A.2      B.      C.3      D.

       图1                             图2

2、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在DE的延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（  ）

A.∠B=∠F     B.∠B=∠BCF     C.AC=CF     D.AD=CF

3、如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG=2cm，则BC的长度是________cm.

4、在平面直角坐标系中有三点A(1，1)、B（1,3）、C（3,2），再找一个点D，使这四个点构成平行四边形，则点D的坐标为_____________.

5、如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为F,E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC。

（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；

（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长。

【课后练习】

1、小峰不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块玉原来相同的玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（   ）

A.①②     B.①④     C.③④     D.②③

         图1                       图2

2、如图，要测定被池塘隔开的A、B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC、BC，并分别找出它们的中点D、E，连接ED，现测得AC=30m,BC=40m，DE=24m，则AB=(    )

A.50m      B.48m     C.45m     D.35m

3、如图，四边形ABCD中，AD//BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，请你只添加一个条件:_____________,使得四边形BDFC为平行四边形。

    图3                             图4

4、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=_________.

5、如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2.

（1）求证：四边形BCED是平行四边形；

（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长。