寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第七讲 二次函数与面积问题（教师版）

第七讲   二次函数与面积问题

明确目标﹒定位考点

二次函数是初中代数的重要内容之一，中考通常放在压轴题的位置来考查，主要考查二次函数的图像及性质（解析式、增减性、最值），并且通常以二次函数图像抛物线为背景，综合考查函数图像与几何图形性质。占比15分左右。

热点聚焦﹒考点突破

考点1  直接求三角形的面积

【例1】            若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为________。

【变式训练1】 已知二次函数与x轴交于AB两点，顶点为C，则△ABC的面积为________。

【规律方法】直接套三角形面积公式。

考点2 分割法求图形的面积

【例2】）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线交于A，B两点．

（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；

（2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；

【变式训练2】已知二次函数的图像与x轴的交点从右向左为A、B两点，与y轴交点为C，顶点为D，求四边形ABCD的面积。

【规律方法】分割法求图形面积适于斜三角形及四边形。三角形分割成两个底和高与坐标轴平行（或垂直）的三角形，四边形分割成几个三角形。

考点3  扩充法求图形面积

【例3】已知：如图抛物线过点A（0,3），抛物线与抛物线关于y轴对称，抛物线的对称轴交轴于点B，点Q是第四象限内抛物线上的一点。

（1）求出抛物线的解析式； 

（2）是否存在点Q使得△QAB的面积最大？若存在，请求出△QAB的最大面积；若不存在，说明理由.

【变式训练3】如图， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

【规律方法】 扩充法求图形面积即把原图扩为可求的图形，再用减法求所求图形的面积。

考点4  动态问题与面积

【例4】如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米。

（1）当t=4时，求S的值

（2）当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值

【变式训练4】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值。

【规律方法】  动态问题中求图形的最大面积，利用二次函数的最值性质来解决。

归纳总结﹒思维升华

抛物线背景下，常见的有以下几何图形：

注意：

（1）       取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边。

（2）       三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解。（即采用割补法的方法把它分解成易于求出面积的图形）

（3）       在求图形的面积时常常使用到以下公式：

抛物线解析式：

抛物线与x轴两交点的距离AB=

抛物线顶点坐标

抛物线与y轴交点（0，c）

专题训练﹒对接中考

一、解答题。

1.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）

（1）求c的值；

（2）求a的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0<a<1时，求证：S1- S2为常数，并求出该常数。

2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C，A点在原点的左侧，B点的坐标为。点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方。

（1）求这个二次函数的表达式。

（2）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积。

作业：

一、解答题。

1.已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；

（2）如图，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；

2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．

（1）已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；求此抛物线的表达式与点D的坐标；

（2）若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；

参考答案：

热点聚焦﹒考点突破

【例1】解：由

当x=0时，y=6.

【变式训练1】解：

【例2】解：（1）∵当x=﹣2时，y=（﹣2）k+2k+4=4．

∴直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（﹣2，4）．∴点C的坐标为（﹣2，4）．

（2）∵k=﹣，∴直线的解析式为y=﹣x+3．

联立，解得：或．

∴点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（2，2）．

过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，过点A作AM⊥PQ，垂足为M，

过点B作BN⊥PQ，垂足为N，如图1所示．

设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a．∴yP=a2，yQ=﹣a+3．

∵点P在直线AB下方，∴PQ=yQ﹣yP=﹣a+3﹣a2

∵AM+NB=a﹣（﹣3）+2﹣a=5．

∴S△APB=S△APQ+S△BPQ=PQ•AM+PQ•BN=PQ•（AM+BN）=（﹣a+3﹣a2）•5=5．

整理得：a2+a﹣2=0．解得：a1=﹣2，a2=1．当a=﹣2时，yP=×（﹣2）2=2．

此时点P的坐标为（﹣2，2）．

当a=1时，yP=×12=．此时点P的坐标为（1，）．

∴符合要求的点P的坐标为（﹣2，2）或（1，）．

【变式训练2】解：四边形ABCD的面积为

【例3】解：（1）把代入中，   

（2）过点Q作X轴、Y轴的平行线，点A作X轴平行线，点B 作Y轴的平行线，相交于点C、D、E；

设，

则，，

点Q在第四象限

当时，有最大面积为

【变式训练3】解：（1）由，得A(0,3)，C(4,0)．

由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8．因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．

将B(－4,0)、D(8,3)分别代入，得

解得，c＝－3．所以该二次函数的解析式为                          

（2）如图，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．

由于S△APQ＝

S△ACD＝，

所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝．

所以当AP＝时，四边形PDCQ面积的最小值是 .

【例4】解：（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合，重合部分是＝

（2）当4≤t≤6时，如图，则BQ=t—4，CR=6—t,由△PQR∽△BQM∽△CRN

       得：

      当6≤t≤10时，如图，BR=10-他，BK⊥RK，且∠KRB=30°

当t=6时，

【变式训练4】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，

∴，[来源:学科网] 解得 ， ∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3

∵﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， ∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．

（2）∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∴设AD为解析式为y=kx+b，有 ，解得 ，∴AD解析式：y=2x+6，

∵P在AD上，∴P（x，2x+6），

∴S△APE=•PE•yP=•（﹣x）•（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），

当x=﹣=﹣ 时，S取最大值．

专题训练﹒对接中考

1.解：(1)将点C（0，1）代入得

 （2）由(1)知，将点A（1，0）代入得

  ， ∴    ∴ 二次函数为

   ∵二次函数为的图像与x轴交于不同的两点

   ∴ ，而

   ∴ 的取值范围是 且

   (3)证明： ∵   ∴ 对称轴为

∴

把代入得

，解得    ∴

∴

          ＝

          ＝＝1

∴为常数，这个常数为1。

2.解：（1）将B、C两点的坐标代入得   

解得  所以二次函数的表达式为

（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设

易得，直线BC的解析式为.  则Q点的坐标为.

         =

当时，四边形ABPC的面积最大

此时P点的坐标为，四边形ABPC面积的最大值为．

作业：

1.解：（1）∵抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，

∴点A的坐标为（﹣1，﹣2）．

∵抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2经过点B（﹣2，﹣1），∴a（﹣2+1）2﹣2=﹣1．

解得：a=1．∴抛物线C1的解析式为：y=（x+1）2﹣2．

（2）∵抛物线C2是由抛物线C1向下平移2个单位所得，

∴抛物线C2的解析式为：y=（x+1）2﹣2﹣2=（x+1）2﹣4．

设直线AB的解析式为y=kx+b．

∵A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣1），∴解得：

∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣3．

联立 解得：或．∴C（﹣3，0），D（0，﹣3）．

∴OC=3，OD=3．

过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点A作AF⊥y轴，垂足为F，

∵A（﹣1，﹣2），∴AF=1，AE=2．

∴S△OAC：S△OAD=（OC•AE）：（OD•AF）=（×3×2）：（×3×1）=2．

∴S△OAC：S△OAD的值为2．

2.解（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），

∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；

∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．如答图1，连接AC、BC．

由勾股定理得：AC=，BC=．

∵AC2+BC2=AB2=100，∴∠ACB=90°，∴AB为圆的直径．

由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，∴D（0，4）．

（2）设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），

∴，解得，∴直线BD解析式为：y=﹣x+4．

设M（x，x2﹣x﹣4），

如答图2﹣1，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，﹣x+4）．

∴ME=（﹣x+4）﹣（x2﹣x﹣4）=﹣x2+x+8．

∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME（xE﹣xD）+ME（xB﹣xD）=ME（xB﹣xD）=4ME，

∴S△BDM=4（﹣x2+x+8）=﹣x2+4x+32=﹣（x﹣2）2+36．

∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；