高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率单元测试测试题

10.1 随机事件与概率

第I卷 选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2021·全国·高一课时练习）若，则互斥事件和B的关系是（       ）

A． B．A，B是对立事件

C．A，B不是对立事件 D．A=B

【答案】B

【解析】

【分析】

根据概率性质，，即可判断与的关系.

【详解】

由题意，事件与是互斥事件，则，

则，是对立事件.

故选：B

2．（2022·天津市建华中学高一阶段练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

合理设出事件，从而得到事件A，B，C三者的关系.

【详解】

记事件{1枚硬币正面朝上}，{2枚硬币正面朝上}，{3枚硬币正面朝上}，则，，

显然，，，C不含于A.

故选：D

3．（2021·全国·高一课时练习）从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都属于合格品）”的概率为（       ）

A．0.7 B．0.65 C．0.3 D．0.05

【答案】D

【解析】

【分析】

利用概率的加法公式以及对立事件的概率即可求解.

【详解】

“抽到次品”的概率：

.

故选：D

4．（2022·福建省厦门集美中学高一期中）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（       ）．

A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥

C．A与B相等 D．

【答案】D

【解析】

【分析】

列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析各个选项即可判断作答.

【详解】

抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，

事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有：(正，反)，(反，反)，

显然事件A，事件B都含有“(正，反)”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，

因此，事件A，事件B既不互斥也不对立，A，B都不正确；

事件A，事件B中有不同的结果，于是得事件A与事件B不相等，C不正确；

由古典概型知，，所以，D正确.

故选：D

5．（2022·辽宁大连·高一期末）抛掷一枚质地均匀且各个面上分别表以数字1，2，3，4，5，6的正方体玩具.设事件A为“向上一面点数为偶数”，事件B为“向上一面点数为6的约数”，则为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据古典概型的概率公式直接计算.

【详解】

由题意得：抛掷结果有6种可能的结果，

事件即为向上一面的点数为2或4或6，

事件即为向上一面的点数为1或2或3或6，

事件即为向上一面的点数为1或2或3或4或6，

所以，

故选：D.

6．（2021·全国·高一课时练习）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（       ）

A．全是红球 B．至少有1个红球

C．至多有1个红球 D．1个红球，1个白球

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，写出事件“至少有1个白球”所包含的基本事件，根据选项即可判断和选择.

【详解】

从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，若至少有1个白球，

则其包含的基本事件是：个白球个红球，个白球；

又至多有1个红球包含的基本事件也是：个白球个红球，个白球.

故选：.

7．（2022·江西·新余市第一中学高一开学考试）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片的数字之积为偶数的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【详解】

从4张卡片上分别写有数字1，2，3，4中随机抽取2张的基本事件有：

12，13，14，23，24，34，一共6种，

其中数字之积为偶数的有：12，14，23，24，34一共有5种，

所以取出的2张卡片的数字之积为偶数的概率为，

故选：D

8．（2022·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期中）宝鸡市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

对4个垃圾桶编号，4袋垃圾编号，利用列举法结合古典概率公式计算作答.

【详解】

记“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”的垃圾桶分别为1，2，3，4，

小陈提的“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”分别为a，b，c，d，

每桶投一袋的不同投法有：

(a1，b2，c3，d4)，(a1，b2，c4，d3)，(a1，b3，c2，d4)，(a1，b3，c4，d2)，(a1，b4，c3，d2)，(a1，b4，c2，d3)，

(a2，b1，c3，d4)，(a2，b1，c4，d3)，(a2，b3，c1，d4)，(a2，b3，c4，d1)，(a2，b4，c3，d1)，(a2，b4，c1，d3)，

(a3，b1，c2，d4)，(a3，b1，c4，d2)，(a3，b2，c1，d4)，(a3，b2，c4，d1)，(a3，b4，c1，d2)，(a3，b4，c2，d1)，

(a4，b1，c3，d2)，(a4，b1，c2，d3)，(a4，b2，c3，d1)，(a4，b2，c1，d3)，(a4，b3，c1，d2)，(a4，b3，c2，d1)，共24个，它们等可能，

恰好有两袋垃圾投对的事件A有：

(a1，b2，c4，d3)，(a1，b3，c2，d4)，(a1，b4，c3，d2)，(a2，b1，c3，d4)，(a3，b2，c1，d4)，(a4，b2，c3，d1)，共6个，

所以恰好有两袋垃圾投对的概率为.

故选：D

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（       ）

A．任一事件的概率总在内

B．不可能事件的概率一定为0

C．必然事件的概率一定为1

D．概率是随机的，在试验前不能确定

【答案】ABC

【解析】

【分析】

结合概率的定义和性质逐一判断各个选项即可.

【详解】

由概率的定义及性质知，任一事件的概率总在内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值，

所以，选项A，B，C是正确的，D是错误的.

故选：ABC

10．（2021·全国·高一课时练习）袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件“两个球颜色相同”，事件“两个球颜色不同”，事件“第二次摸到红球”，事件“两个球都是红球”.下列说法正确的是（       ）

A． B．C与D互斥 C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据事件的概率、互斥事件、事件的包含关系对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】

A，由于，所以，A正确.

B，事件与事件都包括“第次是红球，第次是红球”，所以不是互斥事件，B错误.

C，由于事件“第二次摸到红球”包含了事件“两个球都是红球”，所以，C正确.

D，，，，所以，D正确.

故选：ACD

11．（2021·河北·保定市第二十八中学高一阶段练习）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（       ）

A．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为

B．事件发生的概率为

C．事件发生的概率为

D．事件发生的概率为

【答案】BD

【解析】

【分析】

列出所有的基本事件，然后可求解.

【详解】

从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，故A错误

从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有20个基本事件，如下：

抽取的两个小球标号之和大于5的有：，共10个

所以，故B正确

事件包含的基本事件有：，共7个

所以，故C错误

事件包含的基本事件有：，共10个

所以，故D正确

故选：BD

12．（2022·辽宁大连·高一期末）下列说法不正确的是（       ）

A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件

B．若A，B为两个事件，则

C．若事件A，B，C两两互斥，则

D．若事件A，B满足，则A与B相互对立

【答案】BCD

【解析】

【分析】

A. “A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；

B. ,所以该选项错误；

C. 举反例说明不一定成立，所以该选项错误；

D. 举反例说明A与B不对立，所以该选项错误.

【详解】

解：A. 若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”； “A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；

B. 若A，B为两个事件，则,所以该选项错误；

C. 若事件A，B，C两两互斥，则不一定成立，如：掷骰子一次，记向上的点数为1，向上的点数为2，向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则.所以该选项错误；

D. 抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，所以该选项错误.

故选：BCD

第II卷 非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2021·全国·高一课时练习）在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件，若记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是___________.

【答案】3件至多有2件一级品

【解析】

【分析】

根据对立事件的定义即可得到答案.

【详解】

“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件为“3件不都是一级品”，

即为“3件至多有2件一级品”.

故答案为：3件至多有2件一级品.

14．（2021·全国·高一课时练习）下列试验是古典概型的为______．

①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；

②同时掷两枚骰子，点数和为6的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④甲乙等10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．

【答案】①②④

【解析】

【分析】

根据古典概型的特点，结合每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】

因为古典概型需要满足基本事件是有限个，且每个基本事件的概率相等，

据此①②④均符合要求，③不满足等可能的要求，因为降雨受多方面因素影响.

故答案为：①②④.

15．（2022·辽宁·大连二十四中高一期末）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：

137   960   197   925   271   815   952   683   829   436   730   257

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______.

【答案】##0.25

【解析】

【分析】

根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，即可得出结论.

【详解】

这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：

137、271、436共3组，

故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：，

故答案为：.

16．（2021·重庆江津·高一开学考试）现将背面完全相同，正面分别标有数0，1，3，5的4张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数标记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则数字m，n都为奇数的概率为______________；

【答案】##0.5

【解析】

【分析】

用列举法，结合概率的计算公式直接求解即可.

【详解】

用符号表示两次的结果，可能结果如下：

共12种，

其中数字m，n都为奇数的有6种情况，

所以字m，n都为奇数的概率为，

故答案为：

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2022·湖南·高一课时练习）抛掷枚硬币，观察结果.

(1)用集合表示事件“至少枚反面朝上”；

(2)用集合表示事件“至少枚反面朝上”；

(3)用集合表示事件“恰好枚反面朝上”；

(4)计算，，并解释含义.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

(4)答案见解析

【解析】

【分析】

（1）利用列举法表示集合即可；

（2）利用列举法表示集合即可；

（3）利用列举法表示集合即可；

（4）利用列举法可表示、，结合事件的定义可得出结论.

(1)

解：反正正正，正反正正，正正反正，正正正反，反反正正，反正反正，反正正反，

正反反正，正反正反，正正反反，反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，反反反反.

(2)

解：反反正正，反正反正，反正正反，正反反正，正反正反，正正反反，反反反正，

反反正反，反正反反，正反反反，反反反反.

(3)

解：反反正正，反正反正，反正正反，正反反正，正反正反，正正反反.

(4)

解：反反正正，反正反正，反正正反，正反反正，正反正反，正正反反，

表示事件“恰有个反面向上”，

正正正正，表示事件“全部正面朝上”.

18．（2022·湖南·高一课时练习）一张方桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，求A与B不相邻而坐的概率．

【答案】

【解析】

【分析】

依据古典概型计算公式即可求得A与B不相邻而坐的概率．

【详解】

记“A与B不相邻而坐”为事件G

A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，

以顺时针方向计共有6个基本事件：

ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB

其中A与B不相邻而坐包含2个基本事件.

则

19．（2022·湖南·高一课时练习）班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．

(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；

(2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)，.

【解析】

【分析】

（1）根据必然事件的定义得解；

（2）根据随机事件的定义得解.

(1)

解：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，

所以.

(2)

解：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，

所以，.

20．（2022·江西·高一期中）网购是目前很流行也很实用的购物方式．某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，统计了3月份顾客在该网站的购物情况，根据顾客3月份在该网站的购物金额（单位：百元），按，，，，，分成6组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计顾客3月份在该网站购物金额的平均值；（各组数据以该组数据的中点值作代表）

(2)该购物网站的销售商采用分层抽样的方法从3月份在该网站的购物金额在和内的顾客中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求被抽取的2人中恰有1人3月份在该网站的购物金额在内的概率．

【答案】(1)5.1（百元）

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据频率分布直方图中，平均值等于每个小矩形的底边中点乘以每个小矩形的面积的和，计算即可求解.

（2）根据分层抽样，确定抽取的5人中，购物金额在内的有3人，购物金额在内的有2人，然后列举出全部基本事件，从中找出所求事件包含的个数，根据古典概型概率公式即可计算

(1)

由题意可估计顾客3月份在该网站的购物金额的平均值

（百元）．

(2)

由频率分布直方图可知3月份在该网站的购物金额在和内的顾客的频率分别是0.3，0.2，则采用分层抽样的方法从3月份在该网站的购物金额在和内的顾客中抽取的5人中，购物金额在内的有3人，分别记为a，b，c；购物金额在内的有2人，分别记为d，e．

从这5人中随机抽取2人的情况有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种；

其中符合条件的情况有ad，ae，bd，be，cd，ce，共6种．故所求概率．

21．（2022·全国·高一专题练习）重庆市某报社发起了建党100周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取60篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在[15，65]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：

(1)求频率分布直方图中的值，并根据频率分布直方图，求这60位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和80%分位数（结果保留一位小数）；

(2)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，计划从这60篇文章中抽出20篇最佳文章，并邀请相应作者参加座谈会.若从年龄在[15，35）的作者中选出2人作为代表发言，求这2人的年龄都在[25，35）的概率.

【答案】(1)，样本平均数岁，分位数为

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用概率之和为1求m；利用同一组数据用该区间的中点值乘以频率求平均数；利用总体百分位数的估计计算80%分位数；

（2）通过列举法求出概率即可.

(1)

频率分布直方图知：，,   

样本平均数岁，

参赛作者年龄的第分位数为

(2)

按分层抽样抽出的20篇最佳文章的作者，年龄落在[15,25）的有2人，

记为，年龄落在[25,35）的有3人，记为，

现从这5个人中选出2人作为代表发言，共有10种情况，

选出的2人年龄落在[25,35）的有3种情况，

所以所求概率.

22．（2022·江西宜春·高一期末）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障，某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)求a，b的值；

(2)估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数；

(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.

【答案】(1)，

(2)众数为，平均数为.

(3)

【解析】

【分析】

（1）由频率分布直方图列方程组即能求出的值；

（2）观察频率分布直方图即可得众数，根据加权平均数的求解公式可得平均值；

（3）根据分层抽样，在和中分别选取4人和1人，列举出这5人中选出2人的总的基本事件数，和选出的两人来自不同组的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可.

(1)

由题意可知：，，

解得，；

(2)

由频率分布直方图得众数为，

平均数等于.

(3)

根据分层抽样，和的频率比为，

故在和中分别选取4人和1人，分别设为和，

则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有，

共10个，

即，记事件“两人来自不同组”，

则事件包含的样本点有

共4个，即，

所以.