2021-2022学年湖南师大附中博才实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南师大附中博才实验中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列图形分别是平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中不一定是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 函数，自变量的取值范围是

A.  B.  C.  D.

4. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，得到的图象的解析式为

A.  B.  C.  D.

5. 已知正比例函数，下列结论正确的是

A. 图象是一条射线 B. 图象必经过点
C. 图象经过第一、三象限 D. 随的增大而减小

6. 如图所示，甲渔船以海里时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以海里时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距

A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里

7. 如图，在中，，是边的中点，若，则的长是

A.
B.
C.
D.

8. 在正方形中，点、分别在、上，且，连接、，则下列结论中错误的是

A.
B.
C.
D.
 

9. 下列各命题的逆命题是假命题的是

A. 两直线平行，同旁内角互补
B. 若两个数，则这两个数为相反数
C. 对顶角相等
D. 如果，那么

10. 如图，平面直角坐标系中有点，直线交轴于点，，直线轴，垂足为，点为直线上一点，如果，则点坐标为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 如图，点，分别是的边，的中点，，则的长为______．
    
     

12. 已知菱形的两条对角线，，则菱形的面积为______．
13. 若与成正比例，且当时，，则与之间的函数关系式为______．
14. 如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，那么的度数为______．
    
     

15. 如图，一次函数与图象的交点是，观察图象，直接写出方程组的解为______．
    
    
     

16. 如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，．
    求的长；
    求证：是直角三角形．

19. 直线与轴交于点，与轴交于点．
    求直线的解析式；
    若轴负半轴上存在点，使的面积等于，求点的坐标．
    
     

20. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．
    求证：≌；
    四边形是平行四边形．

21. 如图所示，直线和直线相交于点，点的坐标为．
    求直线的解析式；
    当时，直接写出的取值范围．
    
    
     

22. “疫情就是命令、防控就是责任”长沙市岳麓区某公司在疫情复工准备工作中，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元；若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元．
    甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？
    该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有哪几种购买方案？若花费为，请求出的最小值及其应对方案．
23. 如图，已知四边形的对角线、交于点，，且．
    求证：四边形是菱形；
    为上一点，连接，若，，，求的长．

24. 如图，如果两个一次函数的图象关于直线对称，则称这两个一次函数为“守望函数”，由轴对称知识可知这两条直线的交点必定在直线上，我们称这个交点为“守望点”，两条直线与坐标轴的交点为、同样由轴对称知识可知．
    如图，已知函数与为守望函数，求守望点的坐标及的值；
    如图，在条件成立时，如果平面内有一点，使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，请求出满足条件的所有点坐标；
    如图，函数与为守望函数，点为线段上一点不含端点，连接；一动点从出发，沿线段以单位秒的速度运动到点，再沿线段以单位秒的速度运动到点后停止，点在整个运动过程中所用最短时间为秒，求这两个守望函数的解析式．

25. 已知正方形内有一动点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，连接、，为中点，连接．
    如图，点在正方形的对角线上，求证：；
    在的条件下连接，如果，，求的长度；
    如图，求证：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、平行四边形不一定是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、矩形一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、菱形一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、正方形一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
利用轴对称图形定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
 

2.【答案】

【解析】解：、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，能组成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理的应用．理解判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．
 

4.【答案】

【解析】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，得到的图象的解析式为，
故选：．
按照“左加右减，上加下减”的规律解答即可．
本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

5.【答案】

【解析】解：，
随的增大而减小．
故选：．
由，利用正比例函数的性质可得出随的增大而减小．
本题考查了正比例函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：由题意可得：海里，海里，，
故，
海里，
答：甲、乙两渔船相距海里，
故选：．
根据题意得出，根据勾股定理即可得到结论．
此题主要考查了勾股定理的应用，得出是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：在中，，是边的中点，，
则，
故选：．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，，，
≌，
故D正确．
≌，
．
，
，故C正确，
，
，

故B正确．
故选：．
正方形的四边相等，四个角都是直角，且，很容易证明≌，从而判断结论的正误．
本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】

【解析】解：、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；
B、逆命题为如果两个数互为相反数，那么，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为相等的角为对顶角，是假命题，符合题意；
D、逆命题为如果，那么，是真命题，不符合题意．
故选：．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
 

10.【答案】

【解析】解：点，直线交轴于点，，
，
，
点坐标为，
设点坐标为，
，

解得，
点坐标为，
故选：．
根据题意可求出点坐标，设点坐标为，根据，利用两点间距离公式列出关系式求出的值，即可求出点的坐标．
本题主要考查坐标与图形性质，熟练掌握直角三角形的性质、两点间距离公式是解答此题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：点，分别是的边，的中点，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：菱形，对角线，，
，
故答案为：．
根据，计算即可．
本题考查菱形的性质，记住菱形的面积公式是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：设，
当时，，
，
解得：，
，
故答案为：．
首先设，再代入，可得的值，进而可得函数解析式．
此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握形如的形式是正比例函数．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形为长方形，
．
由折叠的特性可知：，．
，，且，
．
，
．
又，
．
，
，
，
故答案为：．
由、均与互余可知；由折叠特性可知可得出；再根据可得出，结合平行线的性质求得的度数．
本题考查了平行线的性质以及折叠问题，解决此类问题时，一定要注意到折叠时不变的量．
 

15.【答案】

【解析】解：一次函数与图象的交点是，
方程组的解为．
故答案为：．
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 

16.【答案】

【解析】解：在中，


，


，
点表示的实数是．
故答案为：．
求出点到原点的距离即可．
本题考查的实数在数轴上的位置，解题的关键是求得表示数的点，离开原点的距离．
 

17.【答案】解：


．

【解析】首先计算乘方和开立方，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：中，，，，
，
．
证明：在中，，，，
，
是直角三角形．

【解析】本题考查了勾股定理及其逆定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．掌握定理是解题的关键．
在中，根据勾股定理即可求得的长；
利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形．
 

19.【答案】解：设直线的解析式：，
代入，，
得，
解得，
直线的解析式：；
，
，
的面积等于，
，
，
点在轴负半轴上，且，
．

【解析】待定系数法求解析式即可；
根据的面积可得的长，再根据题意即可求出点坐标．
本题考查了一次函数，涉及待定系数法求解析式，三角形的面积等，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
即，
，
，
在与中，
，
≌；
由得：≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形．

【解析】由证明≌即可；
由全等三角形的性质得，，则，再证，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】解：直线过点，
，
点的坐标为，
直线直线过点，
，
解得，
解析式为；
由可知：
直线和直线的交点坐标为，当时，直线对应的图象在直线对应的图象的上方，
当时，的取值范围是．

【解析】根据直线过点，可以得到的值，再根据直线直线过点，即可求得的值，然后即可写出直线的解析式；
根据图象和点的坐标，可以写出当时，的取值范围．
本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：设甲品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元，
依题意得：，
解得：．
答：甲品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元．
设购买甲品牌消毒液瓶，则购买乙品牌消毒液瓶，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为，，，，
该公司共有种购买方案，
方案：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶；
方案：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶；
方案：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶；
方案：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶．
花费为，
．
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值元，
的最小值为元，其应对方案为：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶．

【解析】设甲品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元，根据“若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元；若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买甲品牌消毒液瓶，则购买乙品牌消毒液瓶，利用总价单价数量，结合“可用于购买这两种商品的资金不超过元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出各购买方案，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，

，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，
在和中，根据勾股定理得：，
设，
，，，，
，
解得：，
．

【解析】根据，，可得四边形是平行四边形，然后证明，进而可以解决问题；
根据菱形的对角线互相垂直，设，利用勾股定理求出的值，进而可以解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
 

24.【答案】解：设守望函数与的守望点，
，
解得，
守望点的坐标是，的值为；
设，
函数与轴交点为，函数与轴交点，，
若、为对角线，则、中点重合，
，
解得，
；
若、为对角线，则、中点重合，
，
解得，
；
若、为对角线，则、中点重合，
，
解得
，
综上所述，的坐标为或或；
过作轴，过作轴，两平行线交于，交直线于，如图：

设守望函数与的守望点，
，
解得，
，
在中，令得，令得，
，，
，
，
轴，
，
，即，
，
，
当在上时，最小，最小值即为，
点在整个运动过程中所用最短时间为秒，
，
，
，
解得，
，
这两个守望函数的解析式为：，．

【解析】设守望函数与的守望点，代入两个函数解析式，解方程组即得守望点的坐标是，的值为；
设，函数与轴交点为，函数与轴交点，，分三种情况：若、为对角线，则、中点重合，可得；若、为对角线，则、中点重合，可得；若、为对角线，则、中点重合，可得；
过作轴，过作轴，两平行线交于，交直线于，设守望函数与的守望点，可得，由，即知，从而知，，故当在上时，最小，最小值即为，即得，有，，即可得到答案．
本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，平行四边形，“胡不归”问题等，解题的关键是读懂新定义．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，，
，
，
；
解：过点作于点，

四边形是正方形，
，
，
；
证明：连接、，延长到，使得，连接，

是的中点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
≌，
，
，
．

【解析】根据正方形的性质与等腰直角三角形的性质得到，便可证明；
过作于，解直角三角形求得、，再由勾股定理求得；
连接、，延长到，使得，连接，由三角形的中位线定理得，再证明≌和≌，得，进而得结论．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形，关键是构造全等三角形．