广东省广州市广州大学附属中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试题（试卷+解析+解析）

广东省广州市广州大学附属中学大联盟2021-2022学年

八年级下学期期末数学试卷

一.选择题

1.下列各式中正确的是（    ）

A.

B.

C.

D.

2.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（    ）

A.

B.

C.

D.

3.代数式有意义，则的取值范围是（    ）

A.

B.且

C.且

D.

4.一次函数的图象不经过（    ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

5.一组数据的平均数是4，这组数据中的值是（    ）

A.3

B.4

C.10

D.

6.某市出租车计费办法如图所示.根据图象信息，下列说法错误的是（    ）

A.出租车起步价是10元

B.超过3千米部分每千米收3元

C.在3千米内只收起步价

D.超过3千米时所需费用与之间的函数关系式是

7.一个多边形过顶点切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（    ）

A.7

B.7或8

C.8或9

D.7或8或9

8.如图，直线和与轴分别交于点，点，则不等式组的解集为（    ）

A.

B.

C.或

D.

9.如图，菱形的边长为，点是边上的动点，点是对角线上的动点，若使的值最小，则这个最小值为（    ）

A.

B.2

C.

D.

10.如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，下列结论:

（1）；

（2）；

（3）；

（4）若，则.

其中正确的结论是（    ）

A.①②④

B.①②④

C.①③④

D.②③④

二、填空题

11. 化简:          .

12. 将直线 向下平移 4 个单位, 所得直线的函数表达式是        .

13.已知一次函数和的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解是        .

14.如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的大小是        .

15.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是        尺.

16.如图，在矩形中，为的中点，为线段上一动点，为中点，连接，则线段长的取值范围是        .

三、解答题

17.计算:.

18.如图，点在同一条直线上，.

求证:（1）；

（2）四边形是平行四边形.

19.如图，点为线段上一点且不与两点重合，分别以为边向的同侧做角为的菱形.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图.（保留作图痕迹）.

（1）在图1中，连接，若，作出线段的中点；

（2）在图2中，连接，若，作出线段的中点.

20.某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达6分以上为合格，达到9分以上（含9分）为优秀.这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下.

（1）补充完成下列的成绩统计分析表:

（2）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组.但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组.请你给出两条支持乙组同学观点的理由.

21.在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中千米，千米，千米.

（1）求小溪流的长.

（2）求四边形的面积.（结果保留根号）

22.为了预防新冠肺炎，某药店销售甲、乙两种防护口罩，已知甲口罩每袋的售价比乙口罩多5元，小丽从该药店购买了3袋甲口罩和2袋乙口罩共花费115元.

（1）求该药店甲、乙两种口罩每袋的售价分别为多少元?

（2）根据消费者需求，药店决定用不超过10000元购进甲、乙两种口罩共500袋.已知甲口罩每袋的进价为元，乙口罩每袋的进价为19元，要使药店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少?

23.如图（1），点表示小明家，点表示学校.小明妈妈骑车带着小明去学校，到达处时发现数学书没带，于是妈妈立即骑车原路回家拿书后再追赶小明，同时小明步行去学校，到达学校后等待妈妈.假设拿书时间忽略不计，小明和妈妈在整个运动过程中分别保持匀速.妈妈从处出发分钟时离处的距离为米，小明离处的距离为米，如图（2），折线表示与的函数图象；折线表示与的函数图象.

（1） 小明的速度为        , 图（2）中 的值为        .

（2）设妈妈从处出发分钟时妈妈与小明之间的距离为米.

①写出小明妈妈在骑车由处返回到处的过程中，与的函数表达式及的取值范围；

②在图（3）中画出整个过程中与的函数图象.（要求标出关键点的坐标）

24.问题:如图（1），点分别在正方形的边上，，试判断之间的数量关系.

（1）延长到点使，连接，得到至，从而可以证明，请你利用图（1）证明上述结论.

（2）如图（2），四边形中，，点分别在边上，则当与满足数量关系时，仍有，并说明理由.

（3）如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知米，，道路上分别有景点.且米，现要在之间修一条笔直道路，求这条道路的长.

25.在平面直角坐标系中，对于两点，给出如下定义:以线段为边的正方形称为点的“确定正方形”.如图1为点的“确定正方形”的示意图.

（1）如果点的坐标为，点的坐标为，那么点的“确定正方形”的面积为        ；

（2）已知点的坐标为，点为直线上一动点，当点的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求的值.

（3）已知点在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为，点在直线上，若要使所有点的“确定正方形”的面积都不小于2，求的取值范围.

2022八下GF大联盟  参考答案与试题解析

一、选择题

1．【分析】根据算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂即可解答．

【解答】解：A、，故此选项错误；

B、，故此选项错误；

C、，故此选项错误；

D、，故此选项正确；

故选：D．

【点评】本题考查了算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂，解决本题的关键是熟记算术平方根、绝对值、立方根的定义，零指数幂的运算法则．

2．【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．

【解答】解：A、∵，∴1.5，2，2不能构成直角三角形．

B、∵，∴7，24，25能构成直角三角形；

C、∵，∴6，8，10能构成直角三角形；

D、∵，∴9，12，15能构成直角三角形．

故选：A．

【点评】主要考查了利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真 分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

3．【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．

【解答】解：∵代数式有意义，∴，解得且．

故选：C．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．

4．【分析】由直线的解析式得到，，利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．

【解答】解：∵，∴，，故直线经过第一、二、四象限．不经过第三象限．

故选：C．

【点评】此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由k，b的符号来确定．

5．【分析】根据平均数的公式求出x的值．

【解答】解：由题意得：，解得，，故选：A．

【点评】本题考查的是平均数的计算．

6．【分析】根据图象信息一一判断即可解决问题．

【解答】解：由图象可知，出租车的起步价是10元，在3千米内只收起步价，设超过3千米的函数解析式为，则，解得，

∴超过3千米时所需费用y与x之间的函数关系式是，超过3千米部分每千米收2元，故A、C、D正确，B错误，故选：B．

【点评】此题主要考查了一次函数的应用、学会待定系数法确定函数解析式，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．

7．【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．

【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则，解得：．

则原多边形的边数为8或9．故选C．

【点评】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．

8．【分析】结合图象，写出两个函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．

【解答】解：∵直线和与x轴分别交于点，点，

∴解集为，故选：D．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大．

9．【分析】根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将转化为，再根据垂线最短知当时，AE取得最小值．

【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，

∴A、C关于BD对称，∴连接AE交BD于P，

则，当时，AE取得最小值．

∵，∴，

∴．

故选：A．

【点评】此题考查了菱形的性质、轴对称——最短路径问题，解答过程要利用菱形的性质及三角函数的计算，转化为两直线之间垂线最短的问题来解．

10．【分析】①根据矩形的性质可得出，，再由角平分线的性质可得出，通过角的计算即可得出，从而得出，即①正确；②根据平行线的性质以及对顶角相等可得出△CEF为等腰直角三角形，由此得出，，根据三角形外角的性质可得出，再由角的关系即可得出，即②不正确；③通过角的计算可得出，再根据等腰直角三角形的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出≌，得出，根据角的计算即可得出，即③正确；④过点G作于点M，设，则，利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式可得出和的值，由此可得出④正确．综上即可得出结论．

∴．∵为等腰直角三角形，

∴，

∴．

．

∴，④正确．

综上可知：正确的结论有①③④．

故答案为：C．

【点评】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积公式以及角的计算，解题的关键是逐条分析5个结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，好在该题为填空题，好多结论可以直接拿来运用，不需去证明．解决该题型时，利用分割图形法求面积是难点，此处应该加以重视．

二、填空题

11．【分析】把化简后合并即可；

【解答】解：；

12．【分析】根据平移k值不变，只有b只发生改变解答即可．

【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：，

即所得直线的表达式是．

故答案为：．

【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减” ．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么联系．

13．【分析】根据两个一次函数的交点坐标为；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．

【解答】解：函数和的图象交于点，

即，同时满足两个一次函数的解析式．

所以关于x，y的方程组的解是．

故答案为：．

【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的五次函数图象的交点坐标．

14．【分析】根据平行四边形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，由三角形的内角和定理即可得到结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，，

∵，∴，

∴，，

∵，

∴，

∴

∴，

【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．

15．【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．

【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，

另一条直角边长（尺），

因此葛藤长为（尺）．

故答案为：25．

【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．

16．【分析】根据中位线定理先判断出点P的轨迹是线段，再根据矩形的性质及已知条件判断是直角三角形，从而得出点D到线段上各点的连线中，最小，最大．

【解答】解：如图：

当点F与点C重合时，点P在点处，，

当点F与点E重合时，点P在点处，，

∴且，

当点F在EC上除点C、E的位置处时，有，

由中位线定理可知：且，

∴点P的运动轨迹是线段，

∵矩形ABCD中，，，E为AD的中点，

∴，、为等腰直角三角形，

∴，，

∵，∴，

∴，∴DP的长最小，最大，

∵，∴，，

∴，∴，

故答案为：．

【点评】本题考查矩形的性质、轨迹等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．

三、解答题

17．【分析】利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．

【解答】解：

．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．

18．【分析】（1）由SAS证明即可；

（2）由全等三角形的性质得，，则，再证，即可得出结论．

【解答】证明：（1）∵，∴，

即，∵，∴，

在△ADE与△BCF中，

，∴；

（2）由（1）得：，

∴，，

∴，∴，

∴四边形DECF是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明是解题的关键．

19．【分析】（1）连接AF，BD交于点O，连接DF，连接CO延长CO交DF于点M，点M即为所求．

（2）连接AD，BF，延长AD交BF的延长线于E，连接CE，DF交于点N．点N即为所求．

【解答】解：（1）如图1中，点M即为所求．

（2）如图2中，点N即为所求．

【点评】本题考查作图—复杂作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中线等知识，解题的关键是利用三角形中线的定义，平行四边形的性质解决问题．

20．【分析】（1）先根据条形统计图写出甲乙两组的成绩，然后分别计算甲的中位数，乙的平均数和方差；

（2）通过乙组的平均数、中位数和方差进行说明．

【解答】解：（1）甲组：3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为6；

乙组：5，5，6，7，7，8，8，8，8，9，平均数，；

（2）乙组的平均数高于甲组；乙组的中位数高于甲组，所以乙组的成绩要好于甲组．

【点评】本题考查了条形统计图：从条形图可以很容易看出数据的大小，便 于比较．也考查了中位数和方差．

21．【分析】（1）根据勾股定理即可得：

（2）由勾股定理逆定理得，从而由可得答案．

【解答】解：（1）∵，千米，

∴（千米）；

（2）∵，∴，

则，

平方千米

【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．

22．【分析】（1）分别根据甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小明从该药店购买了3袋甲口罩和2袋乙口罩共花费115元，列方程组解答即可；

（2）设药店购进甲种口罩m袋，获利w元，根据题意得出w与m的关系式以及m的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．

【解答】解：（1）设该药店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，

根据题意得：，解得，

答：甲、乙两种口罩每袋的售价分别为25元、20元；

（2）设药店购进甲种口罩m袋，获利w元，根据题意得：

，

解得，

，

∵，∴w随m的增大而增大，

∴当时，药店获利最大，最大利润为：（元）．

答：购进甲113，乙387袋时，药店获利最大，最大利润为567.8元．

【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．

23．【分析】（1）利用图中信息，根据速度、路程、时间之间的关系即可解决问题；

（2）①根据速度、路程、时间之间的关系，可得，

②根据关键点画出函数图象即可；

【解答】解：（1）小明的速度为；妈妈的速度，，

，∴，

故答案为60，33．

（2）①小明妈妈的速度为

∵小明妈妈在骑车由C回到A的过程中，小明与妈妈相向而行，小明的速度为,

∴，x的取值范围是．

②整个过程中y与x的函数图象如图所示：

②

【点评】本题考查一次函数的应用、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

24．【分析】（1）小聪探究此问题的方法是：延长FD到点G使，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是；

（2）延长CB至M，使，连接AM，证明，根据全等三角形的性质证明；

（3）把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．证明△BAE是等边三角形，得到，根据（2）的结论计算．

【解答】（1）结论：．理由如下：

延长FD到点G使，连接AG，

如图（1）中，正方形ABCD中，，，

在△ABE和△ADG中，

，∴，

∴，，

∴，

在△AEF和△AGF中，

，∴，

∴；

（2）解：，

理由如下：如图（2），延长CB至M，使，连接AM，

∵，，∴，

在△ABM和△ADF中，

，∴，

∴，，

∵，∴，

∴，

在△EAF和△EAM中，

，

∴，

∴，即；

（3）解：如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．

∵，，

∴，又，

∴△BAE是等边三角形，∴，

由（2）得，（米），

即这条道路EF的长为米．

【点评】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

25．【分析】（1）求出MN的长即可解决问题．

（2）分两种情形：①，②分别求解即可．

（3）分两种情形：①如图2中，当正方形ABCD在直线的下方时．②如图3中，当正方形ABCD在直线的上方时，求出两种特殊位置m的值即可判断．

【解答】解：（1）∵，，∴，

∴以MN为边的正方形的面积，

故答案为9．

（2）∵点O，C的“确定正方形”面积为2，∴，

∵点O，C的“确定正方形”面积最小，

∴直线于点C．

①当时，如图1中，

由题意可知，△MON为等腰直角三角形，

可求，

∴

②当时，同理可求

，∴．

（3）如图2中，当正方形ABCD在直线的下方时，延长DB交直线于H．

易知直线，当时，点E，F的“确定正方形”的面积的最小值为2，此时．

如图3中，当正方形ABCD在直线的上方时，延长DB交直线于H．

易知直线，当时，点E，F的“确定正方形”的面积的最小值为2，此时，

观察图象可知：当或时，所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2．

【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．